第31屆全國中學生物理競賽決賽理論考試試題2014年11月杭州2014年11月杭州一、（12分）一轉(zhuǎn)速測量和控制裝置的原理如圖所示．在O點有電量為Q的正電荷，內(nèi)壁光滑的輕質(zhì)絕緣細管可繞通過O點的豎直軸在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，在管內(nèi)距離O為L處有一光電觸發(fā)控制開關(guān)A，在O端固定有一自由長度為EQ\F(1,4)L的輕質(zhì)絕緣彈簧，彈簧另一端與一質(zhì)量為m、帶有正電荷q的小球相連接第31屆全國決賽1。第31屆全國決賽1開始時，系統(tǒng)處于靜態(tài)平衡。細管在外力矩作用下，作定軸轉(zhuǎn)動，小球可在細管內(nèi)運動。當細管轉(zhuǎn)速ω逐漸變大時，小球到達細管的A處剛好相對于細管徑向平衡，并觸發(fā)控制開關(guān)，外力矩瞬時變?yōu)榱?，從而限制轉(zhuǎn)速過大；同時O點的電荷變?yōu)榈攘控撾姾桑璔。通過測量此后小球相對于細管徑向平衡點的位置B，可測定轉(zhuǎn)速。若測得OB的距離為EQ\F(1,2)L，求（1）彈簧系數(shù)k0及小球在B處時細管的轉(zhuǎn)速；（2）試問小球在平衡點B附近是否存在相對于細管的徑向微振動？如果存在，求出該微振動的周期。二、（14分）多彈頭攻擊系統(tǒng)是破解導彈防御體系的有效手段，如圖所示，假設(shè)沿某海岸有兩個軍事目標W和N，兩者相距L，一艘潛艇沿乎行于該海岸線的航線游弋，并監(jiān)視這兩個目標，其航線離海岸線的距離為d。潛艇接到攻擊命令后浮出海面發(fā)射一顆可分裂成多彈頭的母彈，發(fā)射速度為v0（其大小遠大于潛艇在海里游弋速度的大小），假設(shè)母彈到達最高點時分裂成三個分彈頭，每個分彈頭的質(zhì)量相等，分離時相對原母彈的速度大小均為v，且分布在同一水平面內(nèi)，分彈頭1、2為實彈，分彈頭3為迷惑對方雷達探測的假彈頭。如果兩個實彈能夠分別擊中軍事目標W和N，試求潛艇發(fā)射母彈時的位置與發(fā)射方向，并給出相應(yīng)的實現(xiàn)條件第31屆全國決賽2。第31屆全國決賽2三、（14分）如圖所示，某絕熱容器被二塊裝有閥門K1和K2的固定絕熱隔板分隔成相等體積V0的三室A、B、C，VA＝VB＝VC＝V0。容器左端用絕熱活塞H封閉，左側(cè)A室裝有ν1＝1摩爾單原子分子氣體，處在壓強為p0、溫度為T0的平衡態(tài)；中段B室為真空；右側(cè)C室裝有ν2＝2摩爾雙原子分子氣體，測得其平衡態(tài)溫度為TC＝0.50T0。初始時刻K1和K2都處在關(guān)閉狀態(tài)．然后系統(tǒng)依次經(jīng)歷如下與外界無熱量交換的熱力學過程第31屆全國決賽3：第31屆全國決賽3（1）打開K1，讓VA中的氣體自由膨脹到中段真空VB中；等待氣體達到平衡態(tài)時，緩慢推動活塞H壓縮氣體，使得A室體積減小了30%（VA?＝0.70V0）。求壓縮過程前后，該部分氣體的平衡態(tài)溫度及壓強；（2）保持K1開放，打開K2，讓容器中的兩種氣體自由混合后共同達到平衡態(tài)。求此時混合氣體的溫度和壓強；（3）保持K1和K2同時處在開放狀態(tài)，緩慢拉動活塞H，使得A室體積恢復(fù)到初始體積VA?＝V0。求此時混合氣體的溫度和壓強。提示：上述所有過程中，氣體均可視為理想氣體，計算結(jié)果可含數(shù)值的指數(shù)式或分式；根據(jù)熱力學第二定律，當一種理想氣體構(gòu)成的熱力學系統(tǒng)從初態(tài)（pi，Ti，Vi）經(jīng)過一個絕熱可逆過程（準靜態(tài)絕熱過程）到達終態(tài)（pf，Tf，Vf）時，其狀態(tài)參數(shù)滿足方程：（ΔS1）if＝ν1CV1ln（EQ\F(Tf,Ti)）＋ν1Rln（EQ\F(Vf,Vi)） （Ⅰ）其中，ν1為該氣體的摩爾數(shù)，Cv1為它的定容摩爾熱容量，R為普適氣體常量。而當熱力學系統(tǒng)由二種理想氣體組成，則方程（I）需修改為（ΔS1）if＋（ΔS2）if＝0 （Ⅱ）四、（20分）光纖光柵是一種介質(zhì)折射率周期性變化的光學器件．設(shè)一光纖光柵的纖芯基體材料折射率為n1＝1.51；在光纖中周期性地改變纖芯材料的折射率，其改變了的部分的材料折射率為n2＝1.55；折射率分別為n2和n1、厚度分別為d2和d1的介質(zhì)層相間排布，總層數(shù)為N，其縱向剖面圖如圖（a所示．在該器件設(shè)計過程中，一般只考慮每層界面的單次反射，忽略光在介質(zhì)傳播過程中的吸收損耗，假設(shè)入射光在真空中的波長為λ＝1.06μm，當反射光相干疊加加強時，則每層的厚度d1和d2最小應(yīng)分別為多少？若要求器件反射率達到8%，則總層數(shù)N至少為多少？提示：如圖（b）所示，當光從折射率n1介質(zhì)垂直入射到折射率n2介質(zhì)時，界面上產(chǎn)生反射和透射，有第31屆全國決賽4：第31屆全國決賽4EQ\F(反射光電場強度,入射光電場強度)＝EQ\F(n1－n2,n1＋n2)，EQ\F(透射光電場強度,入射光電場強度)＝EQ\F(2n1,n1＋n2)，反射率＝|EQ\F(反射光電場強度,入射光電場強度)|2五、（20分）中性粒子分析器（Neutral-ParticleAnalyser）是核聚變研究中測量快離子溫度及其能量分布的重要設(shè)備，其基本原理如圖所示，通過對高能量（200eV～30KeV）中性原子（它們?nèi)菀状┩柑綔y區(qū)中的電磁區(qū)域）的能量和動量的測量，可診斷曾與這些中性原子充分碰撞過的離子的性質(zhì)第31屆全國決賽5。第31屆全國決賽5為了測量中性原子的能量分布，首先讓中性原子電離，然后讓離子束以θ角入射到間距為d、電壓為V的平行板電極組成的區(qū)域，經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后離開電場區(qū)域，在保證所測量離子不碰到上極板的前提下，通過測量入射孔A和出射孔B間平行于極板方向的距離，來決定離子的能量。設(shè)A與下極板的距離為h1，B與下極板的距離為h2，已知離子所帶電荷為q。（1）推導離子能量E與L的關(guān)系，并給出離子在極板內(nèi)垂直于極板方向的最大飛行距離。（2）被測離子束一般具有發(fā)散角Δα（Δα?θ）。為了提高測量的精度，要求具有相同能量E，但入射方向在Δα范圍內(nèi)變化的離子在同一小孔B處射出，求h2的表達式：并給出此時能量E與L的關(guān)系。（3）為了提高離子能量的分辨率，要求具有量程上限能量的離子剛好落在設(shè)備允許的最大值Lmax處，同時為了減小設(shè)備的體積，在滿足測量要求的基礎(chǔ)上，要求極板間距d盡可能小，利用上述第（2）問的結(jié)果，求d的表達式：若θ＝30°，結(jié)果如何？（4）為了區(qū)分這些離子的質(zhì)量，請設(shè)計后續(xù)裝置，給出相應(yīng)的原理圖和離子質(zhì)量表達式。六、（20分）超導體的一個重要應(yīng)用是繞制強磁場磁體，其使用的超導線材屬于第二類超導體，如果將這類超導體置于磁感應(yīng)強度為B1的外磁場中，其磁力線將以磁通量子（或稱為磁通渦旋線）的形式穿透超導體，從而在超導體中形成正三角形的磁通格子，如圖1所示．所謂的磁通量子，如圖2所示，其中心是半徑為ξ的正常態(tài)（電阻不為零）區(qū)域，而其周圍處于超導態(tài)（電阻為零）。存在超導電流，所攜帶的磁通量為φ0＝h/2e＝2.07×10-l5Wb（磁通量的最小單位第31屆全國決賽6）。第31屆全國決賽6（1）若Ba＝5×10-2T，求此時磁通渦旋線之間距離a；（2）隨著Ba的增大，磁通渦旋線密度不斷增加。當Ba達到某一臨界值BC2時，整塊超導體都變?yōu)檎B(tài)，假設(shè)磁通渦旋線芯的半徑為ξ＝5×10-9m。求所對應(yīng)的臨界磁場BC2；（3）對于理想的第二類超導體，當有電流I通過超導帶材時，在安培力的驅(qū)動下，磁通渦旋線將會粘滯流動，在超導體內(nèi)產(chǎn)生電阻（也稱為磁通流阻），從而產(chǎn)生焦耳損耗，不利于超導磁體的運行，磁通渦旋線穩(wěn)定粘滯流動的速度v與單位體積磁通渦旋線所受到的驅(qū)動力fA和Ba的關(guān)系為fA＝ηBav/φ0，其中η為比例系數(shù)。外加磁場、電流方向，以及超導帶材的尺寸如圖3所示，請指出磁通渦旋線流動的方向，并求出磁通渦旋線流動所產(chǎn)生的電阻率（用Ba，φ0，η，導體尺寸b，c，d表示）（4）要使越導材料真正實用化，消除這種磁通流阻成了技術(shù)的關(guān)鍵，請給出你的解決方案。七、（20分）如圖，兩個質(zhì)量均為m的小球A和B（均可視為質(zhì)點），固定在中心位于C、長為2L的剛性輕質(zhì)細桿的兩端，構(gòu)成一質(zhì)點系，在豎直面內(nèi)建立Oxy坐標，Ox方向沿水平向右，Oy方向豎直向上，初始時質(zhì)點系中心C位于原點O，并以初速度v0豎直上拋，上拋過程中，ACB三點連線始終水平，風速大小恒定為u、方向沿x軸正向，小球在運動中所受空氣阻力f的大小與相對于空氣運動速度v的大小成正比，方向相反，即f＝－kv，k為正的常量，當C點升至最高點時，恰好有一沿y軸正向運動、質(zhì)量為m1、速度大小為u1的小石塊（視為質(zhì)點）與小球A發(fā)生豎直方向的碰撞，設(shè)碰撞是完全彈性的，時間極短，此后C點回落到上拋開始時的同一水平高度，此時它在Ox方向上的位置記為s，將從上拋到落回的整個過程所用時間記為T，質(zhì)點系旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)記為n。求質(zhì)點系第31屆全國決賽7第31屆全國決賽7（1）轉(zhuǎn)動的初始角速度ω0，以及回落到s點時角速度ωs與n的關(guān)系；（2）從開始上拋到落回到s點為止的過程中，空氣阻力做的功Wf與n、s、T的關(guān)系。八、（20分）太陽是我們賴以生存的恒星，它的主要成分是氫元素，在自身引力的作用下收縮而導致升溫，當溫度高到一定程度時，中性原子將電離成質(zhì)子和電子組成的等離子體，并在其核心區(qū)域達到約1.5×107K的高溫和l.6×105kg/m3以上的高密度，產(chǎn)生熱核聚變而放出巨大能量，從而抗衡自身的引力收縮達到平衡，而成為恒星．太陽內(nèi)部主要核反應(yīng)過程為第31屆全國決賽8第31屆全國決賽81H＋1H→D＋e+＋νe （Ⅰ）D＋1H→3He＋x （Ⅱ）3He＋3He→4He＋1H＋1H （Ⅲ）其中第一個反應(yīng)的概率由弱相互作用主導，概率很低，這恰好可以使得能量緩慢釋放。反應(yīng)產(chǎn)物正電子e+與電子e-湮滅為γ射線，即e+＋e-→γ＋γ （Ⅳ）已知：質(zhì)子（1H）、氘（D）、氮3（3He）、氮4（4He）和電子的質(zhì)量分別為938.27、1875.61、2808.38、3727.36和0.51（MeV/c2）（誤差為0.01MeV/c2），c為真空中的光速，中微子νe的質(zhì)量小于3eV/c2。普朗克常量h＝6.626×10-34J·s，c＝3.0×108m/s，波爾茲曼常量k＝1.381×10-23J/K，電子電量e＝1.602×10-19C。（1）試用理想氣體模型估算處于熱平衡狀態(tài)的各種粒子的平均動能及太陽核心區(qū)的壓強（請分別用eV和atm為單位）；（2）反應(yīng)式（Ⅱ）中的x是什么粒子（α、β、γ、p和n之一）？請計算該粒子的動能和動量的大