第02講雙變量單調(diào)問(wèn)題參考答案與試題解析1．（2019?蘇州三模）已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）函數(shù)的圖象能否與軸相切？若能，求出實(shí)數(shù)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（Ⅱ）求最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，，不等式恒成立．【解答】解：（Ⅰ）．假設(shè)函數(shù)的圖象與軸相切于點(diǎn)，則有，即．顯然，，代入方程中得，．△，方程無(wú)解．故無(wú)論取何值，函數(shù)的圖象都不能與軸相切；（Ⅱ）依題意，恒成立．設(shè)，則上式等價(jià)于，要使對(duì)任意，恒成立，即使在上單調(diào)遞增，在上恒成立．（1），則，在上成立的必要條件是：．下面證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，即，．那么，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，恒成立．因此，的最大整數(shù)值為3．2．（2020秋?龍巖期中）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，且存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．【解答】解：（1）的定義域?yàn)?，，若，則，所以在單調(diào)遞增；若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；證明：（2）因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn)且，，所以的兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足，所以，不妨設(shè)，則，則，要證，只需證，設(shè)，則，知在單調(diào)遞減，又（1），當(dāng)時(shí)，，故，即，所以．3．（2020?遼寧）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)．如果對(duì)任意，，，求的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得．則當(dāng)時(shí)，；時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（Ⅱ）不妨假設(shè)，而，由（Ⅰ）知在單調(diào)遞減，從而，，等價(jià)于，，①令，則①等價(jià)于在單調(diào)遞減，即．從而故的取值范圍為，．（12分）4．（2020春?平頂山期末）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求的極小值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若，證明：對(duì)于任意，．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以，時(shí)，取得最小值．（2），，時(shí)，，在單調(diào)遞減．（3）證明：時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．即時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，（b）（a），即對(duì)任意，．5．（2020?重慶模擬）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（2）證明：若，則對(duì)于任意的，，，有．【解答】解：（1）由題意知，，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不等的正根，即有兩個(gè)不等的正根，所以，解得，所以的取值范圍是，．（6分）（2）證明：構(gòu)造函數(shù)，則．由于，，故，即在上單調(diào)遞增，從而當(dāng)時(shí)，有，即，故；當(dāng)時(shí)，同理可證．綜上，對(duì)于任意的，，，有（12分）6．（2020春?平頂山期末）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在，（1）處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)，證明：對(duì)任意，，．【解答】（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，．（1），（1），曲線在，（1）處的切線方程為．（Ⅱ），的定義域?yàn)椋?，在上單調(diào)遞減．不妨假設(shè)，那么等價(jià)于，即．令，則．，，．從而在單調(diào)減少，故，即，故對(duì)任意，，．7．（2020?長(zhǎng)春二模）已知函數(shù)在點(diǎn)，（1）處的切線與直線平行．（1）求實(shí)數(shù)的值及的極值；（2）若對(duì)任意，，有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解（1）由題意得，，點(diǎn)，（1）處的切線與直線平行．又（1），即，解得．令，解得：，當(dāng)，解得：，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)，解得：，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在時(shí)取極小值，極小值為．（6分）（2）由，可得，令，則，其中，，，又，，則，即，實(shí)數(shù)的取值范圍是，．（12分）8．（2020春?周口期末）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)，時(shí)，對(duì)任意，，，有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，．，①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增；時(shí)，，時(shí)，，此時(shí)函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，令，，或（舍去），時(shí)，，，時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增；要使函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得實(shí)數(shù)的取值范圍為：，或（2）對(duì)任意，，，有成立，，，成立，時(shí)，．．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，（1），，（e），，．（b）在遞增，（b），．，，即，設(shè)（b），，（b）在恒成立．（b）在單調(diào)遞增，且（1），不等式的解集為，．實(shí)數(shù)的取值范圍為，9．（2020?浙江模擬）已知函數(shù)，．（Ⅰ）對(duì)任意，使得是函數(shù)在區(qū)間，上的最大值，試求最大的實(shí)數(shù)．（Ⅱ）若，對(duì)于區(qū)間，上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)、，且，都有成立，求的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由已知，在區(qū)間，上恒成立，只需在區(qū)間，上恒成立，，只需（b）對(duì)一切恒成立，記（a）（b），只需（1），解得，最大的實(shí)數(shù)為2．（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，，，函數(shù)在區(qū)間，上是減函數(shù)，，成立，成立，即，，和在區(qū)間，上是減函數(shù)．由，可得在區(qū)間，上恒成立，，即；由，可得在區(qū)間，上恒成立，，即；，不存在．10．（2020?福建模擬）已知函數(shù)，．（1）若，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）證明：，，，．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又（3），故此時(shí)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在，上單調(diào)遞增，又，故此時(shí)無(wú)零點(diǎn)；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；（2）證明：要證：，，，，即證，時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在，上單調(diào)遞增，（9），（3），；②當(dāng)時(shí)，，易知函數(shù)在，上單調(diào)遞增，（9），（3），；綜上，，，，．11．（2020春?呼和浩特校級(jí)月考）已知函數(shù)．（1）若在區(qū)間，上同時(shí)存在函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）如果對(duì)任意、，，有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，；，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則極大值為（1），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由，得在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，則函數(shù)的圖象大致如下