第四章傅立葉級數(shù)C.L.Phillips,J.M.Parr,E.V.Riskin14.1週期函數(shù)之近似

(ApproximatingPeriodicFunctions)

我們考慮以時間為獨(dú)立變數(shù)的函數(shù)；例如，函數(shù)x(t),t表示時間。然而這一章中我們將導(dǎo)出，非以時間為獨(dú)立變數(shù)也成立的函數(shù)的結(jié)果。週期函數(shù)(PeriodicFunctions)

若函數(shù)週期為T，在所有的時間t中，，則為週期函數(shù)。23週期函數(shù)之近似(ApproximatingPeriodicFunctions)

考慮圖4.1之週期信號，若此函數(shù)為一穩(wěn)定LTI系統(tǒng)之輸入信號，我們可以在有適當(dāng)?shù)臏?zhǔn)確性之下，以弦波函數(shù)近似此信號，如圖4.2。5近似函數(shù)時，我們通常選擇“最佳”的弦波函數(shù)，引號中最佳的意思是，我們可以任意定義，找到最好的近似。近似圖4.2之x(t)時，我們定義近似之誤差為

一個常被用來最小化的函數(shù)為均方差(mean-squareerror)。

6函數(shù)J[e(t)]稱為代價函數(shù)(costfunction)。結(jié)果使得沒有其他的數(shù)值，會比最小化所得到的，有更小的誤差函數(shù)。利用萊布尼茲公式(Leibnitiz’srule)，並且令其結(jié)果為0

解之得到

794.2傅立葉級數(shù)(FourierSeries)已知一實(shí)數(shù)週期信號x(t)，此信號之調(diào)和級數(shù)(harmonicseries)定義為

其頻率w0稱為基本頻率或第一調(diào)和(firstharmonic)，kw0頻率稱為第k調(diào)和。上式的和稱為傅立葉級數(shù)之複指數(shù)型式(complexexponentialform)或簡稱為指數(shù)型式；Ck係數(shù)稱為傅立葉係數(shù)。10C-k等於Ck的共軛複數(shù)。係數(shù)可以表示為

對於一已知的k值，式中頻率皆為kw0的兩項(xiàng)之和為

因此，若已知係數(shù)Ck，我們便可以很容易求出結(jié)合三角型(combinedtrigonometricform)之傅立葉級數(shù)：11三種型式的傅立葉級數(shù)列於表4.2名稱方程式指數(shù)結(jié)合三角三角係數(shù)13傅立葉係數(shù)(FourierCoefficients)

基本週期為T0，積分的上下限為t1至t1+T0，其中t1為任意值。我們將T0標(biāo)示於下限的位置，上限空白表示這個積分：

C0是信號x(t)的平均值。由電路分析，此平均值也稱為DC值。14Ex4.1方波之傅立葉級數(shù)：我們現(xiàn)在計(jì)算方波的傅立葉係數(shù)。因?yàn)?/p>

4.3傅立葉級數(shù)與頻譜

15故方波之指數(shù)型式之傅立葉級數(shù)為結(jié)合三角型式之傅立葉級為轉(zhuǎn)變?yōu)槿切褪剑驗(yàn)橐虼?7頻譜(FrequencySpectra)通常，頻譜是一個圖形，表示週期信號調(diào)合各項(xiàng)的振幅與相位

圖4.5中為方波之頻譜，顯示對頻率的數(shù)量圖(數(shù)量頻譜)。因?yàn)檎穹c相位以垂直線表示，此圖形稱為線譜(linespectra)。18第二種顯示週期信號之頻率內(nèi)容的方式，為傅立葉係數(shù)Ck圖形，此圖以|Ck|與θk作為線譜，對正與負(fù)頻率同時繪圖。19指數(shù)型式之傅立葉級數(shù)為21Ex4.4列矩形脈波之頻譜

圖4.9中列矩形脈波之頻譜將被繪出，此波型常在工程中出現(xiàn)。此信號之傅立葉級數(shù)為22232526三角函數(shù)之和為週期函數(shù)，其為本身之傅立葉級數(shù)。函數(shù)x(t)第k調(diào)合之傅立葉係數(shù)，當(dāng)k夠大時，其數(shù)量至少會1/k依遞減。

一個週期函數(shù)之和的傅立葉級數(shù)，等於各函數(shù)之傅立葉級數(shù)的和。29圖4.12說明了方波的誤差。圖中顯示方波之半週(half-cycle)與(a)第一調(diào)和，(b)第一與第三調(diào)和之和，以及(c)第一至第九調(diào)和之和。很明顯，增加高階調(diào)和可以減少誤差。圖4.12也說明了吉布現(xiàn)象(Gibbsphenomenon)。當(dāng)使用比較多項(xiàng)調(diào)和，級數(shù)的波型起伏變得比較窄，然而接近不連續(xù)之處的振幅並不會趨於0，而大約是不連續(xù)處高度的9%。30性質(zhì)6以表4.3之方波與例題4.2說明，其傅立葉係數(shù)以下式計(jì)算

此方波有不連續(xù)存在，當(dāng)k趨近於無窮大，其調(diào)和趨近於1/k。314.5系統(tǒng)分析(SystemAnalysis)這一節(jié)，我們考慮一輸入為週期函數(shù)的穩(wěn)定LTI系統(tǒng)之分析。假設(shè)系統(tǒng)之輸入是週期函數(shù)，並可表示為傅立葉級數(shù)。因?yàn)槭欠€(wěn)定系統(tǒng)，自然響應(yīng)可以被忽略；只需求出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(steady-stateresponse)。我們開始考慮圖4.13之LTI系統(tǒng)，並以系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)記號：

複指數(shù)函數(shù)輸入為

32對於一週期輸入信號x(t)，我們可以將表示為指數(shù)型式的傅立葉級數(shù)。由式(4.26)，s1=jkw0，式(4.25)之系統(tǒng)的表示方式為通常Ckx與H(jkw0)為複數(shù)，因此週期函數(shù)之輸出可以表示為傅立葉級數(shù)，

H(jw)稱為系統(tǒng)頻率響應(yīng)(systemfrequencyresponse)。33輸入信號之結(jié)合三角型式的傅立葉級數(shù)為

LTI系統(tǒng)之穩(wěn)態(tài)弦波響應(yīng)表示為

由疊加原則，週期輸入信號式之穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)輸出為

34例題4.5：輸入信號為矩形波之LTI系統(tǒng)響應(yīng)

假設(shè)圖4.13之LTI系統(tǒng)，脈衝響應(yīng)與轉(zhuǎn)換函數(shù)為

假設(shè)輸入信號為圖4.15之方波，x(t)之傅立葉級數(shù)為3536現(xiàn)在，

當(dāng)k為奇數(shù)，

圖4.16中，此系統(tǒng)頻率響應(yīng)以圖形表示。37由圖4.16，低通系統(tǒng)的本質(zhì)是很明顯的，因?yàn)殪秌w0趨近於無窮大時，H(jkw0)(稱為頻率於時之增益)趨近於0。384.6傅立葉級數(shù)轉(zhuǎn)換

(FourierSeriesTransformations)振幅轉(zhuǎn)換(AmplitudeTransformation)

信號x(t)之振幅轉(zhuǎn)換為

對於傅立葉級數(shù)，B只會影響值。常數(shù)A則會影響所有的係數(shù)39其中Ckx為x(t)之傅立葉係數(shù)，Cky為y(t)之傅立葉係數(shù)。因此

時間轉(zhuǎn)換(TimeTransformations)

一般時間轉(zhuǎn)換為

其中a與b為常數(shù)。則40這裡我們只考慮兩種情形a=－1，b=0,與a=1,b=－t0。

對a=－1，b=0，我們有y(t)=x(－

t)，或時間反轉(zhuǎn)。則

為將此級數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)型式，我們將k以-k代替，得到

因?yàn)樗?1當(dāng)a=1,b=－t0時。t0>0造成時間延遲，t0