第六章自動控制系統(tǒng)的校正本章目錄第一節(jié)控制系統(tǒng)校正的基本概念第二節(jié)常用校正裝置及其特性第三節(jié)自動控制系統(tǒng)的頻率法校正第四節(jié)串聯(lián)校正裝置的根軌跡設計方法第五節(jié)期望對數(shù)頻率特性設計方法第六節(jié)并聯(lián)校正裝置的設計本章小結第一節(jié)控制系統(tǒng)校正的基本概念一般來說，系統(tǒng)設計比系統(tǒng)分析要更加復雜一些。這是因為：所提出的系統(tǒng)性能指標，往往可采用不同的控制方案來實現(xiàn)，即系統(tǒng)的設計方案不是唯一的。在進行結構和參數(shù)計算時，常常會出現(xiàn)相互矛盾的情況，從而導致設計復雜化。需要綜合技術性、經(jīng)濟性、可靠性等各方面的問題。一、校正的基本概念如前所述，自動控制系統(tǒng)由執(zhí)行器、被控對象、檢測反饋和控制器組成的。

通常，被控對象是已知的，而執(zhí)行器和檢測反饋則根據(jù)被控對象的特點、控制要求以及經(jīng)濟性、可靠性等選定的，這些設備可與被控對象組合成控制系統(tǒng)的固有部分。

一般情況下，控制系統(tǒng)固有部分的性能指標是很差的，必須引入附加裝置對固有部分進行改造，才能使控制系統(tǒng)全面滿足靜態(tài)和動態(tài)性能要求。這些為保證控制系統(tǒng)達到預期的性能指標要求而有目的引入的附加裝置稱為控制系統(tǒng)的校正裝置，如圖6-05所示。三、控制系統(tǒng)的性能指標

穩(wěn)態(tài)性能指標

穩(wěn)態(tài)精度或稱為穩(wěn)態(tài)誤差ess

動態(tài)性能指標（描述過渡過程響應特性）

時域指標：上升時間tr

超調量s

%

調節(jié)時間ts

頻域指標：截止頻率wc

相角裕度

g

相對穩(wěn)定性

增益裕量

Lh、相位裕量

擾動的抑制

頻率帶寬wb四、校正方式

校正裝置就是為提高和改善系統(tǒng)的靜態(tài)和動態(tài)性能而人為地引入到系統(tǒng)的附加控制部分。

根據(jù)校正裝置在自動控制系統(tǒng)中位置的不同，可分串聯(lián)校正、反饋校正和復合校正三種基本形式。1.串聯(lián)校正校正裝置在前向通道上，并與系統(tǒng)被控對象等固有部分相串聯(lián)，這種校正方式稱之為串聯(lián)校正，如圖6-03所示。這種校正裝置的結構比較簡單。3.復合校正復合校正是指在系統(tǒng)閉環(huán)回路之外采用的校正方法，可分為按輸入補償?shù)捻橉佇Ｕ桶磾_動補償前饋校正兩種形式，如圖6-06所示。

串聯(lián)校正的特點校正裝置比較簡單，容易對信號進行各種必要的運算。但需注意負載效應的影響。

反饋校正的特點可使系統(tǒng)的性能得到改善，并抑制系統(tǒng)固有部分參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響，減低非線性因素的影響。元件數(shù)也往往較少。

復合校正的特點復合校正可極大的減小甚至消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，并抑制幾乎所有可測量的擾動。4.各種校正方式的特點五、校正方法系統(tǒng)校正的主要工作就是按照性能指標的要求選擇合適的校正裝置并確定其參數(shù)，即設計校正裝置。常用的工程設計方法有以下三種：

頻率法校正根軌跡法校正時域法校正在以后章節(jié)中，我們將采用各種校正方法，對控制系統(tǒng)校正進行分析。2.根軌跡法校正

根軌跡法的設計思路是根據(jù)所要求的性能指標，確定出閉環(huán)系統(tǒng)的一對主導共軛復數(shù)極點，然后通過引入適當?shù)男Ｕb置，利用其零、極點去改變原系統(tǒng)固有部分的根軌跡形狀，并迫使校正后系統(tǒng)的根軌跡通過所期望的主導極點的應有位置，以達到校正的目的?？紤]到校正后的系統(tǒng)仍可能實際存在著閉環(huán)零點和非主導極點，它們對最終系統(tǒng)的性能會有所影響，故在選擇主導極點的位置時應留有余地。3.時域法校正時域法校正實際上是根據(jù)系統(tǒng)的靜態(tài)和動態(tài)性能指標，以及原系統(tǒng)固有部分結構和參數(shù)，大致確定出校正裝置的形式和結構，并設置不同的校正參數(shù)，應用計算機進行時域仿真，從而得到系統(tǒng)的時域響應過程，以此對系統(tǒng)作出評估，再對校正裝置的結構和參數(shù)進行進一步的修正，反復多次，直至達到預期的性能目標。這種計算機輔助設計過程可以融入設計者的分析、判斷、推理和決策能力，將大大提高系統(tǒng)設計效率。第二節(jié)常用校正裝置及其特性

一般而言，當自動控制系統(tǒng)的開環(huán)增益增大到可滿足其靜態(tài)性能所要求的數(shù)值時，系統(tǒng)有可能不穩(wěn)定，或者即使穩(wěn)定，也因為其相角裕度太小，導致系統(tǒng)動態(tài)性能不理想。在這種情況下，需要在系統(tǒng)的前向通路中增加超前校正裝置，以實現(xiàn)在開環(huán)增益不變的前提下，開環(huán)系統(tǒng)的相角裕度足夠大，從而使其動態(tài)性能可滿足設計的要求。1.超前校正網(wǎng)絡如圖6-10所示為超前校正網(wǎng)絡。超前校正網(wǎng)絡既可由

RC

無源網(wǎng)絡組成，也可由運算放大器加適當電路的有源網(wǎng)絡組成。無源超前校正網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)如下：該網(wǎng)絡的頻率特性表達式為無源超前校正網(wǎng)絡的波德圖即對數(shù)頻率特性如圖6-08所示。無源超前校正網(wǎng)絡的相角為

由于a

<

1，則jc(w)

>

0。

對jc(w)求導，并令其等于零，即有這時無源超前校正網(wǎng)絡將產生最大的超前相角jm，且有

可以看出，上述無源超前網(wǎng)絡在低頻端存在衰減。一般來說，控制系統(tǒng)的校正裝置通常先滿足穩(wěn)態(tài)誤差的要求，附加的校正裝置最好不要影響低頻段。因此應先增加一個增益為Kc=-20log

a的比例環(huán)節(jié)或將固有系統(tǒng)的增益提高Kc，以抵消無源超前校正裝置造成的增益衰減，這時，其相應的頻率特性如圖6-11所示。根據(jù)前面分析的結果可知，開環(huán)放大系數(shù)的改變并不影響無源超前校正網(wǎng)絡的相頻特性。如采用運算放大器進行補償，則無源超前校正網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)如下若采用如圖6-08所示的有源超前校正網(wǎng)絡，則其傳遞函數(shù)為若適當選擇電阻值，使R2+R3=

R1，則可得Kc=1。此時，有源超前校正網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)成為比較以上兩個傳遞函數(shù)可發(fā)現(xiàn)，有源超前校正網(wǎng)絡和無源超前校正網(wǎng)絡的對數(shù)頻率特性是一樣的。2.無源滯后校正網(wǎng)絡無源滯后校正網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為該網(wǎng)絡的頻率特性表達式為無源滯后校正網(wǎng)絡的波德圖由對數(shù)幅頻特性可見，無源滯后校正網(wǎng)絡對低頻信號無衰減，但對高頻信號卻有明顯的削弱作用。值越大，衰減越厲害。當頻率在w1和w2之間，特性曲線的斜率為

-20dB/dec，這意味著該網(wǎng)絡在此頻率范圍內對輸入信號具有積分作用，故滯后校正網(wǎng)絡也稱為積分校正網(wǎng)絡。該網(wǎng)絡的相頻特性表明，在所有頻率下的

jc(w

)均為負，即網(wǎng)絡的輸出信號在相位上是滯后于輸入信號的。對jc(w)求導并令其為零，可解得

即最大滯后角出現(xiàn)在轉折頻率w1和w2的幾何中心。該處的相角值為上式表明，

b越大，該網(wǎng)絡的相位滯后就越嚴重，這樣，可能使校正后系統(tǒng)的相角裕度減小。因此，在采用滯后校正網(wǎng)絡進行串聯(lián)校正時，應盡量使產生最大滯后相角的頻率

wm

遠離校正后系統(tǒng)新截止頻率wc，否則會對系統(tǒng)的動態(tài)性能產生不利影響。常取第二個轉折頻率為若采用如圖6-13所示的有源滯后校正網(wǎng)絡，則其傳遞函數(shù)為

當選擇R2+R3=R1，則Kc=1，有源滯后校正網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為3.無源滯后—超前校正網(wǎng)絡如圖6-13所示為無源滯后—超前校正網(wǎng)絡，則其傳遞函數(shù)為從無源滯后—超前校正網(wǎng)絡的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性可以看出：對數(shù)頻率特性的前半段是相位滯后校正部分發(fā)揮作用，由于其具有使增益衰減的局部作用，所以允許在低頻段提高增益，用以改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。對數(shù)頻率特性的后半段是相位超前校正部分，其局部作用可以提高系統(tǒng)的相位裕量，加大截止頻率，從而可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。如果在實際控制系統(tǒng)中應用以上所討論的無源網(wǎng)絡進行串聯(lián)校正，則放大器級間接入無源校正網(wǎng)絡后，就會出現(xiàn)復雜的負載效應問題，實際上難以實現(xiàn)希望的規(guī)律。除此之外，復雜網(wǎng)絡的設計和調整也不方便。因此，工程實際應用中廣泛采用有源校正裝置對自動控制系統(tǒng)進行校正。第三節(jié)自動控制系統(tǒng)的頻率法校正頻率法校正是經(jīng)典控制理論中的一種基本校正方法。在大多數(shù)情況下，這種方法是在系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性（波德圖）上進行的，它具有簡單易行的優(yōu)點，從而成為目前應用最為廣泛的校正方法。當采用頻率法對自動控制系統(tǒng)進行校正時，通常需要將系統(tǒng)的性能指標轉化為頻域指標，即相角裕度

g

，截止頻率wc

以及低頻段波德圖的斜率等。本節(jié)僅討論串聯(lián)校正方式。串聯(lián)校正的思路應用頻率法對自動控制系統(tǒng)進行串聯(lián)校正時，校正裝置在系統(tǒng)前向通道上與固有系統(tǒng)串級聯(lián)接，如圖6-15所示。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性表達式為當采用不同的校正網(wǎng)絡時，可獲得不同的校正結果。

1.采用超前校正：在wc

處j

(wc)增加，使g

(wc)增大。

2.采用滯后校正：使L(wc)下降，wc

前移，從而獲得較大的

g

(wc)。

3.采用滯后—超前校正。串聯(lián)校正超前滯后滯后-超前一、串聯(lián)超前校正頻率法對系統(tǒng)進行校正的基本思路就是通過所加校正裝置，改變系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的形狀，即要求校正后系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性具有如下特點：低頻段的增益能滿足穩(wěn)態(tài)精度的要求；中頻段幅頻特性的斜率為

-20dB/dec

，并具有較寬的頻帶，這一要求是為了系統(tǒng)具有滿意的動態(tài)性能；高頻段幅值增益迅速衰減，以減少噪聲的影響。用頻率法對系統(tǒng)進行超前校正的基本原則是利用超前校正網(wǎng)絡的相位超前特性來增大系統(tǒng)的相位裕量，以達到改善系統(tǒng)瞬態(tài)響應的目點。為此，要求校正網(wǎng)絡最大的相位超前角出現(xiàn)在系統(tǒng)新的截止頻率即幅值穿越頻率處。以下對此進行討論。用頻率法對系統(tǒng)進行串聯(lián)超前校正的一般步驟可歸納為：

根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差的要求，確定開環(huán)增益

K。

根據(jù)所確定的開環(huán)增益

K

，畫出未校正系統(tǒng)的波特圖，計算校正前的相角裕度

g。

根據(jù)所要求的截止頻率

，確定出校正裝置的最大超前相角jm，并以此來計算超前校正網(wǎng)絡的參數(shù)

a

和T

。選擇最大超前角頻率等于要求的系統(tǒng)截止頻率，即

為了保證系統(tǒng)的響應速度，并充分利用網(wǎng)絡的相角超前特性。顯然有驗證校正后的系統(tǒng)，看其性能指標是否滿足給定要求。根據(jù)超前網(wǎng)絡的參數(shù)

a和

T之值，確定校正網(wǎng)絡各電氣元件的參數(shù)。由于超前校正裝置的引入，使系統(tǒng)截止頻率增大而增加的相角滯后量，用Δ表示，因此必須給予補償。

Δ值通常是這樣估計的：如果未校正系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性在截止頻率處的斜率為

-40dB/dec

，一般取

如果特性的斜率為-60dB/dec

，則取最后畫出校正后系統(tǒng)的波特圖并驗算。例設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試采用超前校正裝置，使校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)為Kv=

20s-1，其相位裕度為g≥

50°

，增益裕量Lh不小于10dB。解：(1)根據(jù)靜態(tài)速度誤差系數(shù)要求，確定系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)

K

。

由上式可得

K

=

10

。此時系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為校正前系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性

(3)根據(jù)相角裕度的要求，超前校正網(wǎng)絡的相位超前角應為

(4)超前校正裝置在wm處的幅值為因此，在未校正系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅值特性為-6.2

dB處所對應的頻率為w=9.0。該頻率即校正后系統(tǒng)的截止頻率當然也可通過計算得出相同的數(shù)據(jù)。

(5)計算超前校正網(wǎng)絡的轉折頻率

根據(jù)前面的計算結果可得校正裝置的對數(shù)頻率特性

為了補償因超前校正網(wǎng)絡的引入而造成系統(tǒng)開環(huán)增益的衰減，必須使附加放大器的放大倍數(shù)為

校正后系統(tǒng)的波德圖中紅線所示，其相位裕量為

g

≥50°，增益裕量Lh為無窮大，均已滿足系統(tǒng)設計要求。

校正后系統(tǒng)的方框圖如圖所示。校正后系統(tǒng)的方框圖綜合上述分析可得串聯(lián)超前校正具有如下特點：這種校正主要是對固有系統(tǒng)中頻段進行校正，校正后其中頻段的斜率為

-20dB/dec

，且有足夠大的相角裕度。這是因為校正后系統(tǒng)的截止頻率由未校正前的

6.3

增大到

9.0

。這表明校正后，系統(tǒng)的頻帶變寬，瞬態(tài)響應速度變快；但系統(tǒng)抗高頻噪聲的能力變差。對此，在校正裝置設計時必須注意。雖然超前校正一般能比較有效地改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，但如果在校正前系統(tǒng)的相頻特性在截止頻率附近急劇下降時，若采用單級超前校正網(wǎng)絡去校正，收效不大。因為校正后系統(tǒng)的截至頻率向高頻段移動。在新的截止頻率處，由于未校正系統(tǒng)的相角滯后量過大，因而用單級的超前校正網(wǎng)絡難于獲得較大的相位裕量。二、串聯(lián)滯后校正

由于滯后校正網(wǎng)絡具有低通濾波器的特性，因而當它與系統(tǒng)的不可變部分串聯(lián)相連時，會使控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的中頻和高頻段增益降低和截止頻率wc減小，從而有可能使系統(tǒng)獲得足夠大的相位裕度，但它不影響頻率特性的低頻段。由此可見，滯后校正在一定的條件下，也能使控制系統(tǒng)同時滿足動態(tài)和靜態(tài)的要求。

不難看出，滯后校正的不足之處：校正后系統(tǒng)的截止頻率會減小，瞬態(tài)響應的速度要變慢；在截止頻率wc處，滯后校正網(wǎng)絡會產生一定的相角滯后量。為了使這個滯后角盡可能地小，理論上總希望Gc(s)兩個轉折頻率w1、w2比wc越小越好。但考慮物理實現(xiàn)上的可行性，一般取

采用滯后校正的條件：在系統(tǒng)響應速度要求不高而抑制噪聲電平性能要求較高的情況下，可考慮采用串聯(lián)滯后校正。在保持原有的已滿足要求的動態(tài)性能不變，滯后校正可以提高系統(tǒng)的開環(huán)增益，減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

如果所研究的系統(tǒng)為單位反饋最小相位系統(tǒng)，則應用頻率法設計串聯(lián)滯后校正網(wǎng)絡的步驟如下：例設控制系統(tǒng)如圖6-20所示。若要求校正后的靜態(tài)速度誤差系數(shù)等于30/s，相角裕度40度，幅值裕度不小于10dB，截止頻率不小于2.3rad/s，試設計串聯(lián)校正裝置。解：(1)根據(jù)靜態(tài)指標確定開環(huán)增益

K

(2)未校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

(3)未校正系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為根據(jù)以上表達式可畫出未校正系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性如圖6-21所示，從圖中可量測出其截止頻率wc和相角裕度

g

。當然也可通過公式計算算出wc和

g

來。

這說明未校正系統(tǒng)不穩(wěn)定，且截止頻率遠大于要求值。在這種情況下，采用串聯(lián)超前校正是無效的。因此可以此頻率作為新的截止頻率。在此頻率下可得

對未校正系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性曲線，可以查得解上式可得滯后校正網(wǎng)絡的系數(shù)

計算滯后校正網(wǎng)絡參數(shù)

則滯后校正網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為

對校正后的系統(tǒng)進行驗證從圖中可以看出，未校正系統(tǒng)對數(shù)頻率特性的相位穿越頻率wg為

校正后的相位穿越頻率為w’g=

6.8

rad/s。系統(tǒng)的幅值裕度為兩種校正方法的適用范圍和特點超前校正是利用超前網(wǎng)絡的相角超前特性對系統(tǒng)進行校正，而滯后校正則是利用滯后網(wǎng)絡的幅值在高頻衰減特性；

用頻率法進行超前校正，旨在提高控制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻漸進線在截止頻率處的斜率(從-40dB/dec提高到-20dB/dec)和相位裕度，并增大系統(tǒng)在中頻段的頻帶寬度。頻帶的變寬意味著校正后的系統(tǒng)響應變快，調節(jié)時間縮短。對同一控制系統(tǒng)，超前校正系統(tǒng)的頻帶寬度一般總大于滯后校正系統(tǒng)。因此，如果要求校正后的系統(tǒng)具有寬的頻帶和良好的瞬態(tài)響應，則應采用超前網(wǎng)絡校正。當噪聲電平較高時，顯然頻帶越寬的系統(tǒng)抗噪聲干擾的能力也越差。對于這種情況，宜對系統(tǒng)采用滯后網(wǎng)絡校正。當采用超前校正時，校正裝置需要串聯(lián)一個附加的放大器，以補償超前校正網(wǎng)絡對系統(tǒng)增益的衰減。采用滯后校正雖然能改善系統(tǒng)的靜態(tài)精度，但它促使系統(tǒng)的頻帶變窄，致使瞬態(tài)響應速度變慢。如果要求校正后的系統(tǒng)既有快速的瞬態(tài)響應，又有高的靜態(tài)精度，則應采用滯后-超前校正。有些應用方面，采用滯后校正可能得出時間常數(shù)大到難以實現(xiàn)的程度。三、串聯(lián)滯后-超前校正這種校正方法兼有滯后校正和超前校正的優(yōu)點，即已校正系統(tǒng)響應速度快，超調量小，抑制高頻噪聲的性能也較好。當未校正系統(tǒng)不穩(wěn)定時，且對校正后系統(tǒng)的動態(tài)和靜態(tài)性能（響應速度、相角裕度和穩(wěn)態(tài)誤差）均有較高要求時，顯然，僅采用上述超前校正或滯后校正，均難以達到預期的校正效果。此時宜采用串聯(lián)滯后—超前校正。采用串聯(lián)滯后—超前網(wǎng)絡對控制系統(tǒng)進行校正，實質上綜合應用了滯后和超前網(wǎng)絡校正各自的特點，即利用校正裝置的超前部分來增大系統(tǒng)的相位裕度，以改善其動態(tài)性能；利用它的滯后部分來改善系統(tǒng)的靜態(tài)性能，兩者分工明確，相輔相成。串聯(lián)滯后-超前校正的步驟

根據(jù)控制系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)性能要求，確定開環(huán)放大系數(shù)

K

；

繪制未校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性，求出未校正系統(tǒng)的截止頻率wc、相位裕度

g

及幅值裕度Lh

等，判斷采取何種校正裝置；

確定校正網(wǎng)絡超前部分的參數(shù)，即確定校正網(wǎng)絡滯后部分的參數(shù)，即

根據(jù)上式可求出

b值，再確定T

2。未校正系統(tǒng)的幅值量滯后超前網(wǎng)絡超前部分在處貢獻的幅值滯后-超前網(wǎng)絡貢獻的幅值衰減的最大值

校驗已校正系統(tǒng)開環(huán)系統(tǒng)各項性能指標。第四節(jié)根軌跡法校正采用根軌跡法對系統(tǒng)進行串聯(lián)校正裝置的設計是比較方便的。通過本節(jié)討論分析應掌握增加零、極點對根軌跡影響的分析。

與此同時，還應掌握根軌跡繪制的兩個基本條件。

本節(jié)為選擇教學內容。應用根軌跡法對系統(tǒng)進行校正時，首先要對時域指標進行轉換。然而當系統(tǒng)的階數(shù)較高時，時域指標不但與閉環(huán)極點有關，而且還與閉零點有關，這將引起轉換后的指標精確度不夠。鑒于上述情況，工程上通常引用主導極點概念，即假設系統(tǒng)的性能主要取決于某對共軛復數(shù)極點。這樣就可以由時域性能指標確定出這對主導極點的位置，進而確定值

z

和wn值?？紤]到其它極點和零點對系統(tǒng)的影響，再對其進行適當修正即可。一、根軌跡法校正的基本概念1.性能指標的轉換

根據(jù)所給出的性能指標，在

s

平面上確定一對期望閉環(huán)主導極點的位置。系統(tǒng)校正的實質就是改造系統(tǒng)的根軌跡形狀，使其通過所期望的閉環(huán)主導極點，以滿足相應指標的要求。

工程上最常用且最直觀的時域指標是最大超調量

s%

和調節(jié)時間ts。由此可計算出所設計主導極點的阻尼系數(shù)

z和無阻尼振蕩頻率wn。計算公式如下

當阻尼系數(shù)

z確定之后，所期望的閉環(huán)主導極點的阻尼角

b為

這也就是說閉環(huán)主導極點必然在傾角

b為的直線上，且其至坐標原點的距離唯一地由wn的大小所決定，如圖6-11所示。

這樣，一對閉環(huán)主導極點

s1、s2就完全確定。只要校正后系統(tǒng)的根軌跡能通過這一對閉環(huán)主導極點，則所提出的時域指標就可望得到滿足。2.串入超前網(wǎng)絡的效應

串入超前網(wǎng)絡之后，系統(tǒng)將增加一個零點和一個極點，且零點比極點更靠近坐標原點，即零點起主要作用。

設所增加的零、極點如圖6-35所示。對于

s

平面上半部的任一點s1來說，零點-

zc所造成的相角為jz，而極點-

pc造成的相角為jp

，故附加零、極點對s1所造成的總相角則為

jc=

jz-

jp>

0

對于超前校正網(wǎng)絡，總的相角為正。由于超前網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為由此可見，加入超前網(wǎng)絡的零、極點之后，將使系統(tǒng)的放大系數(shù)衰減

a

倍，若要保持系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能不變，這種衰減應通過增加放大系數(shù)以作出補償。3.串入滯后網(wǎng)絡的效應

串入滯后網(wǎng)絡之后，系統(tǒng)也將增加一個零點和一個極點，但極點比零點更靠近坐標原點。

當T選擇的很大時，這對零、極點就非常靠近坐標原點，如圖6-36所示。根據(jù)以前分析結論，可稱其為開環(huán)偶極子。相對于距坐標原點較遠的主導極點而言，偶極子產生的相角則為

jc=

jz-

jp<

0其絕對值不大，一般小于

5°。

以上分析表明，偶極子產生的相角對主導極點的甚微。

從圖中也可以看出，|s1+

pc|與|s1+

zc|幾乎相等，故偶極子的加入，對主導極點處的根軌跡增益影響也是甚微的。但從開環(huán)放大系數(shù)

K

和開環(huán)增益之間的關系來看，偶極子的加入將使系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)增大D倍。二、根軌跡超前校正根軌跡串聯(lián)超前校正就是通過引入一對負實數(shù)開環(huán)零點和極點（特別注意：零點小于極點），使系統(tǒng)的根軌跡形狀產生變化并向左移動，以增大阻尼系數(shù)和無阻尼振蕩頻率，從而有效地改善系統(tǒng)動態(tài)性能。

增加的零點和極點從相位上講呈現(xiàn)超前的特點，因此稱為超前校正。超前校正適用于動態(tài)性能不能滿足要求、穩(wěn)定性要求不高且容易滿足的系統(tǒng)。串聯(lián)超前校正的步驟1.作出原系統(tǒng)的根軌跡，分析原系統(tǒng)的性能并確定校正的形式。

2.根據(jù)性能指標的要求，確定所期望的閉環(huán)主導極點的位置。

3.若原系統(tǒng)的根軌跡不通過該極點，這說明單靠調整開環(huán)增益已無法獲得期望的閉環(huán)主導極點，必須引入超前校正裝置，并計算出超前校正裝置應提供多大的超前相角才能迫使根軌跡通過所期望的主導極點。設Gc(s)、G0(s)分別為串聯(lián)校正裝置和原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，則校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

取其相角

若要根軌跡通過期望閉環(huán)主導極點，則在此極點處應滿足相角條件，即超前相角的選擇串聯(lián)超前校正的步驟

4.根據(jù)所得的相角，應用圖解法確定串聯(lián)超前校正裝置的零點和極點位置，從而確定校正網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)。

5.繪出校正后系統(tǒng)的根軌跡，并由幅值條件求出校正后系統(tǒng)的根軌跡增益，以及系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)，并再全面校驗系統(tǒng)的性能指標。某典型二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求系統(tǒng)時域指標為最大超調量調節(jié)時間試采用根軌跡法設計其串聯(lián)超前校正裝置。解：第一步繪制校正前原系統(tǒng)根軌跡，如圖所示。例6-8根軌跡超前校正實例未校正系統(tǒng)的根軌跡根據(jù)要求性能指標可知由此計算或查曲線可得z=

0.5。則該極點對應的相角為再根據(jù)調節(jié)時間可計算主導極點計算則所期望閉環(huán)主導極點可確定為從未校正的系統(tǒng)根軌跡可以看出是一條通過(-1，j0)點垂線，無論

K

如何取值，其根軌跡均無法通過所要求的主導極點位置。另外，我們也發(fā)現(xiàn)所期望的主導極點在未校正根軌跡的左邊。因此，引入校正裝置后系統(tǒng)的根軌跡應向左移動才有可能通過所求得的主導極點。由此可見，系統(tǒng)必須引入超前校正。超前校正裝置的傳遞函數(shù)為

根據(jù)前面所推導的計算公式，主導極點處超前校正裝置可提供的超前相角為以下通過圖解方法來確定零極點。確定校正裝置的零極點以上計算結果表明，增加的校正裝置必須提供超前30度的相角才能保證主導極點

A在系統(tǒng)的根軌跡上。如何在負實軸上配置零極點并讓其能夠產生30度的超前相位？在負實軸上找兩點，內側為零點，外側為極點，這樣相對

A

點所形成的相角才具有超前的特性。調整這兩點的距離可使零點產生的超前角和極點產生的滯后角之差即合成的相角超前30度。如在負實軸上選擇零點為

-3.0

，該零點對

A

所產生的超前相角通過計算為

73.9

度，那么所配置的極點對

A

點產生的滯后相角必須為

43.9

度，通過計算可得所配置極點的值為

5.60

，這樣即可滿足主導極點

A

在根軌跡上的條件。當然，在采用根軌跡超前校正時也可在負實軸選擇零點為

-2.0

，那么所配置的極點為

-4.0

時即可使串聯(lián)校正裝置提供30度的超前角了。方法一方法二通過主導極點

A

向右作一水平線。該水平線與主導極點和坐標原點的連線形成一個夾角，再作該角的平分線，與負實軸的交點為

-4.0

，在該條線兩側形成兩個各15度的張角分別與負實軸相交兩點，這兩點的值分別為-2.93

和

-5.43

，如要使校正裝置為超前性質，則必須選擇靠近原點的交點為超前校正裝置的零點，遠離原點的交點為超前校正裝置的極點。圖解法確定超前校正裝置零極點超前校正裝置的傳遞函數(shù)為系統(tǒng)校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)為在主導極點處根軌跡對應的增益可根據(jù)根軌跡方程計算如下校正計算即校正后系統(tǒng)的開環(huán)增益為則校正裝置的根軌跡增益為系統(tǒng)校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)為三、根軌跡滯后校正串聯(lián)滯后校正主要用于系統(tǒng)的根軌跡已通過所期望的閉環(huán)主導極點，但不能滿足穩(wěn)態(tài)性能要求的場合。滯后校正是通過在系統(tǒng)中引入一對靠近坐標原點的開環(huán)負實數(shù)偶極子，可使系統(tǒng)根軌跡形狀基本不變的前提下，能大幅度提高系統(tǒng)所允許的開環(huán)放大系數(shù)，從而有效地改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。根軌跡滯后校正的主要步驟

1.繪出校正前原系統(tǒng)的根軌跡，并根據(jù)動態(tài)性能指標的要求，在復平面上確定出所期望的主導極點（

A

點）。

2.用根軌跡幅值條件求出

A

點的根軌跡增益Kg及其對應的開環(huán)放大系數(shù)K。

3.根據(jù)所給出的系統(tǒng)靜態(tài)指標要求，確定系統(tǒng)所需增大的放大系數(shù)。

4.選擇滯后校正裝置的零點和極點，并滿足

zc=Dpc，且使其相對于

A

點為一對偶極子。根軌跡滯后校正的主要步驟

5.一般要求校正裝置的零點和極點距坐標原點越近越好，但它們距坐標原點越近，則校正裝置傳遞函數(shù)中時間常數(shù)就越大，而過大的時間常數(shù)在物理上是難以實現(xiàn)的。因此，一般取校正零極點對主導極點的滯后相角小于3度。

6.繪出校正后系統(tǒng)的根軌跡，通過調整放大器增益使閉環(huán)主導極點能夠位于期望位置。

7.對各項性能指標進行校驗。根軌跡串聯(lián)滯后校正例題例6-9單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為校正要求如下：主導極點特征參數(shù)

z

≥0.5，wn≥3.0；開環(huán)傳遞系數(shù)

K

≥35；試對系統(tǒng)進行根軌跡串聯(lián)滯后校正。解：現(xiàn)在我們按照根軌跡串聯(lián)滯后校正的步驟對系統(tǒng)進行校正。繪制校正前系統(tǒng)的根軌跡原系統(tǒng)根軌跡如圖所示。

當z=0.5時計算阻尼角以負實軸為參考、坐標原點為頂點作兩條張角為正負60度的射線，分別與根軌跡相交兩點，這兩點即是校正后的主導極點，其坐標值為以上均滿足系統(tǒng)要求。根軌跡滯后校正設計計算按幅值條件計算閉環(huán)主導極點處的開環(huán)增益

Kg=

4.0×4.0=

16.0所對應的系統(tǒng)開環(huán)傳遞系數(shù)則為

K0=Kg/

4.0

=

4.0

現(xiàn)引入滯后校正，校正裝置的零極點之比應為

D

=zc/

pc=K

/K0=

40.0

/4.0

=

10.0

取D=10.0，還應充分考慮到對引入滯后校正裝置零極點后對主導極點位置的影響。選擇滯后校正裝置的零極點分別為

-pc=

-0.01-zc=

-0.1

則校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為按此可繪出校正后的系統(tǒng)根軌跡如圖所示，圖中虛線為未校正系統(tǒng)的根軌跡。經(jīng)計算，滯后校正裝置在主導極點處所產生的滯后角為1.1，基本上不影響系統(tǒng)的動態(tài)性能。繪制校正后系統(tǒng)的根軌跡根據(jù)幅值條件計算校正后系統(tǒng)主導極點處的根軌跡增益仍為16。但校正后系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)卻增大了10倍，即這說明引入滯后校正裝置后系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能得到了提高。第五節(jié)期望對數(shù)頻率特性校正

期望對數(shù)頻率特性設計方法是工程上行之有效的且普遍采用的串聯(lián)校正方法。

期望設計法是在系統(tǒng)對數(shù)頻率特性上進行的。設計的關鍵是根據(jù)系統(tǒng)的性能指標繪制出所期望的對數(shù)頻率特性。

常用的期望對數(shù)幅頻特性又分為二階期望特性、三階基調特性和四階期望特性。一、基本概念

自動控制系統(tǒng)經(jīng)串聯(lián)校正后的結構圖如圖所示。其中Go(s)是系統(tǒng)的固有部分的傳遞函數(shù)；Gc(s)是串聯(lián)校正裝置的傳遞函數(shù)。顯然系統(tǒng)校正后總的開環(huán)傳遞函數(shù)則為G(s)=Gc(s)·G0(s)則其對數(shù)幅頻特性為L(w)=Lc(w)+L0(w)Lc(w)=L(w)-L0(w)

我們則稱L(w)

為所設計系統(tǒng)的期望對數(shù)幅頻特性。期望對數(shù)頻率特性期望對數(shù)頻率特性是指根據(jù)對系統(tǒng)提出的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能要求，并考慮到未校正系統(tǒng)的特性而確定的一種期望的、校正后系統(tǒng)所具有的開環(huán)對數(shù)幅頻特性。根據(jù)所得校正裝置的對數(shù)幅頻特性Lc(w)進而可確定出校正裝置的傳遞函數(shù)Gc(s)，這樣我們就可以用具體的電路網(wǎng)絡加以實現(xiàn)。由于在此過程中僅僅考慮了系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性，而沒有使用對數(shù)相頻特性，故此方法只能用于最小相位系統(tǒng)的設計。二、典型的期望對數(shù)幅頻特性典型的期望對數(shù)幅頻特性在工程中是經(jīng)常應用的設計方法。二階期望特性被應用于復雜控制系統(tǒng)的內環(huán)設計。三階期望特性被應用于復雜控制系統(tǒng)的外環(huán)設計。四階期望特性被應用于多環(huán)復雜控制系統(tǒng)的外環(huán)設計。二階期望特性

校正后系統(tǒng)成為典型I型二階系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，T為時間常數(shù)，K為開環(huán)傳遞系數(shù)。

系統(tǒng)相應的頻率特性表達式為其截止頻率和轉折頻率分別為

工程上常以

z

=

0.707

時的二階希望特性作為二階最佳頻率特性。此時，二階系統(tǒng)的各項性能指標為二階系統(tǒng)的希望對數(shù)幅頻特性三階期望特性

校正后系統(tǒng)成為典型Ⅱ型三階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為系統(tǒng)相應的幅頻特性表達式為其中w1=1/T1，w2=1/T2為轉折頻率。

對于典型Ⅱ型系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)位置誤差和速度誤差均為零，加速度誤差為常數(shù)。該系統(tǒng)的動態(tài)性能與截止頻率wc和中頻帶寬h有關，而中頻帶寬由下式確定

當h確定后可按下式確定其轉折頻率不同

h值時系統(tǒng)的Mp和

g按照已滿足系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能繪制未校正系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性。根據(jù)性能指標的要求繪制出系統(tǒng)的期望對數(shù)幅頻特性。用期望對數(shù)頻率特性減去未校正系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性，即可獲得串聯(lián)校正裝置的對數(shù)幅頻特性。根據(jù)校正裝置的幅頻特性選擇校正裝置并計算其參數(shù)。校驗校正后系統(tǒng)的性能指標。基于期望對數(shù)頻率特性的設計步驟三、期望對數(shù)幅頻特性設計實例一例6-10

設單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為設計要求：閉環(huán)系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)為零，系統(tǒng)和最大超調量s

%≤5%，調節(jié)時間ts≤0.3s。試設計系統(tǒng)串聯(lián)校正裝置。解：首先繪制未校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性。

根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)畫出系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性L0(w

)

如圖所示。截止頻率wc=

4

rad/s相角裕度g=95系統(tǒng)的超調量s%=8%調節(jié)時間ts=tswc/wc=0.2s位置誤差系數(shù)Kp=2未校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性繪制系統(tǒng)期望對數(shù)幅頻特性通過對系統(tǒng)固有幅頻特性的分析，可以看出原系統(tǒng)各項性能指標均不符合要求，必須對系統(tǒng)進行校正。對系統(tǒng)的校正分為三個部分。即低頻段校正、中頻段校正、高頻段校正。低頻段對應系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能；中頻段對應系統(tǒng)的動態(tài)性能，這是設計的關鍵；高頻段對應系統(tǒng)的抗干擾性能。低頻段設計根據(jù)穩(wěn)態(tài)速度誤差要求，必須將系統(tǒng)校正成典型

I型二階系統(tǒng)，且系統(tǒng)相應的開環(huán)傳遞系數(shù)

Kv=K=10s-1

即就是說，除了開環(huán)傳遞系數(shù)增加

5倍外，開環(huán)系統(tǒng)還要增加一個積分環(huán)節(jié)。如果將現(xiàn)有系統(tǒng)的幅頻特性上移至相應的位置，則其截止頻率將增大至10rad/s，此時系統(tǒng)的相角裕度則只有39度，且超調將達到37

%，這顯然不能滿足指標要求。系統(tǒng)期望的對數(shù)幅頻特性中頻段設計按照低頻段設計的結果，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)必須增加一個積分環(huán)節(jié)，即典型

I型系統(tǒng)，與此同時，再給系統(tǒng)增加一個一階微分環(huán)節(jié)，并使其時間常數(shù)與慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)相等，從而抵消此慣性環(huán)節(jié)。系統(tǒng)所期望的對數(shù)幅頻特性如圖所示。根據(jù)對超調量為

5%的要求，系統(tǒng)校正后的對數(shù)幅頻特性按典型

I型二階特性，其阻尼系數(shù)為z=

0.707，則有

此時系統(tǒng)的超調量為4.32%。高頻段設計為使系統(tǒng)的校正裝置盡可能簡單，其期望幅頻特性的高頻段應盡量與原系統(tǒng)的高頻段相同或相似。即就是說，期望特性的高頻段，無論是斜率或是轉折頻率均應與原系統(tǒng)的高頻段相同。故本例中系統(tǒng)的高頻段也取與原系統(tǒng)幅頻特性相同的斜率，即-40dB

/

dec

。三、期望對數(shù)幅頻特性設計實例二例6-11

設未校正的單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為設計要求：閉環(huán)系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)為零，系統(tǒng)的最大超調量s

%≤25%，調節(jié)時間ts≤2.5s。試設計系統(tǒng)串聯(lián)校正裝置。未校正系統(tǒng)的性能指標根據(jù)二階系統(tǒng)性能指標計算方法得穩(wěn)態(tài)性能指標即速度誤差系數(shù)

Kv=

40

s-1

經(jīng)計算系統(tǒng)的阻尼系數(shù)z=0.25，查二階系統(tǒng)阻尼系數(shù)與超調量關系曲線，對應超調量為43%。系統(tǒng)的調節(jié)時間為

ts=

6T=

0.6

(s)

可以看出其穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能指標除調節(jié)時間外均不符合系統(tǒng)要求。系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性如圖所示。未校正系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性系統(tǒng)校正思路根據(jù)未校系統(tǒng)的性能指標和對數(shù)幅頻特性可以看出，其截止頻率處的幅頻特性斜率為-40dB/dec，因此必須對系統(tǒng)進行校正。校正的步驟是首先根據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標即速度誤差系數(shù)為零要求來確定系統(tǒng)的型別。根據(jù)誤差理論，系統(tǒng)校正后開環(huán)傳遞函數(shù)具有兩個積分環(huán)節(jié)即Ⅱ型系統(tǒng)。為了使系統(tǒng)滿足所要求的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能指標，將系統(tǒng)校正成典型Ⅱ型三階系統(tǒng)才有可能達到要求。典型Ⅱ型系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性低頻段校正根據(jù)校正后系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性可知，在低頻段，其斜率為-40dB/dec。這意味著系統(tǒng)校正后其前向通道具有兩個積分環(huán)節(jié)，根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差理論，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差將為零，從而達到了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)要求。中頻段校正從校正后系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性可以看出，為了滿足系統(tǒng)的動態(tài)性能指標，必須使系統(tǒng)校正后對數(shù)幅頻特性以-20dB/dec過零，且保持中頻帶具有一定的帶寬。根據(jù)系統(tǒng)要求的超調量性能指標，經(jīng)查曲線其相角裕度g≥55，而其對應的中頻帶寬為h=

10，故有

T1=10T2=1.0(s)

為使系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性在中頻帶的中點過零，可通過調整校正裝置的Kp來實現(xiàn)。根據(jù)低頻段-40dB/dec時的計算公式有從上式可解得

K=3.16wc=3.16

Kp=

K/40

=0.079

則校正裝置的傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)的調節(jié)時間為

ts=2.37(s)校正裝置的實現(xiàn)問題實現(xiàn)問題就是將校正過程中確定的校正裝置傳遞函數(shù)轉化為實際的物理電路。

實現(xiàn)問題需要考慮的因素

技術因素實現(xiàn)的簡便性、可靠性、穩(wěn)定性、可維護性、體積大小、功耗等。

經(jīng)濟因素實現(xiàn)成本、運行成本、維護成本。

實現(xiàn)問題實際存在的困難微分校正裝置難以實現(xiàn)，且抗干擾能力差；非線性因素和干擾問題。第六節(jié)并聯(lián)(反饋)校正的設計并聯(lián)校正就是反饋校正。在反饋校正的系統(tǒng)中，校正裝置不是與系統(tǒng)的前向通道相串聯(lián)，而是對系統(tǒng)的局部形成反饋以達到對系統(tǒng)校正的目的。并聯(lián)校正的優(yōu)點比較突出，校正結果顯著，因此在工程中得到廣泛應用。我們首先討論并聯(lián)校正裝置對系統(tǒng)性能的影響，并以實例來討論分析并聯(lián)校正裝置的設計方法。一、并聯(lián)校正裝置對系統(tǒng)特性的影響如圖所示為實施并聯(lián)校正的控制系統(tǒng)方框圖。未校正系統(tǒng)由

G1(s)

和G2(s)兩部分組成，并聯(lián)校正裝置

H(s)只對G2(s)形成了局部反饋。設局部反饋的閉環(huán)傳遞函數(shù)為其相應的頻率特性為對于不同頻率，則局部反饋的閉環(huán)部分頻率響應表現(xiàn)出不同的頻率特性。當系統(tǒng)工作在高頻段時，局部反饋部分的開環(huán)頻率特性為則可認為校正裝置不起作用。即當系統(tǒng)工作在低頻段時，局部反饋部分的開環(huán)頻率特性為則可認為局部反饋部分的頻率特性為結論從以上分析可以看出：較高頻段是并聯(lián)校正裝置不起校正作用的頻段；較低頻段則是并聯(lián)校正裝置起主要作用的頻段。在起主要作用的頻段里，被校正裝置局部反饋的閉環(huán)頻率特性主要取決于校正裝置的特性，而與被反饋的原系統(tǒng)無關。所以，適當選擇校正裝置的結構和參數(shù)就能改變被校正系統(tǒng)的頻率特性，使系統(tǒng)達到要求的性能指標。二、并聯(lián)校正裝置的設計方法根據(jù)并聯(lián)校正系統(tǒng)方框圖，其開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，G0(

jw)

為未校正系統(tǒng)開環(huán)頻率特性。

如若用對數(shù)幅頻特性設計系統(tǒng)的校正裝置，則應根據(jù)對數(shù)頻率特性的特點進行其分析和計算。當局部反饋的開環(huán)幅頻特性在較高頻段遠遠小于1時，則其對數(shù)幅頻特性為則有如下遞推關系當局部反饋的開環(huán)幅頻特性在較低頻段遠遠大于1時，則其對數(shù)幅頻特性為則有如下遞推關系相關討論以上分析表明，如果可已知校正后系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性和校正前系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，則我們可確定校正裝置起作用的頻率區(qū)域，并由上式確定局部反饋部分的開環(huán)頻率特性。而在校正裝置不起作用的頻率區(qū)域，局部反饋校正裝置的頻率特性與校正后系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性無關。這樣校正裝置可完全按照起作用頻率區(qū)域來確定。也就是說，可將反饋校正裝置起作用的頻率區(qū)域延伸到校正裝置不起作用的頻率區(qū)域中去。并聯(lián)反饋校正設計實例例6-12

已滿足靜態(tài)性能指標的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為要求系統(tǒng)的動態(tài)性能指標為最大超調量s%≤

25%調節(jié)時間ts≤

0.5s原系統(tǒng)結構方框圖如圖所示。