[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．下列說法正確的個數(shù)是()①若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交；②若a∥b，則a，b與c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，則a∥c.A．3 B．2C．1 D．0答案：C2．已知a，b為異面直線，且a?α，b?β，若α∩β＝l，則直線l必定()A．與a，b都相交B．與a，b都不相交C．至少與a，b之一相交D．至多與a，b之一相交答案：C3．兩個三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對應(yīng)平行，那么這兩個三角形()A．全等 B．相似C．僅有一個角相等 D．全等或相似解析：選D.由等角定理知，這兩個三角形的三個角分別對應(yīng)相等，所以選D.4．空間四邊形ABCD中，AB、BC、CD的中點(diǎn)分別是P、Q、R，且PQ＝2，QR＝eq\r(5)，PR＝3，那么異面直線AC和BD所成的角是()A．90° B．60°C．45° D．30°解析：選A.由已知得PQ2＋QR2＝4＋5＝9＝PR2，所以∠PQR＝90°，又AC∥PQ，BD∥QR，所以異面直線AC與BD所成角即為∠PQR.5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線()A．不存在 B．有且只有兩條C．有且只有三條 D．有無數(shù)條解析：選D.如圖，在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點(diǎn)N，當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與直線A1D1，EF，CD都有交點(diǎn)．6．一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是________．答案：相交或異面7．在空間四邊形ABCD中，AC＝BD，且AC⊥BD，則順次連接各邊中點(diǎn)，所得四邊形是________．答案：正方形8．已知a，b是一對異面直線，而且a平行于△ABC的邊AB所在直線，b平行于AC所在的直線，若∠BAC＝120°，則a，b所成的角為________．解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知a，b所成的角為∠BAC的補(bǔ)角，所以a，b所成的角為60°.答案：60°9．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn)．求證：(1)四邊形BB1M1M為平行四邊形；(2)∠BMC＝∠B1M1C1.證明：(1)因?yàn)樵谡叫蜛DD1A1中，M，M1分別為AD，A1D1的中點(diǎn)，所以MM1AA1.又因?yàn)锳A1BB1，所以MM1∥BB1，且MM1＝BB1.所以四邊形BB1M1M為平行四邊形．(2)由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，所以B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，所以C1M1∥CM.由平面幾何知識可知，∠BMC和∠B1M1C1都是銳角，所以∠BMC＝∠B1M1C1.10．如圖所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點(diǎn)，求異面直線BE與CD所成角的余弦值．解：取AC的中點(diǎn)F，連接EF，BF，在△ACD中，E，F(xiàn)分別是AD，AC的中點(diǎn)，所以EF∥CD，所以∠BEF即為所求的異面直線BE與CD所成的角(或其補(bǔ)角)．在Rt△ABC中，BC＝eq\r(2)，AB＝AC，所以AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，所以BE＝eq\f(\r(5),2).在Rt△AEF中，AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(1,2)，所以EF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝eq\f(1,2)，所以BF＝eq\f(\r(5),2).在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝eq\f(\f(1,2)EF,BE)＝eq\f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(10),10)，所以異面直線BE與CD所成角的余弦值為eq\f(\r(10),10).[B能力提升]1．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線A1B與AD1所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選C.連接BC1、A1C1，因?yàn)锽C1∥AD1，所以異面直線A1B與AD1所成的角即為直線A1B與BC1所成的角．在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，所以∠A1BC1＝60°.故異面直線A1B與AD1所成的角為60°.2．在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且異面直線AB與CD所成的角為30°，E、F分別是邊BC和AD的中點(diǎn)，則異面直線EF和AB所成的角等于()A．15° B．30°C．75° D．15°或75°解析：選D.如圖，設(shè)G是AC的中點(diǎn)，分別連接EG、GF，由已知得EGeq\f(1,2)AB，F(xiàn)Geq\f(1,2)CD，所以∠EGF是AB和CD所成的角或是其補(bǔ)角．因?yàn)锳B＝CD，所以EG＝GF.當(dāng)∠EGF＝30°時，AB和EF所成角∠GEF＝75°，當(dāng)∠EGF＝150°時，AB和EF所成角∠GEF＝15°.3．一個正方體紙盒展開后如圖，在原正方體紙盒中有下列結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上結(jié)論中正確的是________(填序號)．解析：把正方體平面展開圖還原為原來的正方體，如圖所示，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．答案：①③4．(選做題)已知直線a，b，c，平面α，β滿足α∩β＝a，b?β，a∩b＝A，且c?α，c∥a.求證：b，c為異面直線．證明：法一：(重要結(jié)論法)如圖．因?yàn)閏?α，a∩b＝A，α∩β＝a，所以A∈a，A∈α，而a∥c，所以A?c.在直線b上任取一點(diǎn)B(不同于點(diǎn)A)，因?yàn)閎?β，所以B?α，所以AB與c是異面直線，即b，c是異面直線．法二：(反證法)如圖．假設(shè)b，c不