修正版2002年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)dx=xlnx2(1).eyy(x)e6xyx10y(0)=確定則,(2)已知函數(shù)由方程2.y12的特解是x001,y'(3)微分方程2滿足初始條件yyyy.x0f(x,x,x)a(x2x2x2)4xx4xx4xx經(jīng)正交變換(4)已知實(shí)二次型123123121323xPyf6ya可化成標(biāo)準(zhǔn)型,則=21.N(,)(0)y2,且二次方程4yX0無實(shí)根的概X(5)設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布21率為,則＝.2二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)考慮二元函數(shù)f(x,y)的下面4條性質(zhì):①f(x,y)在點(diǎn)處連續(xù)(x,y)②f(x,y)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù);(x,y);0000③f(x,y)在點(diǎn)處可微(x,y);④f(x,y)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在．(x,y)0000PQ若用“PQ”表示可由性質(zhì)推出性質(zhì),則有(C)③④①(B)③②①.(A)②③①..(D)③①④.nu0(n1,2,3,)nlim1n(1)(11)(2)設(shè),且,則級數(shù)1nuuunn1n1n(A)發(fā)散.(B)絕對收斂.(C)條件收斂.(D)收斂性根據(jù)所給條件不能判定.數(shù)學(xué)(一)試題第頁(13)1共頁修正版(3)設(shè)函數(shù)yf(x)在(0,)內(nèi)有界且可導(dǎo),則(A)當(dāng)limf(x)0時(shí),必有l(wèi)imf(x)0.xx(B)當(dāng)limf(x)存在時(shí),必有l(wèi)imf(x)0.xx(C)當(dāng)limf(x)0時(shí),必有l(wèi)imf(x)0.x0x0(D)當(dāng)limf(x)存在時(shí),必有l(wèi)imf(x)0.x0x0(4)設(shè)有三張不同平面的方程axayazb,i1,2,3,它們所組成的線性方程組的系i1i2i3i數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為２,則這三張平面可能的位置關(guān)系為f(x)和f(x),XX(5)設(shè)和是任意兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量,它們的概率密度分別為1212分布函數(shù)分別為F(x)和F(x),則12(A)f(x)＋f(x)必為某一隨機(jī)變量的概率密度.12(B)f(x)f(x)必為某一隨機(jī)變量的概率密度.12(C)F(x)＋F(x)必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).12(D)F(x)F(x)必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).12三、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f(0)0,f(0)0,若af(h)bf(2h)f(0)在h0,abh時(shí)是比高階的無窮小,試確定的值.數(shù)學(xué)(一)試題第2頁(共13頁)修正版四、(本題滿分7分)已知兩曲線yf(x)與yarctanxet2dt在點(diǎn)(0,0)處的切線相同,寫出此切線方程,并求極限0limnf(2).nn五、(本題滿分7分)emax{x2,y2}dxdy計(jì)算二重積分,其中D{(x,y)|0x1,0y1}.D六、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)f(x)在(,)內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),L是上半平面(y＞0)內(nèi)的有向分段光滑曲線,其起點(diǎn)為(a,b),終點(diǎn)為(c,d).記I1[1y2f(xy)]dxx[y2f(xy)1]dy,Lyy2(1)證明曲線積分與路徑無關(guān);IL(2)當(dāng)abcd時(shí),求的值.I七、(本題滿分7分)x69x3n(1)驗(yàn)證函數(shù)y(x)13333!6!9!(3n)!(x)滿足微分方程yyyex;(2)利用(1)的結(jié)果求冪級數(shù)的和函數(shù)x3n.(3n)!n0八、(本題滿分7分)設(shè)有一小山,取它的底面所在的平面為xOy坐標(biāo)面,其底部所占的區(qū)域?yàn)镈{(x,y)|x2y2xy75},小山的高度函數(shù)為h(x,y)75x2y2xy.(1)設(shè)M(x,y)為區(qū)域上一點(diǎn),問h(x,y)在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大?D00數(shù)學(xué)(一)試題第3頁(共13頁)修正版g(x,y),試寫出g(x,y)的表達(dá)式.0若記此方向?qū)?shù)的最大值為000(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動(dòng),為此需要在山腳下尋找一上山坡最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn).也就是說,要在D的邊界線x2y2xy75上找出使(1)中g(shù)(x,y)達(dá)到最大值的點(diǎn).試確定攀登起點(diǎn)的位置.九、(本題滿分6分),,線性無234已知四階方陣A(,,,),,,,4均為維列向量,其中12341234關(guān),,如果,求線性方程組Ax的通解.22123134十、(本題滿分8分)設(shè)A,B為同階方陣,(1)若A,B相似,證明A,B的特征多項(xiàng)式相等.(2)舉一個(gè)二階方陣的例子說明(1)的逆命題不成立.(3)當(dāng)A,B均為實(shí)對稱矩陣時(shí),證明(1)的逆命題成立.十一、(本題滿分7分)設(shè)維隨機(jī)變量X的概率密度為1xx,cos,0f(x)22其他.0,對X獨(dú)立地重復(fù)觀察４次,用表示觀察值大于的次數(shù)Y,求2的數(shù)學(xué)期望.Y3十二、(本題滿分7分)X設(shè)總體的概率分布為X01232(1)12P22(01)其中是未知參數(shù),利用總體的如下樣本值X2數(shù)學(xué)(一)試題第4頁(共13頁)修正版3,1,3,0,3,1,2,3,求的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值.2002年考研數(shù)學(xué)一試題答案與解析一、填空題dlnx11.lnxe(1)【分析】原式lnx2e(2)【分析】方程兩邊對兩次求導(dǎo)得xeyy'6xy'6y2x0,①eyy''eyy'26xy''12y'20.②以x0代入原方程得y0,以xy0y'0,代入①得,再以xyy'0代入②得y''(0)2.(3)【分析】這是二階的可降階微分方程.令y'P(y)(以y為自變量),則y''dy'dPPdP.dxdxdydPdPy'1yPP20,即yP0(或P0,但其不滿足初始條件).20代入方程得dydyxdPdy分離變量得0,Py積分得lnPlnyC',即PCP0C0);對應(yīng)11(y由x0時(shí)y1,Py'1,C.1得于是221數(shù)學(xué)(一)試題第頁(13)5共頁修正版y'P1,2ydydx,2yyxC積分得2.2y1C1,yx1.又由得所求特解為x02xAx(4)【分析】因?yàn)槎涡徒?jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí),標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的系數(shù)就是二次型矩陣TA6,0,0A的特征值,所以是的特征值.a,故aaa600,a2.i又因iiy4yX0無實(shí)根”,則A{164X0}{X“二次方程2A(5)【分析】設(shè)事件表示4}.依題意,有P(A)P{X4}1.24P{X4}1P{X4}1(),而即0.4.414141(),(),22二、選擇題f(x,y)討論函數(shù)的連續(xù)性,可偏導(dǎo)性,可微性及偏導(dǎo)數(shù)的(1)【分析】這是連續(xù)性之間的關(guān)系.我們知道,f(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)可微的充分條件,若f(x,y)可微則必連續(xù),故選(A).連續(xù)是11lim10,不妨認(rèn)為u1lim10nnN,nN充分大時(shí)即0(2)【分析】由時(shí),且nuunnnn1n,u0,因而所考慮級數(shù)是交錯(cuò)級數(shù),但不能保證的單調(diào)性.unn按定義考察部分和1S(1)k1(1uuk1)n(1)k11n(1)k1ununk1k1k1k1kk1數(shù)學(xué)(一)試題第頁(共頁13)6修正版(1)(1)l11(1)n11(n),uuuukn1nuk1l1kl1n11原級數(shù)收斂.1uu1再考察取絕對值后的級數(shù)nn1uu(1)uu1nn12,.注意n1n1n1n1n1nnn11)(uu1發(fā)散發(fā)散.因此選(C).nn1n1n1n:反證法.假設(shè)limf(x)a0,則由拉格朗日中值定理,(3)【分析】證明(B)對xf(2x)f(x)f'()x(x)(當(dāng)x時(shí),,因?yàn)閤2x);但這與f(2x)f(x)f(2x)f(x)2M矛盾(f(x)M).(4)【分析】因?yàn)閞(A)r(A)23,說明方程組有無窮多解,所以三個(gè)平面有公共交點(diǎn)且不唯一,因此應(yīng)選(B).(A)表示方程組有唯一解,其充要條件是r(A)r(A)3.(C)中三個(gè)平面沒有公共交點(diǎn),即方程組無解,又因三個(gè)平面中任兩個(gè)都不行,故r(A)2和r(A)3,且A中任兩個(gè)平行向量都線性無關(guān).類似地,(D)中有兩個(gè)平面平行,故r(A)2,r(A)3,且A中有兩個(gè)平行向量共線.(5)【分析】首先可以否定選項(xiàng)(A)與(C),因[f(x)f(x)]dxf(x)dx1f(x)dx21,212F()F()1121.12數(shù)學(xué)(一)試題第頁(13)7共頁修正版1,2x1,1,0x1,f(x)f(x)x(,),對于選項(xiàng)(B),若則對任何0,其他，20,其他，1f(x)f(x)dx01,f(x)f(x)0,因此也應(yīng)否定(C),綜上分析用排除法應(yīng)選,(D).1212Xmax(X,X)X~f(x),i1,2,XF(x)則的分布函數(shù)恰是進(jìn)一步分析可知,若令,而i12iF(x)F(x).12F(x)P{max(X,X)x}P{Xx,Xx}1212P{Xx}P{Xx}F(x)F(x).1212三、【解】用洛必達(dá)法則.由題設(shè)條件知lim[af(h)bf(2h)f(0)](ab1)f(0).由于f(0)0,故必有ab10.h0limaf(h)bf(2h)f(0)limaf'(h)2bf'(2h)又由洛必達(dá)法則h0h1h0(a2b)f'(0)0,及f(0)0,則有a2b0.a2,b1.綜上,得四、【解】由已知條件得earctan2x1,x0f(0)0,f'(0)(et2dt)'arctanx1x2xx00故所求切線方程為yx.由導(dǎo)數(shù)定義及數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系可得f(2)f(0)f(x)f(0)xlimnf(2)2lim2limx02f'(0)2.n2nnnnDD是正方形區(qū)域如圖.因在上被積函數(shù)分塊表示五、【分析與求解】x2,xy,(x,y)D,y2,xy,max{x2,y2}數(shù)學(xué)(一)試題第頁(13)8共頁修正版yxD于是要用分塊積分法,用將分成兩塊:DDD,DD{yx},DD{yx}.1212Iemax{2}dxdyemax{2}dxdyx2,yx2,yD1D2edxdyey2dxdy2ex2dxdyDyx對稱)(關(guān)于2xD1D2D121dxxex2dy21xex2dxee1.(選擇積分順序)2x10000六、【分析與求解】(1)易知PdxQdy原函數(shù),PdxQdy1dxyf(xy)dxxf(xy)dydy1(ydxxdy)f(xy)(ydxxdy)xyy2y2yd(x)f(xy)d(xy)d[xxyf(t)dt].0y在y0上PdxQdyu(x,y)xxyf(t)dt.原函數(shù),即y0Iy0與路徑無關(guān)積分在.,立即可得Iu(x,y)(2)因找到了原函數(shù)ca.db(c,d)(a,b)七、【證明】與書上解答略有不同,參見數(shù)三2002第七題(1)因?yàn)閮缂墧?shù)xxx9x3n36y(x)13!6!9!(3n)!的收斂域是(x),因而可在(x)上逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù),得xxx8x3n125y'(x)2!5!8!(3n1)!,數(shù)學(xué)(一)試題第頁(13)9共頁修正版xx7x3n24y''(x)x(3n2)!,4!7!xx2ny''y'y1xex(x).所以2!n!(2)與y''y'yex相應(yīng)的齊次微分方程為y''y'y0,101i.3其特征方程為2,特征根為221,23xCsin3x).xYe(Ccos因此齊次微分方程的通解為22212yAeyy''y'yex可得x,將代入方程設(shè)非齊次微分方程的特解為A1ye1x3,即有.3331xyYy,方程通解為e2(CcosxCsin2x)3ex.于是221y(0)1C1,3C23,C0.1x0當(dāng)時(shí),有y'(0)012CC1.3122312于是冪級數(shù)的和函數(shù)為2331xex(23x3nxe2cosy(x)x)(3n)!n0八、【分析與求解】(1)由梯度向量的重要性質(zhì):函數(shù)h(x,y)在點(diǎn)M處沿該點(diǎn)的梯度方向hhxy(x0,y0)0000gradh(x,y){,}{2xy,2yx}(x0,y0)的模,g(x,y)(y2x)2(x2y)2.gradh(x,y)方向?qū)?shù)取最大值即(x0,y0)000000(2)按題意,即求g(x,y)求在條件xyxy750下的最大值點(diǎn)22數(shù)學(xué)(一)試題第頁(13)10共頁修正版g2(x,y)(y2x)2(x2y)25x25y28xyxy2xy750下的最大值點(diǎn)在條件2.這是求解條件最值問題,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函數(shù)L(x,y,)5x25y28xy(x2y2xy75),xLL10x8y(2xy)0,10y8x(2yx)0,則有yLx2y2xy750.或:將①式與②式相加得(xy)(2)0.xy2.解此方程組若yx,則由③式得3x275即x5,y5.若2,由①或②均得yx,代入③式得x275即x53,y53.于是得可能的條件極值點(diǎn)M(5,5),M(5,5),M(53,53),M(53,53).1234現(xiàn)比較f(x,y)g2(x,y)5x25y28xy在這些點(diǎn)的函數(shù)值:f(M)f(M)450,f(M)f(M)150.1234M,M,M,M中取到.因此在4g2(x,y)因?yàn)閷?shí)際問題存在最大值,而最大值又只可能在123M,M1,M,M邊界上的最大值即可作為攀登的起點(diǎn).12D取到在的2九、【解】由線性無關(guān)及r(,,,)3,即矩陣知,向量組的秩1234,,2234123Ax0的秩為因此的基礎(chǔ)解A3.系中只包含一個(gè)向量.那么由12123(,,,)20112340數(shù)學(xué)(一)試題第頁(13)11共頁修正版知,Ax0的基礎(chǔ)解系是(1,2,1,0)T.1111知,(1,1,1,1)4T是Ax的一個(gè)特(,,,)A再由111234123111121Ax的通解是,kk其中為任意常數(shù).解.故1101APB,故十、【解】(1)若A,B相似,那么存在可逆矩陣P,使P1EBEP1APP1EPP1APP1(EA)PP1EAPEA.(2)令A(yù)0100,那么2,BEAEB.0000APB0.從而AP0P10,矛盾,亦可