2021-2022學(xué)年北京市朝陽區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷試題數(shù)：21，總分：1501.（單選題，4分）（1+i）2=（）A.-2B.2C.-2iD.2i2.（單選題，4分）雙曲線的漸近線方程為（）A.B.C.D.3.（單選題，4分）在5道試題中有2道代數(shù)題和3道幾何題，每次從中抽出1道題，抽出的題不再放回，則在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為（）A.B.C.D.4.（單選題，4分）已知拋物線y2=4x上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離為4，則點(diǎn)M到x軸的距離是（）A.B.C.4D.125.（單選題，4分）設(shè)函數(shù)，若f（x）≤2，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A.[-1，+∞）B.（0，4]C.[-1，4]D.（-∞，4]6.（單選題，4分）在直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A，將向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，則的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.7.（單選題，4分）某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可使水中雜質(zhì)減少50%，若要使水中雜質(zhì)減少到原來的10%以下，則至少需要過濾（）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010）A.2次B.3次C.4次D.5次8.（單選題，4分）若函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的最大值為2，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A.a2+b2=4B.ab≤2C.（a+b）2≤8D.（a-b）2≤49.（單選題，4分）已知平面向量，滿足||=2，與-的夾角為120°，記=t+（1-t）（t∈R），則||的取值范圍為（）A.[，+∞）B.[，+∞）C.[1，+∞）D.[，+∞）10.（單選題，4分）如圖，將半徑為1的球與棱長為1的正方體組合在一起，使正方體的一個(gè)頂點(diǎn)正好是球的球心，則這個(gè)組合體的體積為（）A.B.C.D.π+111.（填空題，5分）在的展開式中，x的系數(shù)為___．12.（填空題，5分）已知圓C：x2+y2=r2（r＞0），直線，則使“圓C上至少有3個(gè)點(diǎn)到直線l距離都是1”成立的一個(gè)充分條件是“r=___”．13.（填空題，5分）如圖，正方形ABCD的邊長為2，取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個(gè)正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第3個(gè)正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去．則第4個(gè)正方形的面積是___；從正方形ABCD開始，連續(xù)8個(gè)正方形面積之和是___．14.（填空題，5分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，平面AEF與平面PBC___（填“垂直”或“不垂直”）；△AEF的面積的最大值為___．15.（填空題，5分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，設(shè)g（x）=|f（x）|，給出以下四個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)g（x）的最小正周期是；

②函數(shù)g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增；

③函數(shù)g（x）的圖象過點(diǎn)；

④直線為函數(shù)g（x）的圖象的一條對稱軸．

其中所有正確結(jié)論的序號是___．16.（問答題，13分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=2t-1，b=4t，c=4t+1（t＞1）．

（Ⅰ）當(dāng)t=3時(shí)，求cosB；

（Ⅱ）是否存在正整數(shù)t，使得角C為鈍角？如果存在，求出t的值，并求此時(shí)△ABC的面積；如果不存在，說明理由．17.（問答題，13分）“雙減”政策實(shí)施以來，各地紛紛推行課后服務(wù)“5+2”模式，即學(xué)校每周周一至周五5天都要面向所有學(xué)生提供課后服務(wù)，每天至少2小時(shí)．某學(xué)校的課后服務(wù)有學(xué)業(yè)輔導(dǎo)、體育鍛煉、實(shí)踐能力創(chuàng)新培養(yǎng)三大類別，為了解該校學(xué)生上個(gè)月參加課后服務(wù)的情況，該校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人作為樣本，發(fā)現(xiàn)樣本中未參加任何課后服務(wù)的有14人，樣本中僅參加某一類課后服務(wù)的學(xué)生分布情況如下：每周參加活動(dòng)天數(shù)

課后服務(wù)活動(dòng)1天2～4天5天僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)10人11人4人僅參加體育鍛煉5人12人1人僅參加實(shí)踐能力創(chuàng)新培養(yǎng)3人12人1人（Ⅰ）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月至少參加了兩類課后服務(wù)活動(dòng)的概率；

（Ⅱ）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，以頻率估計(jì)概率，以X表示這3人中上個(gè)月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）若樣本中上個(gè)月未參加任何課后服務(wù)的學(xué)生有n（0＜n≤14）人在本月選擇僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)，樣本中其他學(xué)生參加課后服務(wù)的情況在本月沒有變化．從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，以頻率估計(jì)概率，以X表示這3人中上個(gè)月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的人數(shù)，以Y表示這3人中本月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的人數(shù)，試判斷方差D（X），D（Y）的大小關(guān)系（結(jié)論不要求證明）．18.（問答題，14分）芻甍（chúméng）是中國古代數(shù)學(xué)書中提到的一種幾何體．《九章算術(shù)》中有記載“下有袤有廣，而上有袤無廣”，可翻譯為：“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．”

如圖，在芻甍ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，平面BAE和平面CDE交于EF．

（Ⅰ）求證：CD||平面BAE；

（Ⅱ）若AB=4，EF=2，ED=FC，，再從條件①，條件②，條件③中選擇一個(gè)作為已知，使得芻甍ABCDEF存在，并求平面ADE和平面BAE夾角的余弦值．

條件①：BF⊥FC，AF⊥FC；

條件②：平面CDE⊥平面ABCD；

條件③：平面CBF⊥平面ABCD．19.（問答題，15分）已知曲線W：，m≠0，且m≠3）．

（Ⅰ）若曲線W是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)m=1時(shí)，過點(diǎn)E（1，0）作斜率為k（k≠0）的直線l交曲線W于點(diǎn)A，B（A，B異于頂點(diǎn)），交直線x=2于P．過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為Q，直線AQ交x軸于C，直線BQ交x軸于D，求線段CD中點(diǎn)M的坐標(biāo)．20.（問答題，15分）已知函數(shù)f（x）=2lnx-x-lna，a＞0．

（Ⅰ）求曲線y=f（x）在（1，f（1））處切線的斜率；

（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極大值；

（Ⅲ）設(shè)g（x）=aex-x2，當(dāng)a∈（1，e）時(shí)，求函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．21.（問答題，15分）對任意正整數(shù)n，記集合An={（a1，a2，?，an）|a1，a2，?，an均為非負(fù)整數(shù)，且a1+a2+?+an=n}，集合Bn={（b1，b2，?，bn）|b1，b2，?，bn均為非負(fù)整數(shù)，且b1+b2+?+bn=2n}．設(shè)α=（a1，a2，?，an）∈An，β=（b1，b2，?，bn）∈Bn，若對任意i∈{1，2，?，n}都有ai≤bi，則記α＜β．

（Ⅰ）寫出集合A2和B2；

（Ⅱ）證明：對任意α∈An，存在β∈Bn，使得α＜β；

（Ⅲ）設(shè)集合Sn={（α，β）|α∈An，β∈Bn，α＜β}，求證：Sn中的元素個(gè)數(shù)是完全平方數(shù)．

2021-2022學(xué)年北京市朝陽區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析試題數(shù)：21，總分：1501.（單選題，4分）（1+i）2=（）A.-2B.2C.-2iD.2i【正確答案】：D【解析】：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可．

【解答】：解：（1+i）2=1+2i+i2=1+2i-1=2i，

故選：D．

【點(diǎn)評】：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2.（單選題，4分）雙曲線的漸近線方程為（）A.B.C.D.【正確答案】：A【解析】：由雙曲線的性質(zhì)及方程直接可得雙曲線的漸近線的方程．

【解答】：解：由雙曲線的方程可得漸近線方程為：y=x，

故選：A．

【點(diǎn)評】：本題考查雙曲線的性質(zhì)，漸近線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．3.（單選題，4分）在5道試題中有2道代數(shù)題和3道幾何題，每次從中抽出1道題，抽出的題不再放回，則在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為（）A.B.C.D.【正確答案】：D【解析】：設(shè)事件A：第1次抽到代數(shù)題，事件B：第2次抽到幾何題，求出P（A），P（AB），利用條件概型求解．

【解答】：解：事件A：第1次抽到代數(shù)題，事件B：第2次抽到幾何題，

P（A）=，P（AB）==，

∴在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為：

P（B|A）===．

故選：D．

【點(diǎn)評】：本題考查概率的求法，考查條件概型等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4.（單選題，4分）已知拋物線y2=4x上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離為4，則點(diǎn)M到x軸的距離是（）A.B.C.4D.12【正確答案】：B【解析】：先根據(jù)拋物線方程求得準(zhǔn)線方程，利用拋物線定義可知M到準(zhǔn)線的距離為4，進(jìn)而利用xM+1=4，求得M的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程求得M的縱坐標(biāo)，從而求得答案．

【解答】：解：根據(jù)題意可知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1，

∵M(jìn)到該拋物線的焦點(diǎn)F的距離為4，

∴M到準(zhǔn)線的距離為5，即xM+1=4，

∴xM=3，代入拋物線方程求得y=±2，

∴點(diǎn)M到x軸的距離為2．

故選：B．

【點(diǎn)評】：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是通過點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離求得其橫坐標(biāo)，利用了拋物線的定義．5.（單選題，4分）設(shè)函數(shù)，若f（x）≤2，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A.[-1，+∞）B.（0，4]C.[-1，4]D.（-∞，4]【正確答案】：C【解析】：分段討論，分別求出其不等式的解集．

【解答】：解：∵函數(shù)，

∴當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）≤2即log2x≤2，解得1＜x≤4，

當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）≤2即（）x≤2，解得-1≤x≤1，

綜上所述不等式的解集為：[-1，4]，

故選：C．

【點(diǎn)評】：本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，以及指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是分段討論，屬于基礎(chǔ)題．6.（單選題，4分）在直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A，將向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，則的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【正確答案】：B【解析】：把向量用坐標(biāo)表示，利用向量的旋轉(zhuǎn)即可求出結(jié)果．

【解答】：解：由題意知，向量=（-，-）=（cos，sin），

將繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，

得=（cos（+），sin（+））=（-sin，cos）=（，-），

則的坐標(biāo)為（，-）．

故選：B．

【點(diǎn)評】：本題考查了平面向量的旋轉(zhuǎn)和三角函數(shù)值的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．7.（單選題，4分）某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可使水中雜質(zhì)減少50%，若要使水中雜質(zhì)減少到原來的10%以下，則至少需要過濾（）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010）A.2次B.3次C.4次D.5次【正確答案】：C【解析】：根據(jù)已知條件，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的公式，即可求解．

【解答】：解：設(shè)至少需過濾的次數(shù)為n，

則由題意可得，0.5n≤0.1，即nlg0.5≤0.1，

故n≥，

故至少需要過濾4次．

故選：C．

【點(diǎn)評】：本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握對數(shù)函數(shù)的公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．8.（單選題，4分）若函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的最大值為2，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A.a2+b2=4B.ab≤2C.（a+b）2≤8D.（a-b）2≤4【正確答案】：D【解析】：直接利用關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．

【解答】：解：函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的最大值為2，即，整理得a2+b2=4，

對于A：滿足a2+b2=4，故A正確；

對于B：2ab≤a2+b2=4，故ab≤2，故B正確；

對于C：（a+b）2≤2（a2+b2）=8，故C正確；

對于D：由于（a+b）2≤8，故（a-b）2≤8不成立，故D錯(cuò)誤．

故選：D．

【點(diǎn)評】：本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．9.（單選題，4分）已知平面向量，滿足||=2，與-的夾角為120°，記=t+（1-t）（t∈R），則||的取值范圍為（）A.[，+∞）B.[，+∞）C.[1，+∞）D.[，+∞）【正確答案】：A【解析】：由共線原理可知三向量的終點(diǎn)共線，作出圖形，求出最短距離即可得出答案．

【解答】：解：已知平面向量，滿足||=2，與-的夾角為120°，

設(shè)=，=，=，

則OA=2，∠OAB=120°，

∵=t+（1-t）（t∈R），

∴A，B，C三點(diǎn)共線，

O到直線AB的距離d=OA?sin60°=，

∴OC≥，

即||的取值范圍為[，+∞）．

故選：A．

【點(diǎn)評】：本題考查了平面向量的基本定理，屬于中檔題．10.（單選題，4分）如圖，將半徑為1的球與棱長為1的正方體組合在一起，使正方體的一個(gè)頂點(diǎn)正好是球的球心，則這個(gè)組合體的體積為（）A.B.C.D.π+1【正確答案】：A【解析】：分析該組合體的組成可得該幾何體體積是個(gè)球的體積與一個(gè)正方體體積之和，計(jì)算可得結(jié)果．

【解答】：解：該組合體的體積V=V球+V正方體-V球=+V正方體=×+13=+1，

故選：A．

【點(diǎn)評】：本題考查了幾何體體積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．11.（填空題，5分）在的展開式中，x的系數(shù)為___．【正確答案】：[1]10【解析】：求出展開式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為1，求出r的值，即可求解x的系數(shù)．

【解答】：解：的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=x5-r=x5-2r，

令5-2r=1，解得r=2，

所以在的展開式中，x的系數(shù)為=10．

故答案為：10．

【點(diǎn)評】：本題主要考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．12.（填空題，5分）已知圓C：x2+y2=r2（r＞0），直線，則使“圓C上至少有3個(gè)點(diǎn)到直線l距離都是1”成立的一個(gè)充分條件是“r=___”．【正確答案】：[1]2（答案不唯一）【解析】：根據(jù)圓的對稱性，當(dāng)半徑減去圓心到直線的距離大于或等于1時(shí)，圓上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，由此列出關(guān)于r的不等式，求解r的范圍．然后利用充要條件寫出結(jié)果即可．

【解答】：解：要使圓C上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l的距離為1，

只需r-d≥1，

即r-≥1；

解得r≥2．

所以圓半徑r的取值范圍是[2，+∞）．

圓C：x2+y2=r2（r＞0），直線，則使“圓C上至少有3個(gè)點(diǎn)到直線l距離都是1”成立的一個(gè)充分條件是r=2．

故答案為：2（答案不唯一）．

【點(diǎn)評】：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系應(yīng)用問題，可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離來解，充要條件的判斷，是中檔題．13.（填空題，5分）如圖，正方形ABCD的邊長為2，取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個(gè)正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第3個(gè)正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去．則第4個(gè)正方形的面積是___；從正方形ABCD開始，連續(xù)8個(gè)正方形面積之和是___．【正確答案】：[1];[2]【解析】：根據(jù)題意，設(shè)第n個(gè)正方形的面積為an，分析可得數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列，而a1=2×2=4，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式計(jì)算可得答案．

【解答】：解：根據(jù)題意，設(shè)第n個(gè)正方形的面積為an，

取第n個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)，連接之后得到第n+1個(gè)正方形，易得an=2an+1，

則數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列，

正方形ABCD的邊長為2，則a1=2×2=4，

則第4個(gè)正方形的面積a4=4×（）3=，

從正方形ABCD開始，連續(xù)8個(gè)正方形面積之和S8==，

故答案為：，．

【點(diǎn)評】：本題考查數(shù)列求和的應(yīng)用，涉及歸納推理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14.（填空題，5分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，平面AEF與平面PBC___（填“垂直”或“不垂直”）；△AEF的面積的最大值為___．【正確答案】：[1]垂直;[2]【解析】：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，判定定理，可證AE⊥平面PBC，根據(jù)面面垂直的判定定理，即可得證．分析可得，當(dāng)點(diǎn)F位于點(diǎn)C時(shí)，面積最大，代入數(shù)據(jù)，即可得答案．

【解答】：解：因?yàn)镻A⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，

所以PA⊥BC，

又底面ABCD為正方形，

所以AB⊥BC，

又AB∩PA=A，AB，PA?平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，

因?yàn)锳E?平面PAB，

所以BC⊥AE，

又PA=AB=2，

所以△PAB為等腰直角三角形，且E為線段PB的中點(diǎn)，

所以AE⊥PB，

又BC∩PB=B，BC，PB?平面PBC，

所以AE⊥平面PBC，

因?yàn)锳E?平面AEF，

所以平面AEF⊥與平面PBC．

因?yàn)锳E⊥平面PBC，EF?平面PBC，

所以AE⊥EF，

所以當(dāng)EF最大時(shí)，△AEF的面積的最大，

當(dāng)F位于點(diǎn)C時(shí)，EF最大且，

所以△AEF的面積的最大為．

故答案為：垂直；．

【點(diǎn)評】：本題主要考查空間中的垂直關(guān)系，立體幾何中的最值問題等知識，屬于中等題．15.（填空題，5分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，設(shè)g（x）=|f（x）|，給出以下四個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)g（x）的最小正周期是；

②函數(shù)g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增；

③函數(shù)g（x）的圖象過點(diǎn)；

④直線為函數(shù)g（x）的圖象的一條對稱軸．

其中所有正確結(jié)論的序號是___．【正確答案】：[1]①②④【解析】：根據(jù)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的部分圖象求出g（x）=|f（x）|解析式，再分析題目中的結(jié)論是否正確．

【解答】：解：根據(jù)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的部分圖象知，=-=，T=，f（x）的最小正周期為，

所以g（x）=|f（x）|的最小正周期為，結(jié)論①正確；

因?yàn)棣?=3，且f（）=sin（3×+φ）=1，

所以+φ=+2kπ，k∈Z，解得φ=-+2kπ，k∈Z，又因?yàn)閨φ|＜，所以φ=-，

所以f（x）=sin（3x-），所以g（x）=|f（x）|=|sin（3x-）|，

當(dāng)x∈（，）時(shí)，3x-∈（π，），f（x）=sin（3x-）單調(diào)遞減，且f（x）＜0，

所以函數(shù)g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)論②正確；

因?yàn)間（0）=|sin（-）|=，所以函數(shù)g（x）的圖象過點(diǎn)（0，），結(jié)論③錯(cuò)誤；

因?yàn)間（）=|sin（3×-）|=0，所以直線是函數(shù)g（x）圖象的一條對稱軸，結(jié)論④正確．

綜上知，所有正確結(jié)論的序號是①②④．

故答案為：①②④．

【點(diǎn)評】：本題考查了正弦型函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是中檔題．16.（問答題，13分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=2t-1，b=4t，c=4t+1（t＞1）．

（Ⅰ）當(dāng)t=3時(shí)，求cosB；

（Ⅱ）是否存在正整數(shù)t，使得角C為鈍角？如果存在，求出t的值，并求此時(shí)△ABC的面積；如果不存在，說明理由．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）利用勾股定理判斷△ABC為直角三角形，然后求解即可．

（Ⅱ）由題意列出不等式組，求出t，求出C的正弦函數(shù)值，然后求解三角形的面積．

【解答】：解：（Ⅰ）t=3時(shí)，a=5，b=12，c=13，52+122=132，此時(shí)△ABC為直角三角形，

所以．............（6分）

（Ⅱ）由題意可得，

即所以1＜t＜3，t∈N*.則t=2．

此時(shí)三邊為a=3，b=8，c=9．

所以．所以．

所以．............（13分）

【點(diǎn)評】：本題考查正弦定理的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積的求法，是中檔題．17.（問答題，13分）“雙減”政策實(shí)施以來，各地紛紛推行課后服務(wù)“5+2”模式，即學(xué)校每周周一至周五5天都要面向所有學(xué)生提供課后服務(wù)，每天至少2小時(shí)．某學(xué)校的課后服務(wù)有學(xué)業(yè)輔導(dǎo)、體育鍛煉、實(shí)踐能力創(chuàng)新培養(yǎng)三大類別，為了解該校學(xué)生上個(gè)月參加課后服務(wù)的情況，該校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人作為樣本，發(fā)現(xiàn)樣本中未參加任何課后服務(wù)的有14人，樣本中僅參加某一類課后服務(wù)的學(xué)生分布情況如下：每周參加活動(dòng)天數(shù)

課后服務(wù)活動(dòng)1天2～4天5天僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)10人11人4人僅參加體育鍛煉5人12人1人僅參加實(shí)踐能力創(chuàng)新培養(yǎng)3人12人1人（Ⅰ）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月至少參加了兩類課后服務(wù)活動(dòng)的概率；

（Ⅱ）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，以頻率估計(jì)概率，以X表示這3人中上個(gè)月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）若樣本中上個(gè)月未參加任何課后服務(wù)的學(xué)生有n（0＜n≤14）人在本月選擇僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)，樣本中其他學(xué)生參加課后服務(wù)的情況在本月沒有變化．從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，以頻率估計(jì)概率，以X表示這3人中上個(gè)月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的人數(shù)，以Y表示這3人中本月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的人數(shù)，試判斷方差D（X），D（Y）的大小關(guān)系（結(jié)論不要求證明）．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）求出樣本中僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的學(xué)生有25人，僅參加體育鍛煉的學(xué)生有18人，僅參加實(shí)踐能力創(chuàng)新培養(yǎng)的學(xué)生有16人，未參加任何課后服務(wù)的學(xué)生有14人．然后求解概率即可．

（Ⅱ）X的所有可能值為0，1，2，3．求出概率，得到分布列，然后求解期望．

（Ⅲ）判斷方差的大小即可．

【解答】：解：（Ⅰ）由題意知，樣本中僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的學(xué)生有25人，僅參加體育鍛煉的學(xué)生有18人，僅參加實(shí)踐能力創(chuàng)新培養(yǎng)的學(xué)生有16人，未參加任何課后服務(wù)的學(xué)生有14人．

故樣本中至少參加了兩類課后服務(wù)的學(xué)生有100-25-18-16-14=27人．

所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，

該學(xué)生上個(gè)月至少參加了兩類課后服務(wù)的概率估計(jì)值為．............（4分）

（Ⅱ）X的所有可能值為0，1，2，3．

從樣本中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的概率為，

由此估計(jì)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的概率為.，，，．

所以X的分布列為X123P故X的數(shù)學(xué)期望為．............（10分）

（Ⅲ）D（X）＜D（Y）．............（13分）

【點(diǎn)評】：本題考查概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與計(jì)算能力，是中檔題．18.（問答題，14分）芻甍（chúméng）是中國古代數(shù)學(xué)書中提到的一種幾何體．《九章算術(shù)》中有記載“下有袤有廣，而上有袤無廣”，可翻譯為：“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．”

如圖，在芻甍ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，平面BAE和平面CDE交于EF．

（Ⅰ）求證：CD||平面BAE；

（Ⅱ）若AB=4，EF=2，ED=FC，，再從條件①，條件②，條件③中選擇一個(gè)作為已知，使得芻甍ABCDEF存在，并求平面ADE和平面BAE夾角的余弦值．

條件①：BF⊥FC，AF⊥FC；

條件②：平面CDE⊥平面ABCD；

條件③：平面CBF⊥平面ABCD．【正確答案】：

【解析】：（I）利用線面平行的判定定理可得證；

（II）先判斷只有條件②符合，再利用空間向量法求得二面角的余弦值．

【解答】：解：（Ⅰ）證明：正方形ABCD中，CD||AB，CD?平面BAE，AB?平面BAE，

所以CD||平面BAE．

（Ⅱ）由（1）知CD||平面BAE，又CD?平面CDE，平面BAE與平面CDE交于EF．

∴CD||EF，又CD||AB，∴AB||EF

所以四邊形CDFE為等腰梯形，四邊形BAEF為梯形；

條件①：BF⊥FC，AF⊥FC，則FC⊥平面BAF，即FC⊥平面BAE

又EF?平面BAE，∴FC⊥EF，此時(shí)四邊形CDFE不為等腰梯形，故條件①不符合

條件③：平面CBF⊥平面ABCD，且平面ABF∩平面ABCD=BC

又CD⊥BC，∴CD⊥平面CBF，F(xiàn)C?平面CBF，∴CD⊥FC

此時(shí)四邊形CDFE不為等?梯形，故條件③不符合；

條件②符合題意．

過點(diǎn)F作FO⊥DC于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OH⊥DC且交AB于點(diǎn)H，連接AO．

因?yàn)槠矫鍯DE⊥平面ABCD，且平面CDE∩平面ABCD=CD，F(xiàn)O⊥DC，

所以FO⊥平面ABCD．所以FO⊥OH．

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)D，OH，OF所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．

因?yàn)镃D||平面BAE，CD?平面CDE，平面BAE∩平面CDE=EF，

所以CD||EF．

在四邊形CDEF中，ED=FC，EF=2，CD=4，所以O(shè)C=1，OD=3．

在正方形ABCD中，AB=4，所以AO=5．

因?yàn)锳O⊥FO，且，所以．

所以H（0，4，0），D（3，0，0），A（3，4，0），，．

所以，，，．

設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為=（x1，y1，z1②）．

由得

令z1=1，所以．

設(shè)平面BAE的一個(gè)法向量為=（x2，y2，z2）．

由得令y2=1，所以．

設(shè)平面ADE與平面BAE夾角為θ，則．

所以平面ADE和平面BAE夾角的余弦值為．

【點(diǎn)評】：本體考查利用向量求空間角，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于難題．19.（問答題，15分）已知曲線W：，m≠0，且m≠3）．

（Ⅰ）若曲線W是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)m=1時(shí)，過點(diǎn)E（1，0）作斜率為k（k≠0）的直線l交曲線W于點(diǎn)A，B（A，B異于頂點(diǎn)），交直線x=2于P．過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為Q，直線AQ交x軸于C，直線BQ交x軸于D，求線段CD中點(diǎn)M的坐標(biāo)．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）利用已知條件列出不等式組，然后求解m的取值范圍．

（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0）．聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)直線l交橢圓W于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達(dá)定理，求出P（2，k），Q（0，k）．得到直線AQ的方程，求出．得到直線BQ的方程，求出．然后化簡求解線段CD中點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．

【解答】：解：（Ⅰ）由題意可知解得，

所以m的取值范圍為．............（4分）

（Ⅱ）當(dāng)m=1時(shí)，曲線W為橢圓，

由題意，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0）．

聯(lián)立，

整理得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0．

設(shè)直線l交橢圓W于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則，．

由直線l的方程y=k（x-1），令x=2，解得y=k，

所以P（2，k），Q（0，k）．

所以直線AQ的方程為，x1≠0．

令y=0，解得，

所以．

直線BQ的方程為，x2≠0．

令y=0，解得，

所以．

=．

由于y1-k=k（x1-2），y2-k=k（x2-2）．

則=

==

=

=2．

所以線段CD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）．............（15分）

【點(diǎn)評】：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．20.（問答題，15分）已知函數(shù)f（x）=2lnx-x-lna，a＞0．

（Ⅰ）求曲線y=f（x）在（1，f（1））處切線的斜率；

（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極大值；

（Ⅲ）設(shè)g（x）=aex-x2，當(dāng)a∈（1，e）時(shí)，求函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解切線的斜率．

（Ⅱ）求出導(dǎo)函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的極值即可．

（Ⅲ）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解得函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．

【解答】：解：（Ⅰ）f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），f'（1）=1，

所以曲線y=f（x）在（1，f（1））處切線的斜率為1．............（4分）

（Ⅱ）f（x）=2lnx-x-lna，則．

令f'（x）=0得x=2．當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞2時(shí)，f'（x）＜0，f（x）

單調(diào)遞減．所以函數(shù)f（x）的極大值為f（2）=．............（10分）

（Ⅲ）g'（x）=aex-2x（1＜a＜e），

當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，g'（x）＞0，所以函數(shù)g（x）在x∈（-∞，0]時(shí)單調(diào)遞增．

而g（0）=a＞0，．

所以方程g（x）=0在x∈（-1，0）時(shí)有且只有一個(gè)根，即方程g（x）=0在x∈（-∞，0]時(shí)有且只有一個(gè)根．

當(dāng)x＞0時(shí)，討論函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即討論方程aex=x2根的個(gè)數(shù)，

即研究方程lna+x=2lnx（1＜a＜e，x＞0）的根的個(gè)數(shù)，

即研究函數(shù)f（x）=2lnx-x-lna（1＜a＜e，x＞0）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

當(dāng)1＜a＜e時(shí)，ae2＞e2，，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上無零點(diǎn)．

綜上，當(dāng)a∈（1，e）時(shí)，函數(shù)g（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．............（15分）

【點(diǎn)評】：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求法，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．21.（問答題，15分）對任意正整數(shù)n，記集合An={（a1，a2，?，an）|a1，a2，?，an均為非負(fù)整數(shù)，且a1+a2+?+an=n}，集合Bn