.z.--.--考試資料內(nèi)蒙古財經(jīng)大學本科學年論文反常積分斂散性的判定方法作者陳志強學院統(tǒng)計與數(shù)學學院專業(yè)數(shù)學與應用數(shù)學年級2012級**122094102指導教師魏運導師職稱教授最終成績75分-.z.………………..…….….……………..1………………..…….….…………..1引言2…………..…….….…………….2…………..…….….……………..2……..…….….…………3……..…….….…………3………………..…….….………4……..…….….……………4(1).定義判別法…..…….….……………..……4(2).比較判別法…..…….….……………..……4(3).柯西判別法…..…….….……………..……5(4)阿貝爾判別法.…..…….….…………….6(5).狄利克雷判別法…..…….….……………7…..…….….…………….….…8(1).定義判別法…..…….….……………..……8……………..…….….……………..9…………………..…….….…………9(4).柯西判別法……………..…….….……………9(5).阿貝爾判別法……………..…….….……….10(6).狄利克雷判別法……..…….….…………….10-.z.--考試資料參考文獻………………..…….….………11-.z.摘要在很多實際問題中，要突破積分區(qū)間的有窮性和被積函數(shù)的有界性，由此得到了定積分的兩種形式的推廣：無窮限反常積分和瑕積分。我們將這兩種積分統(tǒng)稱為反常積分。因為反常積分涉及到一個收斂問題，所以反常積分的斂散性判定就顯得非常重要了。本文將對反常積分的斂散性判定進展歸納總結(jié)，并給出了相關(guān)定理的證明，舉例說明其應用，這樣將有助于我們靈活的運用各種等價定理判斷反常積分的斂散性。關(guān)鍵詞：反常積分瑕積分極限斂散性引言近些年以來，一些數(shù)學工作者對反常積分斂散性的判別方法做了研究并取得了許多重要的進展。如華東師范大學數(shù)學系編，數(shù)學分析〔上冊〕，對反常積分積分的定義，性質(zhì)的運用及講義其判別收斂性的方法。華中科技大學出版的數(shù)學分析理論方法與技巧，也對反常積分斂散性判別做了詳細的講解，還用圖形的方法說明其意義。引申出反常積分斂散性的等價定義，并通過例題說明其應用。眾多學者研究的內(nèi)容全而廣，實用性很高，尤其是在研究斂散性的判別很明顯，這對我現(xiàn)所研究的論文題目提供了大量的理論依據(jù)和參考文獻，對我完成此次論文有很大的幫助，但絕大多數(shù)文獻只是對其一種方法進展研究，而本文將對其進展歸納總結(jié)，舉例說明其應用。一、預備知識1.無窮限反常積分定義1.1設(shè)函數(shù)在[ａ，＋∞〕有定義，假設(shè)在[ａ，A]上可積〔A>a〕且當A→＋∞時，存在，稱反常積分收斂，否則稱反常積分與發(fā)散。對反常積分與注意：只有當和都收斂時，才認為是收斂的。內(nèi)有定義，且b為唯一瑕點，假設(shè)存在，稱瑕積分收斂定義3：設(shè)C且為f(*)的一個瑕點，假設(shè)和均收斂，則稱瑕積分3.反常積分的性質(zhì)(1)Cauchy收斂原理：收斂>0，>a,當>>時，有<(2)線性性質(zhì)：假設(shè)與都收斂，則對任意常數(shù)，也收斂，且有=(3)積分區(qū)間可加性，假設(shè)收斂，則b,=.(4)假設(shè)收斂，則≤。，例1.1計算無窮積分〔是常數(shù)，且〕解：在有定義，且〔a〕<<〔b〕=+=+例1.2討論的收斂性解：由于，因為為收斂，所以根據(jù)比較判別法為絕對收斂。在有定義，且非負，且則：〔a〕當<<〔b〕=〔c〕<<時，，具有一樣點斂散性。證：〔1)假設(shè)，由極限的性質(zhì)，存在常數(shù)A〔A>a〕使得當時成立即于是由比較判別法，當收斂時也收斂〔2〕假設(shè)，由極限的性質(zhì)，存在常數(shù)A〔A〕，使得當時成立其中0于是由比較判別法，當發(fā)散時也發(fā)散例1.3討論的斂散性解：，而收斂，所以收斂總結(jié)：使用比較判別法，需要一個斂散性判別結(jié)論明確，同時又形成簡單的函數(shù)作為比較對象，在上面的例子中我們都是取為比較對象的，因為它們正好能滿足這倆個條件(4).柯西判別法：設(shè)在有定義，在任何有限區(qū)間上可積，且則有：當時，收斂當，時，發(fā)散(5).阿貝爾判別法：滿足：〔a〕單調(diào)有界〔b〕收斂則收斂證：由于存在M>0，使再由〔2〕可知，>0,,當時，有<又=〔+〕=2再次由柯西準則知Abel定理成立。例1.4證(0<)收斂利用阿貝爾判別法，因為收斂，又在上單調(diào)有界，故是收斂的(6).Dirichlet判別法：滿足〔1〕f(*)單調(diào)且趨于0〔*0〕〔2〕有界〔a>A〕則收斂。證：由于存在M>0，有界，所以有又由于f〔*〕0〔*)故對>0,,當時，有即，，所以同理有，故當時，有例1.5證積分收斂，但不絕對收斂證：，而單調(diào)且當時趨于0，故由Dirichlet判別法知收斂；但=而，單調(diào)趨于0，故收斂，而發(fā)散，故發(fā)散例1.6積分的斂散性當時是可積的；當時，它是不可積的，因為這時被積函數(shù)在上無界。但作為反常積分，當時收斂；當時發(fā)散；因為當時有而當時有例1.7積分作為反常積分，當時它收斂；當時它發(fā)散。這是因為當時有而當p=-1時有，例2.1計算瑕積分的值解：被積函數(shù)在上連續(xù)，從而在任何上可積，為其瑕點.依定義求得瑕積分〔瑕點為a〕收斂的充要條件是：任給，存在，只要總有=0<，a為其瑕點，且在任何上可積，如果當時，收斂當，時，發(fā)散(4).柯西判別法設(shè)*=a是f(*)的瑕點，如果則絕對收斂；如果則發(fā)散例2.2討論的斂散性〔〕解：*=0是其唯一奇點。當時，取，則，由柯西判別法知，收斂類似的，當時，取，則由柯西判別法知，發(fā)散當時，可以直接用Newton-leibniz公式得到因此,當時，反常積分收當斂;當時，反常積分發(fā)散(5).阿貝爾判別法設(shè)f(*)在*=a有奇點，收斂，g(*)單調(diào)有界，