1.2

高斯消元法與矩陣的初等變換一、引入二、初等變換與高斯消元法三、初等矩陣返回一、引入1.2

高斯消元法與矩陣的初等變換齊次方程組：AX=0;

非齊次方程組：AX=b,b0(b中至少有一分量不為零)為AX=b的解：AX=b成立.問(wèn)題方程組何時(shí)有解？若有解，有多少解？如何求出其全部解？引例求解線性方程組解用“回代”的方法求出解：于是解得小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱(chēng)為消元法．2．始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如

下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．（與相互替換）（以替換）（以替換）3．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過(guò)程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算．若記則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣

(方程組（1）的增廣矩陣）的變換．二、初等變換與高斯消元法定義1（初等變換）矩陣的行（列）初等變換：交換兩行（列）的位置；用一非零數(shù)乘某一行（列）的所有元；把矩陣的某一行（列）的適當(dāng)倍數(shù)加到另一行（列）上去.記為記為，其中記為例1

考慮方程組的如下同解變換：（行（簡(jiǎn)化）階梯形矩陣）得一般解（無(wú)窮多組解）：自由未知量行階梯形矩陣每個(gè)非零行的非零首元都出現(xiàn)在上一行非零首元的右邊，同時(shí)沒(méi)有個(gè)非零行出現(xiàn)在零行之下的矩陣稱(chēng)為行階梯形矩陣。特點(diǎn)：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個(gè)階梯只有一行，階梯數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．如果行階梯形矩陣的每一個(gè)非零行的非零首元都是1，且非零首元所在列的其余元都為0，則稱(chēng)其為簡(jiǎn)化階梯形矩陣。例2

是否為行（簡(jiǎn)化）階梯形？例3

若某方程組經(jīng)同解變換化為（行階梯形矩陣）顯然，有唯一解.例4

若某方程組經(jīng)同解變換化為顯然，無(wú)解.例5

解方程組解無(wú)解.例6

解方程組解為方程組的全部解.增廣矩陣經(jīng)

行

初等變換化為行（簡(jiǎn)化）階梯形，該階梯形與方程組解的關(guān)系：行（簡(jiǎn)化）階梯形中非零行的行數(shù)<未知量個(gè)數(shù)無(wú)窮多解該數(shù)不為零，無(wú)解行（簡(jiǎn)化）階梯形中非零行的行數(shù)=未知量個(gè)數(shù)唯一解自由未知量.問(wèn)題：對(duì)于齊次方程組AX=0

？行（簡(jiǎn)化）階梯形中非零行的行數(shù)<未知量個(gè)數(shù)有非零解(無(wú)窮多解)行（簡(jiǎn)化）階梯形中非零行的行數(shù)=未知量個(gè)數(shù)只有零解(唯一解)

A與

B等價(jià)：AB.初等變換三、初等矩陣定義（初等矩陣）對(duì)單位矩陣作一次初等變換所

得矩陣i行j行三種初等矩陣：i

行i行j行例1定理

對(duì)矩陣A作一次行（列）初等變換，相當(dāng)于在A的左（右）邊乘上相應(yīng)的初等矩陣.（“左乘行，右乘列”）定理的應(yīng)用：1.若矩陣B是由A經(jīng)有限次行初等變換得到的，則存在有限個(gè)初等矩陣E1,…,Ek,使得2.若矩陣B是由A經(jīng)有限次列初等變換得到的，則存在有限個(gè)初等矩陣E1,…,Ek,使得3