——教課資料參照參照范本——2019-2020最新高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第13講正余弦定理及應(yīng)用教課設(shè)計(jì)______年______月______日____________________部門1/15教（1）經(jīng)過對(duì)隨意三角形邊長和角度關(guān)系的探究，掌握正弦定理、學(xué)余弦定理，并能解決一些簡單的三角形胸懷問題；目（2）能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與丈量標(biāo)和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)質(zhì)問題。對(duì)本講內(nèi)容的觀察主要波及三角形的邊角轉(zhuǎn)變、三角形形狀的判命斷、三角形內(nèi)三角函數(shù)的求值以及三角恒等式的證明問題，立體幾何體題的空間角以及分析幾何中的有關(guān)角等問題。此后高考的命題會(huì)以正弦定走理、余弦定理為知識(shí)框架，以三角形為主要依靠，聯(lián)合實(shí)質(zhì)應(yīng)用問題考向察正弦定理、余弦定理及應(yīng)用。題型一般為選擇題、填空題，也可能是中、難度的解答題。教學(xué)多媒體課件準(zhǔn)備一．知識(shí)梳理：1．直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在△ABC中，C＝°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。90教（1）三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：A＋B＝°；學(xué)90（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）過sinA＝cosB＝a，cosA＝sinB＝b，tanA＝。程cc2．斜三角形中各元素間的關(guān)系：如圖6-29，在△ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對(duì)邊。（1）三角形內(nèi)角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相2/15等。。（R為外接圓半徑）（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其余兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。3．三角形的面積公式：（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；（3）△＝＝＝；（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R為外接圓半徑）（5）△＝；（6）△＝；；（7）△＝r·s。4．解三角形：由三角形的六個(gè)元素（即三條邊和三個(gè)內(nèi)角）中的三個(gè)元素（此中起碼有一個(gè)是邊）求其余未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這里所說的元素還能夠包含三角形的高、中線、角均分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．解三角形的問題一般可分為下邊兩種情況：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形。解斜三角形的主要依照是：3/15設(shè)△ABC的三邊為a、b、c，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角為A、B、C。（1）角與角關(guān)系：A+B+C=π；（2）邊與邊關(guān)系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－b<c，b－c<a，c－a>b；（3）邊與角關(guān)系：正弦定理（R為外接圓半徑）；余弦定理c2=a2+b2－2bccosC，b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccosA；它們的變形形式有：a=RsinA，，2。5．三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自己的特色。（1）角的變換因?yàn)樵凇鰽BC中，A+B+C=π，因此sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；（2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長之半。（3）在△ABC中，熟記并會(huì)證明：∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列的充分必需條件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必需條件是∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列。二．典例剖析(20xx·浙江高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，4/15b，c，且bsinA＝3acosB.求角B的大??；若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．由bsinA＝3acosB及正弦定理ab，得sinB＝3cosB，sinA＝sinB因此tanB＝3，因此B＝π3.c由sinC＝2sinA及sinA＝sinC，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.因此a＝3，c＝23.在本例(2)的條件下，試求角A的大?。産解：∵sinA＝sinB，πA＝asinB3·sin31∴sinb＝3＝2.∴A＝π6.由題悟法1．應(yīng)嫻熟掌握正、余弦定理及其變形．解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡捷．2．已知兩角和一邊，該三角形是確立的，其解是獨(dú)一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形擁有不獨(dú)一性，往常依據(jù)三角函數(shù)值的有界5/15性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷．以題試法1．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a.b求a；若c2＝b2＋3a2，求B.解：(1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA.故sinB＝2sinbA，因此＝2.a(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cosB＝＋33.2c由(1)知b2＝a2，223)221故c＝(2＋a.可得cosB＝，22又cosB>0，故cosB＝2，因此B＝45°.利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀典題導(dǎo)入在△ABC中a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋bC)sin.求A的大小；若sinB＋sinC＝1，試判斷△ABC的形狀．6/15由已知，依據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，1故cosA＝－2，∵0<A<180°，∴A＝120°.由得2A＝2B＋2C＋BC＝3(2)(1)sinsinsinsinsin4.又sinB＋sinC＝1，1解得sinB＝sinC＝2.∵0°<B<60°，0°<C<60°，故B＝C，∴△ABC是等腰的鈍角三角形．由題悟法依照已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，主要有以下兩種方法：利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)變?yōu)檫呥呹P(guān)系，經(jīng)過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀；利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，經(jīng)過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，進(jìn)而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論．在上述兩種方法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，免得漏解．以題試法2．(20xx·安徽名校模擬)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的A邊分別為a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝cos22，cos2A，且m·n7＝2.求角A的大??；7/15若b＋c＝2a＝23，試判斷△ABC的形狀．A解：(1)∵m＝(4，－1)，n＝cos22，cos2A，2A1＋cosA22∴m·n＝4cos2－cos2A＝4·2－(2cosA－1)＝－2cosA＋2cosA＋3.7又∵m·n＝2，2A＋7∴－2cos2cosA＋＝，321解得cosA＝2.π∵0<A<π，∴A＝3.(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝3，222122∴(3)＝b＋c－2bc·2＝b＋c－bc.①又∵b＋c＝23，∴b＝23－c，代入①式整理得c2－23c＋3＝0，解得c＝3，∴b＝3，于是a＝b＝c＝3，即△ABC為等邊三角形．與三角形面積有關(guān)的問題典題導(dǎo)入(20xx·新課標(biāo)全國卷)已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，acosC＋3asinC－b－c＝0.求A；若a＝2，△ABC的面積為3，求b，c.8/15由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因?yàn)锽＝π－A－C，因此3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.1因?yàn)閟inC≠0，因此sinA－6＝2.π又0＜A＜π，故A＝3.1(2)△ABC的面積S＝2bcsinA＝3，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.××市某廣場有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建筑一個(gè)底座為三角形的環(huán)境標(biāo)記，小李、小王設(shè)計(jì)的底座形狀分別為△ABC、△ABD，經(jīng)丈量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.求AB的長度；若不考慮其余要素，小李、小王誰的設(shè)計(jì)使建筑花費(fèi)最低(請(qǐng)說明原由)．在△ABC中，由余弦定理得cosC＝AC2＋BC2－AB282＋52－AB22AC·BC＝2×8×5，①在△ABD中，由余弦定理得cosD＝AD2＋BD2－AB272＋72－AB22AD·BD＝2×7×7，②由∠C＝∠D得cosC＝cosD.解得AB＝7，因此AB的長度為7米．9/15小李的設(shè)計(jì)使建筑花費(fèi)最低．原由以下：11易知S△ABD＝2AD·BDsinD，S△ABC＝2AC·BCsinC，因?yàn)锳D·BD>AC·BC，且∠C＝∠D，因此S△ABD>S△ABC.應(yīng)選擇△ABC的形狀建筑環(huán)境標(biāo)記花費(fèi)較低．若環(huán)境標(biāo)記的底座每平方米造價(jià)為5000元，試求最低造價(jià)為多少？解：因?yàn)锳D＝BD＝AB＝7，因此△ABD是等邊三角形，∠D＝60°，∠C＝60°.1故S△ABC＝2AC·BCsinC＝103，因此所求的最低造價(jià)為5000×103＝500003≈86600元．由題悟法求距離問題要注意：選定或確立要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其余量已知?jiǎng)t直接解；如有未知量，則把未知量放在另一確立三角形中求解．確立用正弦定理仍是余弦定理，假如都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．以題試法以下圖，某河段的兩岸可視為平行，為了測量該河段的寬度，在河段的一岸邊選用兩點(diǎn)A、B，察看對(duì)岸的點(diǎn)C，測得∠CAB＝105°，∠CBA＝45°，且10/15AB＝100m.求sin∠CAB的值；求該河段的寬度．解：(1)sin∠CAB＝sin105°sin(60°＋45°)sin60°cos45°＋cos60°sin45°32126＋2.＝2×2＋2×2＝4因?yàn)椤螩AB＝105°，∠CBA＝45°，因此∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝30°.由正弦定理，得AB＝BC，sin∠ACBsin∠CAB則BC＝AB·sin105°＝50(＋．sin30°62)(m)以下圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，則CD的長就是該河段的寬度．在Rt△BDC中，CD＝BC·sin45°＝50(＋2)×250(＋6231)(m)．因此該河段的寬度為50(3＋1)m.丈量高度問題典題導(dǎo)入(20xx·九江模擬)如圖，在坡度必定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD(CD所在的直線與地平面垂直)關(guān)于山坡的斜度為α，從A處向山頂行進(jìn)l米到達(dá)B后，又測得CD關(guān)于山坡的斜度為β，山坡關(guān)于地平面的坡角為11/15.求BC的長；若l＝24，α＝15°，β＝45°，θ＝30°，求建筑物CD的高度．在△ABC中，∠ACB＝β－α，依據(jù)正弦定理得BCAB＝，sin∠BACsin∠ACB因此BC＝錯(cuò)誤!.由(1)知BC＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝12(錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!)米．在△BCD中，∠π＋π2π∠BDC＝3BDC＝＝，sin，2632依據(jù)正弦定理得BC＝CD，sin∠BDCsin∠CBD因此CD＝－8米．243由題悟法求解高度問題應(yīng)注意：在丈量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的觀點(diǎn)，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視野與水平線的夾角；正確理解題意，分清已知條件與所求，畫出表示圖；運(yùn)用正、余弦定理，有序地解有關(guān)的三角形，逐漸求解問題的答案，注意方程思想的運(yùn)用．以題試法2．(20xx·西寧模擬)要丈量底部不可以抵達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測得塔頂A的仰角是45°，在D點(diǎn)測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求電視塔的高度．解：如圖，設(shè)電視塔AB高為xm，12/15則在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，則BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理得，222BC·CD·°，BD＝BC＋CD－cos1202即(x2＝x2＋2－·x··cos120°，3)40240解得x＝40，因此電視塔高為40米．丈量角度問題典題導(dǎo)入(20xx·太原模擬)在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵探艇發(fā)此刻北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10nmile的速度沿南偏東75°方向行進(jìn)，若偵探艇以每小時(shí)14nmile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍(lán)方的小艇．若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵探艇所需的時(shí)間和角α的正弦值．如圖，設(shè)紅方偵探艇經(jīng)過x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.13/15依據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.BCAC依據(jù)正弦定理得sinα＝sin120°，20sin120°53解得sinα＝28＝14.53因此紅方偵探艇所需要的時(shí)間為2小時(shí)，角α的正弦值為14.由題悟法1．丈量角度，第一應(yīng)明確方向角，方向角的含義．2．在解應(yīng)用題時(shí)，剖析題意，分清已知與所求，再依據(jù)題意正確畫出表示圖，經(jīng)過這一步可將實(shí)質(zhì)問題轉(zhuǎn)變?yōu)榭捎脭?shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意領(lǐng)會(huì)