考試復習備考資料一考試習題訓練

2022年四川省廣元市中考數(shù)學試卷

一、選擇題(每小題給出的四個選項中，只有一個符合題意.每小題3分，共

30分)

1.若實數(shù)。的相反數(shù)是-3,則a等于()

1

A.-3B.0C.-D.3

3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù).即可求出a的值.

【詳解】解：；3的相反數(shù)是-3,

a=3.

故選：D.

【點睛】本題考查了實數(shù)的性質、相反數(shù)，解決本題的關鍵是掌握相反數(shù)的概念.

2.如圖是某幾何體的展開圖，該幾何體是()

A.長方體B.圓柱C.圓錐D.三棱柱

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)幾何體的展開圖可直接進行排除選項.

【詳解】解：由圖形可得該幾何體是圓柱；

故選B.

【點睛】本題主要考查兒何體的展開圖，熟練掌握凡何體的展開圖是解題的關鍵.

3.下列運算正確的是()

A.x2+x—x3B.(-3x)』6x2

C.3y*2x2y=6x2yzD.(x-2y)(x+2y)=x2-2產

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)各個選項中的式子，可以計算出正確的結果，從而可以解答本題.

【詳解】解：A、X2與X不是同類項，不能合并，該選項不符合題意；

B、(-3x)2=9x2原計算錯誤，該選項不符合題意；

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C、3y?2x2產6x2產正確，該選項符合題意；

D、（x-2y）（x+2y）=N-4產原計算錯誤，該選項不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查的是合并同類項，積的乘方，同底數(shù)幕的除法，平方差公式，掌握以上

知識是解題的關鍵.

4.如圖，直線將三角尺直角頂點放在直線6上，若/1=50。，則N2的度數(shù)是

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意易得Nl+/3=90°,然后根據(jù)平行線的性質可求解.

【詳解】解：如圖，

由題意得：Z3=180°-90°-Zl=40°,

'：a//b,

.,./2=N3=40°,

故選C.

【點睛】本題主要考查平行線的性質及平角的意義，熟練掌握平行線的性質及平角的意義

是解題的關鍵.

5.某藥店在今年3月份購進了一批口罩，這批口罩包括一次性醫(yī)用外科口罩和N95口罩，

且兩種口罩的只數(shù)相同，其中一次性醫(yī)用外科口罩花費1600元，7V95口罩花費9600

元.已知一次性醫(yī)用外科口罩的單價比N95口罩的單價少10元，那么一次性醫(yī)用外科口

罩的單價為多少元？設一次性醫(yī)用外科口罩單價為x元，則列方程正確的是（）

9600_16009600_1600

x-10xx+10x

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9600160096001600

C.-----=------D.------------1-10

xx-10xx

【答案】B

【解析】

【分析】設該藥店購進的一次性醫(yī)用外科口罩的單價是x元，則購進N95口罩的單價是

（x+10）元，利用數(shù)量=總價+單價，結合購進兩種口罩的只數(shù)相同，即可得出關于x的分

式方程.

【詳解】解：設該藥店購進的一次性醫(yī)用外科口罩的單價是x元，則購進N95口罩的單價

是(x+10)元,

16009600

依題意得:

xx+10

故選：B.

【點睛】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵.

6.如圖是根據(jù)南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（單位：噸）繪制成的折線統(tǒng)

計圖.下列結論正確的是（）

012345日期

A.平均數(shù)是6B.眾數(shù)是7C.中位數(shù)是11I）.方差是

8

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題目要求算出平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差，再作出選擇即可.

【詳解】解：A、平均數(shù)為（5+7+11+3+9）+5=7,故選項錯誤，不符合題意；

B、眾數(shù)為5、7、11、3、9,故選項錯誤，不符合題意；

C、從小到大排列為3,5,7,9,11,中位數(shù)是7,故選項錯誤，不符合題意；

D、方差/=1（5-7）2+（7-7）2+（11-7）2+（3-7）2+（9-7）2]=8,故選項正確，符

5L-

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合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差的算法，熟練掌握平均數(shù)、眾數(shù)、中位

數(shù)、方差的算法是解題的關鍵.

7.如圖，48是。。的直徑，C、。是。。上的兩點，若/018=65。，則N4OC的度數(shù)為

()

A.25°B.35°C.45°D.65°

【答案】A

【解析】

【分析】首先利用直徑所對的圓周角是直角確定NZC8=90。，然后根據(jù)/C/B=65。求得

ZABC的度數(shù)，利用同弧所對的圓周角相等確定答案即可.

【詳解】解：是直徑，

乙4cB=90。，

'：ZCAB=65°,

：.ZABC=900-ZCAB=25°,

：.ZADC=ZABC=25°,

故選：A.

【點睛】本題考查了圓周角定理的知識，解題的關鍵是了解直徑所對的圓周角為直角，難

度不大.

8.如圖，在△48C中，BC=6,AC=8,ZC=90°,以點2為圓心，5c長為半徑畫弧，

與交于點。，再分別以/、。為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點M、

N,作直線分別交/C、于點E、F,則/E的長度為()

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510

A.-B.3C.2721).——

23

【答案】A

【解析】

【分析】由題意易得垂直平分4),AB=\O,則有/Q=4,AF=2,然后可得

AC4

cosZ/4

~AB~~5

進而問題可求解.

【詳解】解：由題意得：垂直平分ZD,BD=BC=6,

AF=-AD,ZAFE^90°,

2

；BC=6,ZC=8,NC=90°,

,AB=JAC?+BC?=10-

ZC4

：.AD=4,AF=2,cosZ.A=----=一

AB5

AF5

/.AE=--------二—

cos42

故選A.

【點睛】本題主要考查勾股定理、垂直平分線的性質及三角函數(shù)，熟練掌握勾股定理、垂

直平分線的性質及三角函數(shù)是解題的關鍵.

9.如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，/、B、C、。都在格點處，AB

與CD相交于點P,則cos/NPC的值為()

A也B,正2

C.一D

555T

【答案】B

【解析】

【分析】把N8向上平移一個單位到。E,連接CE,則。E〃/18,由勾股定理逆定理可以

證明為直角三角形，所以cos//PC=cos/EOC即可得答案.

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【詳解】解：把45向上平移一個單位到DE,連接CE,如圖.

則DE//AB,

ZAPC=ZEDC.

在△〃我中，有==DC=VF+47=2V5-DE=加+42=5,

???EC2+DC2=5+20=25=DE2，

...△DCS是直角三角形，且ZDC￡=90°,

cosZAPC^cosZEDC^—=RI.

DE5

故選：B.

【點睛】本題考查了解直角三角形、平行線的性質，勾股定理，作出合適輔助線是解題關

鍵.

10.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（分0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（-1,0）,對稱軸為直

線x=2,下列結論：（1）"c<0；（2）4a+c>2h；（3）3b-2c>0；（4）若點4

7

（-2,乃）、點8（-心）、點C（5,門）在該函數(shù)圖象上，則為〈為〈冷；（5）

4a+2b>m（am+b）（機為常數(shù)）.其中正確的結論有（）

【答案】C

【解析】

【分析】由圖象可知。<0,c〉0,對稱軸為直線x=2,與x軸的一個交點為（一1,0）,然

后可得6=—4a〉0,a—b+c=0,則有c=—5a,進而可判斷（1）（2）（3）,最后根據(jù)函

數(shù)的性質可進行判斷（4）（5）.

【詳解】解：由圖象及題意得：a<0,c〉0,對稱軸為直線x=2,與x軸的一個交點為

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(T0)，

/.b=-4a>O,Q-b+c=O,

；?。+4。+c=0,即c=-5a,

/.abc<0,3/?-2c=3x(-4a)-2x(-5tz)=-2a>0,故(1)(3)正確；

由圖象可知當尸?2時，則有4a—2b+c<0,即4o+c<2b,故(2)錯誤；

7

?.?點/(-2,為)、點8(-處)、點C(］，X)在該函數(shù)圖象上，

,根據(jù)二次函數(shù)開口向下，離對稱軸的距離越近，其所對應的函數(shù)值越大，

必>%>乂，故(4)錯誤；

由圖象可知當尸2時，該函數(shù)有最大值，最大值為y=4"+2/>+c,

?,.當時，(機為常數(shù))，則有y=。加2+和M+C,

Z.4a+2b+c>am2+bm+c<即為4a+262加(。陽+6),故⑸正確；

綜上所述：正確的有(1)(3)(5)共3個；

故選C.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題的

關鍵.

二、填空題(把正確答案直接寫在答題卡對應題目的橫線上，每小題4分，共

24分)

11.分解因式：a3-4a=___.

【答案】a(a+2)(a-2)

【解析】

【分析】根據(jù)提公因式及平方差公式進行因式分解即可.

【詳解】解：原式=a(/—4)=a(a+2)(a—2)；

故答案為：a(a+2)(a-2).

【點睛】本題主要考查提公因式和公式法進行因式分解，熟練掌握因式分解是解題的關

鍵.

12.石墨烯目前是世界上最薄、最堅硬的納米材料?，其理論厚度僅0.00000000034米，這個

數(shù)用科學記數(shù)法表示為.

【答案】3.4x10“°

【解析】

【分析】絕對值小于1的數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為辦107與較大數(shù)的

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科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)塞.

【詳解】0.00000000034=3.4xlO-10

故答案為：3.4x10-10.

【點睛】本題考查用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)，一般形式為0X107其中

1<|?|<10,〃為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)決定.

13.一個袋中裝有機個紅球，10個黃球，〃個白球，每個球除顏色外都相同，任意摸出一

個球，摸到黃球的概率與不是黃球的概率相同，那么加與〃的關系是.

【答案】m+〃=10.

【解析】

【分析】直接利用概率相同的頻數(shù)相同進而得出答案.

【詳解】?.?一個袋中裝有機個紅球，10個黃球，〃個白球，摸到黃球的概率與不是黃球的

概率相同，

加與〃的關系是："?+”=10.

故答案為機+"=10.

【點睛】此題主要考查了概率公式，正確理解概率求法是解題關鍵.

14.如圖，將。。沿弦折疊，標恰經(jīng)過圓心。，若Z8=26,則陰影部分的面積為

【答案】士2乃##27?r

33

【解析】

【分析】過點。作于點。，交劣弧42于點E,由題意易得

OD=DE=、OE=LOB,AD=BD=LAB=^,則有/。8。=30。，然后根據(jù)特殊

222

三角函數(shù)值及扇形面積公式可進行求解陰影部分的面積.

【詳解】解：過點。作于點O,交劣弧43于點E,如圖所示：

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由題意可得：OD=DE=LOE=LOB,AD=BD=LAB=也,

222

...ZOBD=30°,

：.ZDOB=60。,OD=BD-tan30°=1,05=――=2,

cos30°

弓形的面積為2xS5,“"一2s".=2x絲且2—2x，xjixl=q》一百，

國杉。^UUD36023

，陰影部分的面積為5s弓形'a+S.OBD

2

故答案為一〃.

3

【點睛】本題主要考查扇形面積、軸對稱的性質及三角函數(shù)，熟練掌握扇形面積、軸對稱

的性質及三角函數(shù)是解題的關鍵.

15.如圖，已知在平面直角坐標系中，點”在x軸負半軸上，點8在第二象限內，反比例

k

函數(shù)歹=一的圖象經(jīng)過△CM8的頂點8和邊48的中點C,如果△045的面積為6,那么

x

k的值是.

【答案】4

【解析】

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【分析】過8作80,04于。，設8（〃?，〃），根據(jù)三角形的面積公式求得。4=一,進

?

而得到點力的坐標，再求得點C的坐標，結合一次函數(shù)的解析式得到列出方程求解.

【詳解】解：過8作于。，如下圖.

?.?點B在反比例函數(shù)y=七的圖象上,

X

；?設8（加，n）.

???△048的面積為6,

丁點。是48的中點，

”12拉刃，

?.?點C在反比例函數(shù)y=幺的圖象上，

X

加〃+12n

/.-----------mn,

2〃2

/.加〃=4,

...%=4.

故答案為:4.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)％的幾何意義，三角形的面積公式，中點坐標的求

法，正確的理解題意是解題的關鍵.

16.如圖，直尺48垂直豎立在水平面上，將一個含45。角的直角三角板石的斜邊OE靠

在直尺的一邊上，使點E與點4重合，Z）￡=12cm.當點。沿。4方向滑動時，點E

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同時從點/出發(fā)沿射線/F方向滑動.當點?；瑒拥近c4時，點C運動的路徑長為

____cm.

【答案】（24—120）

【解析】

【分析】由題意易得CO=CE=注。E=6五cm,則當點。沿D4方向下滑時，得到

2

/XD'C'E',過點。'作C'N_L/5于點N,作C'W_L/E于點”，然后可得

^D'C'N^E'C'M,進而可知點。沿。/方向下滑時，點C在射線/C上運動，最后問

題可求解.

【詳解】解：由題意得：ZDEC=45°,DE=12cm,

/y

???CD=CE=—DE=672cm,

2

如圖，當點。沿方向下滑時，得到△OCE,過點C作CW_L/8于點N,作

，四邊形N4V/C'是矩形，

ZNCM=90°,

ND'C'N+NNC'E'=ZNC'E'+ZE'C'M=90°,

ZD'C'N=ZE'C'M,

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D'C'=E'C,ZD'NC=ZE'MC=90°,

&DCN烏AE'C'M,

Z.C'N=CM,

VC'N±AB,CM1AF,

：./C'平分NN4M

即點。沿。/方向下滑時，點C在射線4C上運動，

...當C'O'LZB時，此時四邊形C'O'/E'是正方形，CC的值最大，最大值為

么0-40=（12-6回cm,

.??當點?；瑒拥近c/時，點C運動的路徑長為2x（12—6⑹=（24—12⑹cm；

故答案為（24-12JI）.

【點睛】本題主要考查正方形的性質、全等三角形的性質與判定、等腰直角三角形的性質

及角平分線的判定定理，熟練掌握正方形的性質、全等三角形的性質與判定、等腰直角三

角形的性質及角平分線的判定定理是解題的關鍵.

三、解答題（要求寫出必要的解答步驟或證明過程.共96分）

17.計算：2sin60°-173-2|+(兀-麗)。-屈+(-/)"

【答案】3

【解析】

【分析】代入特殊角的三角函數(shù)值，按照實數(shù)的混合運算法則計算即可得答案.

【詳解】解：2sin60°-|V3-2|+（7t-V10）°-V12+<-7）-2

=2x3-2+6+1-20+4

2

=百-2+6+1-2百+4

=3.

【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)基、負整數(shù)指數(shù)第及二次根式的性質與化

簡，熟練掌握實數(shù)的混合運算法則，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關鍵.

2%—12（x—1）<x+l

18.先化簡，再求值：——（1--一）,其中％是不等式組'）的整數(shù)

x+xx-15x+3>2x

解.

【答案】馬，當x=2時，原分式的值為:

x2

【解析】

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【分析】由題意先把分式進行化簡，求出不等式組的整數(shù)解，根據(jù)分式有意義的條件選出

合適的X值，進而代入求解即可.

原式WW”

【詳解】解:

<x+1

由］^可得該不等式組的解集為：-1＜工＜3,

5x+3>2x

???該不等式組的整數(shù)解為：j、0、1、2,

當x=-l,0,1時，分式無意義，

/.x=2,

21

?,?把x=2代入得：原式=”=—.

222

【點睛】本題主要考查分式的運算及一元一次不等式組的解法，要注意分式的分母不能為

0.

19.如圖，在四邊形438中，AB//CD,ZC平分NZM8,AB=2CD,E為中點，連

接CE.

（1）求證：四邊形4ECO為菱形；

（2）若NZ）=120。，DC=2,求的面積.

【答案】（1）見詳解（2）△ABC的面積為2百

【解析】

【分析】（1）由題意易得CC=/E,ZDAC=ZEAC=ZDCA,則有四邊形是平行四邊

形，然后問題可求證；

（2）由（1）及題意易得ND4E=NCEB=60°,CE=BE,NC4B=30。，則有ABCE是

等邊三角形，然后可得△ZC8是直角三角形，則〃C=2G,8C=2,進而問題可求解.

【小問1詳解】

證明：NC平分

AZDAC=ZEAC,NEAC=NDCA,

：.ZDAC=ZDCA,

：.DA=DC,

'：AB=2CD,E為AB中點,

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：.CD=AE=LAB,

2

?：CD//AE,

...四邊形/ECD是平行四邊形，

'：DA=DC,

...四邊形NEC。是菱形；

【小問2詳解】

解：由（1）知：CD〃AE,AD〃EC,CD=AE=EC=2,

???ZZ>=120°,

NDAE=180。-/DC=60°=NCEB/CAB^-ZDAE=30°=NACE,

2

■:E為AB中點，

AE=BE=CE,

△BCE是等邊三角形，

Z.ECB=60°,BC=CE=2,

ZACB=N4CE+NECB=90°,

???AC=6BC=25

S^ACB=；NC,BC=2V3.

【點睛】本題主要考查菱形的性質與判定、等邊三角形的性質及含30。直角三角形的性

質，熟練掌握菱形的性質與判定、等邊三角形的性質及含30。直角三角形的性質是解題的

關鍵.

20.為豐富學生課余活動，明德中學組建了/體育類、B美術類、C音樂類和。其它類四

類學生活動社團，要求每人必須參加且只參加一類活動.學校隨機抽取八年級（1）班全體

學生進行調查，以了解學生參團情況.根據(jù)調查結果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖（如圖所

示）.請結合統(tǒng)計圖中的信息，解決下列問題：

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人數(shù)

（1）八年級（1）班學生總人數(shù)是人，補全條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖中區(qū)域c所

對應的扇形的圓心角的度數(shù)為:

（2）明德中學共有學生2500人，請估算該校參與體育類和美術類社團的學生總人數(shù)；

（3）校園藝術節(jié)到了，學校將從符合條件的4名社團學生（男女各2名）中隨機選擇兩名

學生擔任開幕式主持人，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好選中1名男生和1名女生的

概率.

【答案】（1）40；補全條形統(tǒng)計圖見解析；90°；

（2）該校參與體育類和美術類社團的學生總人數(shù)大約有1625人：

（3）選中1名男生和1名女生擔任開幕式主持人的概率是2.

【解析】

【分析】（1）利用/類人數(shù)除以所占百分比可得抽取總人數(shù)；根據(jù)總數(shù)計算出C類的人

數(shù)，然后再補圖：用360。乘以C類所占的百分比，計算即可得解；

（2）利用樣本估計總體的方法計算即可；

（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果數(shù)，再找出恰好選中1名男生和1名女生的結

果數(shù)，然后利用概率公式求解.

【小問1詳解】

解：抽取的學生總數(shù)：12+30%=40（人），

C類學生人數(shù):40-12-14-4=10（人），

補全統(tǒng)計圖如下：

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扇形統(tǒng)計圖中C類所在的扇形的圓形角度數(shù)是360OX—=90。；

40

故答案為：40；90°；

【小問2詳解】

皿12+14,、

解：2500x------=1625(人)，

40

答：該校參與體育類和美術類社團的學生總人數(shù)大約有1625人;

【小問3詳解】

(3)畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結果數(shù)，其中選中1名男生和1名女生擔任開幕式主持人的有8種，

所以選中1名男生和1名女生擔任開幕式主持人的概率是：

【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果

〃，再從中選出符合事件/或8的結果數(shù)目加，然后利用概率公式求事件N或8的概

率.也考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用.

21.如圖，計劃在山頂力的正下方沿直線。方向開通穿山隧道EF.在點E處測得山頂/

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的仰角為45。，在距E點80m的C處測得山頂/的仰角為30。，從與尸點相距10m的。

處測得山頂4的仰角為45。，點C、E、F、。在同一直線上，求隧道EF的長度.

【答案】隧道EF的長度（40百+30）米.

【解析】

【分析】過點力作ZGLCQ于點G,然后根據(jù)題意易得ZG=EG=Z）G,則設

AG=EG=DG=x,進而根據(jù)三角函數(shù)可得出CG的長，根據(jù)線段的和差關系則有

x+80=J§x，最后問題可求解.

【詳解】解：過點工作NGLC。于點G,如圖所示：

由題意得：CE=80m,DF=i0m,ZAEF=ZADE=45°,ZACE=30°,

.,.△E/。是等腰直角三角形，

：.AG=EG=DG,

設AG=EG=DG=x,

x+80=VJx，

解得：X=40G+40，

AG=EG=DG=（4073+40）m,

=。尸=40百+40-10=（40^+30）m；

答：隧道EF的長度（40百+30）米.

【點睛】本題主要考查解解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關鍵.

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22.如圖，在平面直角坐標系xOy中,函數(shù)y=x+6的圖像與函數(shù)V=—(x>0)的圖像相

x

交于點8(1,6),并與x軸交于點/.點C是線段月5上一點，△04C與△0/8的面積比

(1)求4和6的值；

(2)若將△O4C繞點。順時針旋轉，使點C的對應點C落在x軸正半軸上，得到

△04C,判斷點4是否在函數(shù)y=&(x>0)的圖像上，并說明理由.

x

［答案］(1)b=5,k=6

(2)不在，理由見詳解

【解析】

【分析】(1)把點8的坐標分別代入一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式進行求解即可；

(2)由(1)及題意易得點C的坐標，然后根據(jù)旋轉的性質可知點C，的坐標，則根據(jù)等積

法可得點4的縱坐標，進而根據(jù)三角函數(shù)可得點/'的橫坐標，最后問題可求解.

【小問1詳解】

解：由題意得：

1+6=6

［左=6'

b=5,k=6；

【小問2詳解】

解：點，不在反比例函數(shù)圖像上，理由如下：

過點/作軸于點E,過點C作C尸，x軸于點尸，如圖，

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由（1）可知：一次函數(shù)解析式為y=x+5,反比例函數(shù)解析式為y=9,

X

.,.點/（-5,0）,

???△CMC與△048的面積比為2：3,且它們都以04為底，

AOAC與AOAB的面積比即為點C縱坐標與點B縱坐標之比,

2

???點C的縱坐標為6X§=4,

???點。的橫坐標為工=4一5=-1,

點C坐標為（一1,4）,

：.CF=4,0F=\,

OC=712+42=V17-tanZC0F=—=4,

OF

由旋轉的性質可得：OC=0C'=Ji7,NZ'0C'=NAOC,

根據(jù)等積法可得：0￡="空=生叵，

OC17

.八廠A'E5V17

tan^A'OE17

.?.點4不在反比例函數(shù)圖像上.

【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、三角函數(shù)及旋轉的性質，熟練掌握

反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、三角函數(shù)及旋轉的性質是解題的關鍵.

23.為推進“書香社區(qū)”建設，某社區(qū)計劃購進一批圖書.已知購買2本科技類圖書和3

本文學類圖書需154元，購買4本科技類圖書和5本文學類圖書需282元.

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（1）科技類圖書與文學類圖書的單價分別為多少元？

（2）為了支持“書香社區(qū)”建設，助推科技發(fā)展，商家對科技類圖書推出銷售優(yōu)惠活動

（文學類圖書售價不變）：購買科技類圖書超過40本但不超過50本時，每增加1本，單

價降低1元；超過50本時，均按購買50本時的單價銷售.社區(qū)計劃購進兩種圖書共計

100本，其中科技類圖書不少于30本，但不超過60本.按此優(yōu)惠，社區(qū)至少要準備多少

購書款？

【答案】（1）科技類圖書的單價為38元，文學類圖書的單價為26元.

（2）社區(qū)至少要準備2700元購書款.

【解析】

【分析】（1）設科技類圖書的單價為x元，文學類圖書的單價為y元，然后根據(jù)題意可列

出方程組進行求解；

（2）設社區(qū)需要準備川元購書款，購買科技類圖書機本，則文學類圖書有（100-w）本，

由（1）及題意可分當304加＜40時，當40W〃?S50時及當50＜加《60時，進而問題

可分類求解即可.

【小問1詳解】

解：設科技類圖書的單價為x元，文學類圖書的單價為y元，由題意得：

2x+3y=154fx=38

L解得：1”；

4x+5y=282[y=26

答：科技類圖書的單價為38元，文學類圖書的單價為26元.

【小問2詳解】

解：設社區(qū)需要準備w元購書款，購買科技類圖書機本，則文學類圖書有（100-機）本，

由（1）可得：

①當304加＜40時，則有：卬=38m+26（100-加）=12帆+2600,

V12>0,

??.當"?=30時，w有最小值，即為狡=360+2600=2960；

②當40V〃?W50時，則有：w=(38-???+40)/?/+26(1OO-/77)=-m2+52?/+2600,

V-K0,對稱軸為直線〃z=26,

當40VW50時，w隨m的增大而減小，

...當加=50時，w有最小值，即為w=—502+52x50+2600=2700;

③當50<〃?〈60時，此時科技類圖書的單價為78—50=28(元)，則有

w=28w+26(100-m)=2m+2600,

V2>0,

.,.當m=51時,w有最小值,即為w=102+26有=2702；

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綜上所述：社區(qū)至少要準備2700元的購書款.

【點睛】本題主要考查二元一次方程組的應用、一次函數(shù)與二次函數(shù)的應用，解題的關鍵

是找準等量關系，注意分類討論.

24.在RtZ\Z8C中，ZACB=90°,以ZC為直徑的。。交于點。，點E是邊8c的中

點，連結。E.

(1)求證：OE是。。的切線：

(2)若ZO=4,BD=9,求0O的半徑.

【答案】(1)見詳解(2)V13

【解析】

【分析】(1)連接。。，OE,由題意易得OE〃/8,/4=NODA,則有

N公NCOE=NDOE=NOD4,然后可得△CO￡'gZ\OOE,進而問題可求證:

(2)連接CZ),由題意易得N4DC=90°,然后可證△/QCsacDB,則有

CD?=AD?BD，進而可得36,最后利用勾股定理可求解.

【小問1詳解】

證明：連接O。，OE,如圖所示：

OA=OD,

NA=NODA,

?.?點E是邊5c的中點，

C.OE//AB,

:.NDOE=NODA,ZA=ZCOE,

：.ZDOE=ZCOE,

'：OD=OC,OE=OE,

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：./\COE^/\DOE(SAS),

,/NACB=90°,

：.ZODE=乙4cB=90。，

是。。的切線；

【小問2詳解】

解：連接8,如圖所示：

?.1C是。。的直徑，

NADC=NCDB=90。,

：.ZA+ZACD=NACD+/DCB=90°,

：.ZA=ZDCB,

：.AADCs△CDB,

.CD_BD

',而一而即CD?=AD?BD，

'：AD=4,80=9,

CD2=36，

CD-6,

在Rt^ZOC中，由勾股定理得：AC=4AD1+CD2=2V13-

.??(DO的半徑為

【點睛】本題主要考查切線的判定、相似三角形的性質與判定及勾股定理，熟練掌握切線

的判定、相似三角形的性質與判定及勾股定理是解題的關鍵.

25.在R/A48c中，AC=BC,將線段O繞點C旋轉a(0。<.<90。)，得到線段CD,連

接BD.

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(1)如圖1,將線段C4繞點C逆時針旋轉a,則的度數(shù)為；

(2)將線段CA繞點。順時針旋轉a時

①在圖2中依題意補全圖形，并求的度數(shù)；

②若N8c。的平分線CE交8。于點E交D4的延長線于點￡,連結BE.用等式表示線

段CE、8E之間的數(shù)量關系，并證明.

【答案】(1)135。

(2)(2)①補全圖形見解析：//。8=45。：②2BE-AD=6CE.理由見解析

【解析】

【分析】(1)由題意得點/、D、8都在以C為圓心，。為半徑的OC上，利用圓內接四

邊形的性質即可求解；

(2)①根據(jù)題意補全圖形即可：同(1),利用圓周角定理即可求解：

②過點C作于點C,交的延長線于點H,證明8E=￡>E,△CEH是等腰直角三

角形，推出EH=2BE-4D,利用等腰直角三角形的性質即可證明結論.

【小問1詳解】

解：由題意得：CA=CD=CB,

.,.點4、D、8都在以C為圓心，C4為半徑的。C上，如圖，

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在優(yōu)弧崩上取點G,連接NG,BG,

中，ZBCA=90°,

：.NBGA=45。,

???四邊形ADBG是圓內接四邊形，

二Z/4D5=180°-45°=135°,

故答案為：135。；

【小問2詳解】

①補全圖形，如圖：

由題意得：CA=CD=CB,

...點/、D、8都在以C為圓心，C/為半徑的。C上，如圖,

:RmBC中,ZBCA=90°,

//。8=45。；

②2BE-AD=gCE.理由如下：

過點C作C〃J_EC于點C,交ED的延長線于點“，如圖:

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,:CD=CB,CE是/BCD的平分線，

???CE是線段8。的垂直平分線，

：.BE=DE,ZEFD=90°,

由①知//DB=45°,

，ZDEF=45°,

.?.△CE"是等腰直角三角形，

:.NDEF=NH=45。,CE=CH,

'：CD=CA,

：.NCAD=NCD4,則/CAE=/CDH,

：./\AEC%/\DHC,

：.AE=DH,

：.EH=2ED-AD=2BE-AD,

?：/XCEH是等腰直角三角形，

：.2BE-AD=/2CE.

【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉變換，全等三角形的判定和性質，圓內接

四邊形的性質，等腰直角三角形