/28/28/專(zhuān)題22切線歸類(lèi)目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】切線基礎(chǔ)1：有切點(diǎn)求切線 1【題型二】切線基礎(chǔ)2：有切線（斜率）求參 2【題型三】切線基礎(chǔ)3：無(wú)切點(diǎn) 3【題型四】無(wú)切點(diǎn)有切線求參 4【題型五】“過(guò)點(diǎn)”切線 5【題型六】“過(guò)點(diǎn)”切線條數(shù) 7【題型七】“過(guò)點(diǎn)”切線有參數(shù) 9【題型八】公切線條數(shù) 11【題型九】公切線求參 14培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練 16培優(yōu)第二階——能力提升練 18培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 23【題型一】切線基礎(chǔ)1：有切點(diǎn)求切線【典例分析】．曲線在處的切線方程是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】,當(dāng)x=0時(shí)，y’=2,即切線的斜率為2，通過(guò)選項(xiàng)可看出C符合題意。故選C【提分秘籍】基本規(guī)律求切線方程：【變式訓(xùn)練】1.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）.A． B．C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可求得切線方程.【詳解】，切線斜率為，∴切線方程為，即.故選：D.2.曲線在點(diǎn)（1,1）處切線的斜率等于（）.A． B． C．2 D．1【答案】C試題分析：由，得，故，故切線的斜率為，故選C.3.曲線在處的切線方程為_(kāi)________.【答案】【分析】求導(dǎo)，計(jì)算，得到切線方程.【詳解】，故，故所求切線方程為.故答案為：.【題型二】切線基礎(chǔ)2：有切線（斜率）求參【典例分析】若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，則．【答案】【分析】【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，結(jié)合題意有：.【變式訓(xùn)練】1.曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則________.【答案】．【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出其在點(diǎn)處的切線斜率，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因此，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為；又該切線與直線垂直，所以.故答案為2.己知函數(shù)，若曲線在處的切線與直線平行，則__________.【答案】【分析】先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以，解得.故答案為：3.已知函數(shù)，若曲線在處的切線方程為，則a＋b＝_______.【答案】0【分析】由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得、，即可得解.【詳解】∵，∴，∵曲線在處的切線方程為，∴，，∴.故答案為：.【題型三】切線基礎(chǔ)3：無(wú)切點(diǎn)【典例分析】曲線在點(diǎn)P處的切線平行于，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】AB【詳解】因，令，故或，所以或，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)，均不在直線上，故選：AB【提分秘籍】基本規(guī)律無(wú)切點(diǎn)型：【變式訓(xùn)練】1.若曲線的一條切線的斜率是3，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)曲線的切線斜率即對(duì)應(yīng)的函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，令導(dǎo)數(shù)，解得x的值，結(jié)合函數(shù)定義域即可得解．【詳解】解：，，，解得（舍去）或，所以，故答案為：2.2.若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為【答案】【解析】解：4x-y-3=0與直線x+4y-8=0垂直的直線l與為：4x-y+m=0，即在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4，而y′=4x3，∴在（1，1）處導(dǎo)數(shù)為4，故方程為4x-y-3=0．3.曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率為，則該切線的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，解得（舍去）或，可得切點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以該切線的方程為，整理得.故選D.【題型四】無(wú)切點(diǎn)有切線求參【典例分析】已知函數(shù)為偶函數(shù)，若曲線的一條切線與直線垂直，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)偶函數(shù)求參數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得斜率，最后根據(jù)直線垂直關(guān)系得結(jié)果.【詳解】為偶函數(shù)，則，，設(shè)切點(diǎn)得橫坐標(biāo)為，則解得，（負(fù)值舍去）所以.故選：D【變式訓(xùn)練】1.已知直線為曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_________.【答案】解：設(shè)切點(diǎn)為，，因?yàn)?，所以，依題意可得，且，解得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以故答案為：2.若直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)()A． B． C． D．【答案】B【詳解】數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），設(shè)切點(diǎn)為（m，2lnm+1），則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則切線斜率，則對(duì)應(yīng)的切線方程為即且，即，則，則，故選B．3.已知直線y=x+1與曲線y=ln(x+a)A．1B．2C．-1D．-2【答案】B設(shè)切點(diǎn)P(x0,y∴x0+a=1∴【題型五】“過(guò)點(diǎn)”切線【典例分析】已知曲線的某條切線過(guò)原點(diǎn)，則此切線的斜率為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，切線的方程，代入，求切點(diǎn)坐標(biāo)，切線的斜率．【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，，切線的斜率是，切線的方程為，將代入可得，，切線的斜率是；故答案為：．【提分秘籍】基本規(guī)律“過(guò)點(diǎn)”切線型，需要設(shè)切點(diǎn)：【變式訓(xùn)練】1.過(guò)原點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線，則切線方程為_(kāi)_____．【答案】或【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo),然后設(shè)出切點(diǎn)為,利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程,再根據(jù)切線過(guò)原點(diǎn)列式求出,從而得到切線方程.【詳解】,則,設(shè)切點(diǎn)為,則切線的斜率,故切線方程為:,因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn),所以,即或,故當(dāng)時(shí),切線方程為,當(dāng)時(shí),切線方程為,故答案為:或.2.已知，則曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程是______．【答案】或【分析】設(shè)切點(diǎn)為，求得的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率，結(jié)合兩點(diǎn)的斜率公式，解方程可得切點(diǎn)，再由點(diǎn)斜式方程可得所求切線的方程．解：設(shè)切點(diǎn)為，的導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為，又，解得或，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程為，則切線的方程為或．故答案為：或．3.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-e，-1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____.【答案】.【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標(biāo)的值可得切點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)，則.又，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)A在曲線上的切線為，即，代入點(diǎn)，得，即，考查函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故存在唯一的實(shí)數(shù)根，此時(shí)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.【題型六】“過(guò)點(diǎn)”切線條數(shù)【典例分析】已知函數(shù)，則過(guò)點(diǎn)可作曲線的切線的條數(shù)最多為（????）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】設(shè)出切線的切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出關(guān)于切點(diǎn)坐標(biāo)的方程，方程解的個(gè)數(shù)也即切線的條數(shù)，進(jìn)而求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，設(shè)過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，則有，也即，又因?yàn)?，所以令，，?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，綜上：函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又因?yàn)?，，所以函?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，分別在區(qū)間上，也即方程有三個(gè)不同的根，所以過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，有三個(gè)不同的切點(diǎn)，也即過(guò)點(diǎn)可作曲線的切線的條數(shù)最多為，故選：.【提分秘籍】基本規(guī)律“過(guò)點(diǎn)”切線理解圖示：【變式訓(xùn)練】1.已知函數(shù)f(x)＝x3的切線的斜率等于3，則切線有()A．1條 B．2條C．3條 D．不確定【答案】B【分析】f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1，即得切點(diǎn)有兩個(gè)，切線有兩條．【詳解】∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1，∴切點(diǎn)有兩個(gè)，即可得切線有兩條．故答案為：B2.已知函數(shù)，則過(guò)點(diǎn)可作曲線的切線的條數(shù)為（????）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在切點(diǎn)處的切線方程，再將代入，求得的值，即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)為，所以在切點(diǎn)處的切線方程為，又在切線上，所以，即，整理得，解得或，所以過(guò)點(diǎn)可作曲線的切線的條數(shù)為2.故選：C．3.已知函數(shù)，則曲線過(guò)點(diǎn)的切線條數(shù)為（???????）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求出過(guò)切點(diǎn)的切線方程，代入點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)求解關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)，即可求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo),由，得，切線斜率，所以過(guò)的切線方程為，即，切線過(guò)點(diǎn)，故，令,則，由，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的極大值極小值分別為，，故其圖像與x軸交點(diǎn)2個(gè)，也就是切線條數(shù)為2.故選：B【題型七】“過(guò)點(diǎn)”切線有參數(shù)【典例分析】若曲線只有一條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則=______.【答案】或##或【分析】設(shè)切點(diǎn)為，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，并結(jié)合題意得方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，再結(jié)合判別式求解即可.【詳解】解：∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,∴切線方程為：,∵切線過(guò)原點(diǎn)，∴,整理得：,∵曲線只有一條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線切，∴,解得或,∴或,故答案為：或【變式訓(xùn)練】1.過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，當(dāng)時(shí)，切線的條數(shù)是（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義可表示出切線方程，代入可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的解的個(gè)數(shù)的求解；令，利用導(dǎo)數(shù)可得圖象，根據(jù)與圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)可確定方程解的個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到切線條數(shù).【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，切線斜率，切線方程為：；又切線過(guò)，；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，恒成立，可得圖象如下圖所示，則當(dāng)時(shí)，與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)不同的解，切線的條數(shù)為條.故選：D.2.設(shè)過(guò)直線上一點(diǎn)A作曲線的切線有且只有兩條，則滿(mǎn)足題設(shè)的一個(gè)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為_(kāi)__________.【答案】2或【分析】設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，進(jìn)而可得有且只有兩個(gè)解，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】設(shè)切點(diǎn)，則，切線斜率為，所以切線，設(shè)，則，∴，令，則方程有且只有兩個(gè)解，所以，由，可得或2，當(dāng)變化時(shí)，的變化如下，02負(fù)0正0負(fù)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值2減函數(shù)所以函數(shù)的極小值為，極大值為，∴或，方程有且只有兩個(gè)解，即A的縱坐標(biāo)為2或.故答案為；2或.3..已知，過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，則的范圍是________．【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得方程有3個(gè)解，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像，觀察圖像確定的范圍.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得，所以切線方程為，將代入切線方程，得，即為方程的解，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極小值，極小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，極大值為，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，所以方程有三個(gè)不同的解，與的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，即的范圍是.故答案為：.【題型八】公切線條數(shù)【典例分析】曲線：與曲線：公切線的條數(shù)是（????）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】設(shè)公切線與的切點(diǎn)為，公切線與的切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別得出在切點(diǎn)，處的切線方程，由得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出方程的根的個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)公切線與的切點(diǎn)為，公切線與的切點(diǎn)為的導(dǎo)數(shù)為；的導(dǎo)數(shù)為則在切點(diǎn)處的切線方程為，即則在切點(diǎn)處的切線方程為，即，整理得到令，則；在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增即函數(shù)與的圖象，如下圖所示由圖可知，函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，則方程有兩個(gè)不等正根，即曲線：與曲線：【變式訓(xùn)練】1.已知函數(shù)，則和的公切線的條數(shù)為A．三條 B．二條 C．一條 D．0條【答案】A【分析】分別設(shè)出兩條曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)斜率相等得到方程，構(gòu)造函數(shù)，研究方程的根的個(gè)數(shù)，即可得到切線的條數(shù).【詳解】設(shè)公切線與和分別相切于點(diǎn)，，解得，代入化簡(jiǎn)得，構(gòu)造函數(shù)，原函數(shù)在，極大值故函數(shù)和x軸有交3個(gè)點(diǎn)，方程有三解，故切線有3條.故選A.2..若直線與曲線和曲線都相切，則直線的條數(shù)有（????）A．1 B．2 C．3 D．無(wú)數(shù)條【答案】B【分析】根據(jù)兩函數(shù)解析式，在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出函數(shù)圖象，對(duì)兩曲線進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出斜率的表達(dá)式，再根據(jù)三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的值域，即可求出公切線與兩曲線的切點(diǎn)位置，進(jìn)而確定公切線的條數(shù).【詳解】如圖所示設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，與曲線的切點(diǎn)為，直線的斜率；所以，，即在點(diǎn)處的斜率為，，即在點(diǎn)處的斜率為，得；又因?yàn)?，所以斜率由得，或；由得，；因此，存在，和，使得，即此時(shí)直線即為兩條曲線的公切線；同時(shí)，存在，和，使得，且；所以，直線即為異于直線的第二條曲線的公切線；綜上可知，直線的條數(shù)有2條.故選：B.3.若直線與曲線和都相切，則直線的條數(shù)有（????）A． B． C． D．無(wú)數(shù)條【答案】C【分析】先設(shè)出所求直線l，再通過(guò)設(shè)出的直線斜率得到切點(diǎn)，運(yùn)用切點(diǎn)和斜率構(gòu)造方程，再通過(guò)構(gòu)造新的函數(shù)求解方程解的情況【詳解】設(shè)直線因?yàn)橹本€與曲線和都相切。所以對(duì)于曲線，，，切點(diǎn)對(duì)于曲線，，，切點(diǎn)因?yàn)楣芯€過(guò)A、B兩點(diǎn)所以。進(jìn)而可得。令。因?yàn)?，均為增函?shù)，又因?yàn)?，所以存在使得即。所以在時(shí)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因?yàn)?。所以?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以所以在?nèi)存在使得直線與曲線和都相切當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以所以在?nèi)存在使得直線與曲線和都相切所以綜上所述，存在兩條斜率分別為的兩條直線與曲線和都相切。故選：C【題型九】公切線求參【典例分析】若函數(shù)與函數(shù)有公共點(diǎn)，且在該公共點(diǎn)處的切線相同，則實(shí)數(shù)__________．【答案】【分析】求導(dǎo)后，可知當(dāng)時(shí)，恒成立，由此可得公切點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)可化簡(jiǎn)得到，根據(jù)和的單調(diào)性可確定是方程在上的唯一解，由此可求得的值.【詳解】由題意得：，；設(shè)與的公切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則；當(dāng)時(shí)，，，恒成立，；由得：，，則；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，有唯一解：，.故答案為：.【變式訓(xùn)練】1.若函數(shù)與的圖象在一個(gè)公共點(diǎn)處的切線相同，則實(shí)數(shù)_________．【答案】-1或0【分析】設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)切點(diǎn)在函數(shù)圖象上和導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程，解方程即可得到.【詳解】設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)切點(diǎn)在函數(shù)圖象上，所以得到①，由函數(shù)得，由函數(shù)得，所以得②，解①②得或.故答案為：-1或0.2.設(shè)函數(shù)的圖象與的圖象有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線重合，則實(shí)數(shù)b的最大值為_(kāi)_____.【答案】【分析】設(shè)出公共點(diǎn)，求導(dǎo)，根據(jù)切線重合得到切點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而得到關(guān)于的關(guān)系式，，求導(dǎo)求出的最大值.【詳解】設(shè)公共點(diǎn)坐標(biāo)為，，，由在公共點(diǎn)處切線相同得，即，解得（舍去）或，又，即，所以，設(shè)函數(shù)，，令得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，b取最大值，將代入，則得.故答案為：.3.已知函數(shù)，，若曲線與曲線在公共點(diǎn)處的切線相同，則實(shí)數(shù)________．【答案】1【分析】設(shè)函數(shù)，的公共點(diǎn)為，則，代入化簡(jiǎn)即可求得，令，易得在上單調(diào)遞增，即可求出，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】設(shè)函數(shù)，的公共點(diǎn)為，則即則．令，易得在上單調(diào)遞增，所以以由，解得，所以切點(diǎn)為，所以，則．故答案為：1.分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．函數(shù)（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角是（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出，從而可得在點(diǎn)處的切線的傾斜角.【詳解】，所以.所以在點(diǎn)處的切線的傾斜角是.故選:C.2．已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是（????）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求得曲線在時(shí)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)幾何意義即可求得曲線在點(diǎn)處的切線方程.【詳解】設(shè)，則，由為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，可得，則，則，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即故選：C3．若直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)斜率求得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得.【詳解】因?yàn)?，所以，令，即，得或（舍去），所以切點(diǎn)是，代入，得，.故選：D4．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】，，，，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：A5．已知函數(shù)，則曲線在處的切線斜率為（????）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】由，可知，所以，故選：D．6．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則等于（）A．2 B．1 C．0 D．﹣2【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由切線的方程求得切線的斜率和切點(diǎn)，解方程可得a，b，即可得到所求結(jié)論.【詳解】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得在點(diǎn)處的切線斜率為，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程是，所以，，解得，，所以故選：C.7．已知函數(shù)記函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的圖象在處的切線與x軸相交的橫坐標(biāo)為，則（????）A． B．C． D．【答案】B【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線方程，再利用裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】，切點(diǎn)，，切線方程為：，令，即，切點(diǎn)，，切線方程為：，令，所以，故選：B8．若曲線和y＝x2＋mx＋1有公切線，則實(shí)數(shù)m＝（????）A． B． C．1 D．－1【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出曲線的切線方程，再與曲線y＝x2＋mx＋1聯(lián)立，結(jié)合判別式即可求解.【詳解】設(shè)，則，曲線與切線相切于，則切線方程為：①因?yàn)榍芯€與y＝x2＋mx＋1②相切，聯(lián)立①②：x2＋mx＋1=，所以，所以，所以，則有，解得，故選：A培優(yōu)第二階——能力提升練1．已知函數(shù)其圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則它在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)f(x)在處的切線方程為可得，且，根據(jù)f(x)的解析式和導(dǎo)數(shù)可求和，從而可求得結(jié)果．【詳解】∵在點(diǎn)處的切線方程為，∴，且，又，∴，且，∴點(diǎn)為，在處切線斜率為，∴所求切線方程為，即．故選：A．2．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為3，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定參數(shù)b的取值，然后利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，即得答案.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線的斜率為3，即有，解得，所以，即，所以，故選：D．3．已知函數(shù)的圖像在處的切線與在處的切線相互垂直，那么的最小值是（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，根據(jù)余弦函數(shù)的最值可得且，或且，分兩種情況求出，然后求出其最小值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，依題意可得，所以,所以且，或且，當(dāng)且時(shí)，，，，，所以，，，所以，，，所以當(dāng)或時(shí)，取得最小值.當(dāng)且時(shí)，，，，，所以，，，所以，，，所以當(dāng)或時(shí)，取得最小值.綜上所述：的最小值是.故選：B4．若函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)公切線與函數(shù)的圖象切于點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出在點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)公切線與函數(shù)的圖象切于點(diǎn)，同理可得在處的切線方程為，即可得到，再通過(guò)消元可得，然后通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)題意可知，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即可求出．【詳解】設(shè)公切線與函數(shù)的圖象切于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即在點(diǎn)處斜線的斜率，所以切線方程為，即；設(shè)公切線與函數(shù)的圖象切于點(diǎn)，因?yàn)椋?，即在處點(diǎn)斜線的斜率，所以切線方程為，即，所以有，因?yàn)?，所以，．又，令，則，所以，令，且因?yàn)?，得；令，且因?yàn)?，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).所以函數(shù)與函數(shù)有兩條公切線，滿(mǎn)足，即，所以．故選：D．5．如圖，二次函數(shù)的圖象為曲線，過(guò)上一點(diǎn)P（位于x軸下方）作的切線與的正半軸，的負(fù)半軸分別交于點(diǎn)，當(dāng)軸及軸圍成陰影部分的面積取得最小值時(shí)，P到x軸的距離為（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合題意只需求的最小值，下設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出切線方程，得到點(diǎn)坐標(biāo)，表示出后，求取到最小值時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)即可.【詳解】由于二次函數(shù)曲線和坐標(biāo)軸圍成的面積一定，陰影面積取到最小值，等效于求的最小值，設(shè)，由，，故切線的斜率為，所以切線方程為，令，解得，令，解得，由題意切點(diǎn)在軸下方，且，故，所以，記，，令得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)到軸的距離為.故選：A6．若過(guò)可作的兩條切線，則（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程為：，把點(diǎn)代入可得：，則此方程有大于0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，列出不等式組，求解即可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，切線的斜率，則切線方程為：，把點(diǎn)代入可得，化為：，則此方程有大于0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．則，即，則，故選：A．7．已知過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求解切線方程為，代入點(diǎn)，得到關(guān)于的含參方程，孤立參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的取值情況，滿(mǎn)足方程的根又兩個(gè)，從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)是，，即，而故切線斜率，切線方程是，又因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，顯然，則，在上有兩個(gè)交點(diǎn)，令，設(shè)，則，令得，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，，且時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，所以有兩個(gè)交點(diǎn)，則或，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.8．過(guò)軸上一點(diǎn)作函數(shù)的圖象的切線，則切線的條數(shù)可能為（????）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BCD【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，寫(xiě)出切線方程，設(shè)軸上一點(diǎn)，代入切線方程后由方程零點(diǎn)個(gè)數(shù)可得到結(jié)論.【詳解】由題意知，，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，設(shè)軸上一點(diǎn)，代入切線方程，得，即，該方程有可能有一個(gè)，兩個(gè)或三個(gè)零點(diǎn)，所以可作切線的條數(shù)為1,2或3條，故選：BCD.培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1．已知函數(shù)，數(shù)列按照如下方式取定：，曲線在點(diǎn)處的切線與經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)的直線平行，則（????）A． B．恒成立 C． D．?dāng)?shù)列為單調(diào)數(shù)列【答案】ABD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用放縮法和構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，，，，曲線在點(diǎn)處的切線與與連線平行，所以斜率相等，所以，所以，所以所以，而，所以，記，所以，所以單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以所以，故選項(xiàng)A正確；設(shè)，則，設(shè)，，所以，，所以若，則，則，因?yàn)?，所以恒成立，故選項(xiàng)B正確；要證，令，即證明，令，所以t>0時(shí)，，(t>0)所以，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，若數(shù)列為單調(diào)，則必為單調(diào)遞減，則，即，即，即(),即，即，令，則，所以，所以單調(diào)遞增，所以，所以，所以得證；所以選項(xiàng)D正確;故選：ABD.【點(diǎn)睛】通過(guò)構(gòu)造單變量函數(shù)，求導(dǎo)后證明不等式，從而可以幫助解題.2．若曲線（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值可以是（????）A． B． C．0 D．1【答案】AD【分析】設(shè)切點(diǎn)為，求導(dǎo)得出斜率，利用點(diǎn)斜式得到切線方程，因?yàn)榍芯€過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，可得到，有兩條切線轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等的實(shí)根，即可求出a的取值范圍，進(jìn)而得到正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，所以切線的斜率，則此曲線在P處的切線方程為，又此切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，由此推出有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以，解得或，故選：AD．3．二次函數(shù)與在它們的一個(gè)交點(diǎn)處切線互相垂直，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】【分析】根據(jù)交點(diǎn)處切線垂直得到，再利用基本不等式中的乘1法即可得到最值.【詳解】解：設(shè)該交點(diǎn)為，因?yàn)?，則，因?yàn)?，則，因?yàn)閮珊瘮?shù)在交點(diǎn)處切線互相垂直，所以，，分別化簡(jiǎn)得，，上述兩式相加得，又，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，且即時(shí)取等號(hào).故所求最小值為，故答案為