考試范圍

1-5章（每章最后兩節(jié)不做考試要求）第一章不考的內(nèi)容：用數(shù)列與函數(shù)的極限定義來證明極限存在、雙曲函數(shù)不作要求。第二章：相關(guān)變化率、微分在近似計算中的應用不作要求；復合函數(shù)求導問題不超過二階。隱函數(shù)、參數(shù)方程求導問題只要求掌握到二階。第三章：只考第一節(jié)、第三節(jié)、第四節(jié)和第五節(jié)內(nèi)容；而且柯西中值定理不作要求第四章：分部積分的遞推公式形式(P193例10不做考試要求)、需要用到三角函數(shù)積化和差等比較復雜的三角函數(shù)的積分或者含有三次及以上次數(shù)的三角積分不作要求、第四節(jié)有理函數(shù)積分只要求掌握P196例2這種類型、萬能公式變換不做要求(即P198例5、例6內(nèi)容不作要求)。

第五章：廣義積分只要求會用定義求無窮限的廣義積分，無界函數(shù)的廣義積分不作要求；定積分在物理上的應用不作要求，定積分在幾何中的應用只考平面圖形的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積(涉及極坐標的只考簡單的)，求平行截面面積已知的立體的體積以及弧長不做要求。P271的積分表不作要求，P175的積分表還是需要記住自變量趨于有限值時函數(shù)的極限(不考定義)

即注意事項：（1）定義中

x→x0的過程中,

x≠x0

成立。x0y函數(shù)極限的幾何解釋P21

（2）極限值

與函數(shù)f(x)在x0處是否有意義無關(guān)

左極限

右極限x

僅從x0

的左側(cè)趨于x0

，記作或記作或左極限與右極限P24x

僅從x0

的右側(cè)趨于x0

，沒有意義的點以及分段函數(shù)的交接點求極限的時候需要考慮左右極限的問題函數(shù)極限的性質(zhì)P24極限唯一性若且，則A=B（1）若，則，使得有有，則設(shè)局部保號性（2）若存在，使得有，則如何算極限P50數(shù)列極限的四則運算法則P28函數(shù)極限的四則運算法則P29消除零因子=1/4=1P32

如果函數(shù)

f(x)在某個極限過程中的極限為零，那么就稱f(x)是此極限過程的無窮小（量）無窮小P26

無窮小是以零為極限的函數(shù)，不是絕對值很小的固定數(shù)。但0可以作為無窮小的唯一的常數(shù)P21

無窮小與自變量的變化過程有關(guān)，如時是無窮小，但時，則不是無窮小。

同一個極限過程的兩個無窮小的和或差，仍是無窮小。無窮小的性質(zhì)P26推論：（1）有限個無窮小之和仍是無窮??；（2）常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小；（3）有限個無窮小的乘積仍是無窮小。有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。P26

如果函數(shù)f(x)在某個極限過程中，對應的函數(shù)值的絕對值可以無限增大，那么就稱f(x)是此極限過程的無窮大（量）。

只有一種趨勢包括兩種趨勢無窮大P27注意：無窮大不是很大的數(shù)，而是表示函數(shù)的絕對值可以無限增大，反映函數(shù)值的一種變化趨勢。無窮小和無窮大的關(guān)系P27

一般的在同一極限過程中，無窮小與無窮大之間是通過取倒數(shù)互相轉(zhuǎn)化。重要極限IP35公式特點：湊括號里面重要極限Ⅰ湊sin練習P355定義.或設(shè)是自變量同一變化過程中的無窮小,若則稱

是比高階的無窮小,記若則稱

是比低階的無窮小;若則稱

是的同階無窮小;若則稱

是關(guān)于的k階無窮小;若則稱

是

的等價無窮小,記作定理2.

設(shè)且存在,則

P42注：在計算兩個無窮小之比的極限過程中，可將分子或者分母的乘積因子(或者整體)替換為與其等價的無窮小，以簡化求極限過程P42熟練記住P42頁的常用等價無窮小量一、函數(shù)的連續(xù)性P44則稱函數(shù)(3)可見,函數(shù)在點連續(xù)必須具備下列條件:(2)極限存在;定義:在的某鄰域內(nèi)有定義,設(shè)函數(shù)且(1)在點即有定義

,存在;左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型P46在點連續(xù)的等價形式總結(jié)：

初等函數(shù)考慮沒有意義的那些點；

分段函數(shù)考慮沒有意義的和定義域的交接點自變量的增量函數(shù)的增量◆增量的概念P42則有一般地，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)，所以若考慮初等函數(shù)的整體連續(xù)性可以直接說在定義域內(nèi)連續(xù)，不需嚴格證明；而題目要求討論(分段)函數(shù)在某點處的連續(xù)性時必須用點連續(xù)的概念來驗證，即定理3.(介值定理P54

)設(shè)

且則對A

與B

之間的任一數(shù)C,一點使至少有推論:在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最大值之間的任何值.CxyoabB

零點存在定理P53

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號,那么，在開區(qū)間(

a,b)內(nèi)至少存在一點μ，使得o例證而第一章：極限的定義與性質(zhì)如何求極限連續(xù)的定義與判定間斷點的分類重點：如何求極限；函數(shù)在某點連續(xù)性的討論如何求間斷點以及間斷點的分類無窮小的比較和等價無窮小的靈活運用兩個重要極限連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)(證明題)(零點存在、介值定理

)◆導數(shù)定義的不同形式P71差商解答若要考慮某些參數(shù)取何值時函數(shù)可導，一般考慮點導數(shù)公式，特別是分段函數(shù)的交接點處必須用到點導數(shù)公式若題目需要考慮兩個未知參數(shù)取何值時函數(shù)可導，要結(jié)合點導數(shù)公式并且注意到可導一定連續(xù)，特別是分段函數(shù)的交接點處必須用到點導數(shù)公式◆導數(shù)的幾何意義P74MxyoT法線是過切點且與切線垂直的直線的切線方程為法線方程為◆單側(cè)導數(shù)P73

左導數(shù)

右導數(shù)函數(shù)在點x0處可導左導數(shù)和右導數(shù)都存在，并且相等。導數(shù)的本質(zhì)就是一個差商的極限例5

已知解因為所以

，從而

◆如何求導數(shù)？如果求導函數(shù)，直接用到P84頁的求導公式即可如果考慮點導數(shù)(特別分段函數(shù)交接點)時要用？函數(shù)在點x0處可導左導數(shù)和右導數(shù)都存在，并且相等?！艋緦?shù)公式P84◆函數(shù)的和差積商的求導法則P78特別推廣注：和差公式可以推廣到有限個函數(shù)的情形

P79◆反函數(shù)的求導法則P79例5

設(shè)，求

P80

記住反三角函數(shù)的求導公式即可◆復合函數(shù)的求導法則P81推廣鏈式法則◆對數(shù)求導法P92對數(shù)求導法常用于冪指函數(shù)和乘、除、乘方、開方運算等函數(shù)的求導。一般地，冪指函數(shù)的求導，可用一般公式：如

規(guī)律：每四階導數(shù)重復一次；正弦、余弦交替出現(xiàn)。例11解所以即思考：◆由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)P90注意一階導數(shù)也是

t的函數(shù)求由擺線的參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導數(shù)。P94解例16是t的函數(shù)◆隱函數(shù)的導數(shù)P90隱函數(shù)的求導方法——將方程兩邊同時對自變量x求導，把y看成x的函數(shù)隱函數(shù)的求導方法——方程二階導數(shù)就是一階導數(shù)的求導，這時候要把y看成x的函數(shù)解將方程兩邊同時對x

求導，得：將上式兩邊再對x

求導得：注意y是x的函數(shù)，且二次導數(shù)就是一次導數(shù)的導數(shù)例14第二章：導數(shù)的定義與性質(zhì)如何求導數(shù)(點導數(shù)、公式法，復合函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程對數(shù)、冪指函數(shù)、反函數(shù)(只需記住反三角函數(shù)的求導公式即可))微分的定義和求法重點：如何求導數(shù)(點導數(shù)、公式法，復合函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程對數(shù)、冪指函數(shù))，包括一階導數(shù)與二階導數(shù)在某點處的可導性以及連續(xù)性的討論◆羅爾定理(2)

在開區(qū)間內(nèi)可導；則在內(nèi)至少存在一點，使

(1)

在閉區(qū)間上連續(xù)(3)

若函數(shù)滿足：推論1：如果函數(shù)f(x)在(a,b)上的導數(shù)恒為零，那么f(x)在(a,b)上是一個常數(shù)P119推論2：如果函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)在(a,b)內(nèi)每一點處的導數(shù)都相等，那么這兩個函數(shù)在(a,b)內(nèi)最多相差一個常數(shù)P119構(gòu)造有關(guān)的函數(shù)確定應用區(qū)間應用Lagrange定理計算導數(shù)后的等式轉(zhuǎn)化為不等式例4解所以所以解題思路：例3

證明證明令而所以而所以◆洛必達法則P129若不存在也不是無窮大，則不能使用洛必達法則（3）形如的未定式

解題方法：將未定式先取自然對數(shù)、變形，再按情形（1）處理◆其它形式的未定式的定值P131例2

求極限解這是型的未定式，且當時，所以，原式適當使用等價無窮小替換，再使用洛必達法則，可簡化極限運算，P133。解令例7

求極限則所以所以◆函數(shù)單調(diào)性的判別定理P135（1）如果函數(shù)在內(nèi)有，則函數(shù)在上是嚴格單調(diào)遞增的(P7)。（2）如果函數(shù)在內(nèi)有，則函數(shù)在上是嚴格單調(diào)遞減的(P7)。設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，則P135的注2小結(jié)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般方法：（1）求函數(shù)的一階導數(shù)；（2）找出所有的駐點及一階導數(shù)不存在的點(P115)；（3）判斷所有駐點及一階導數(shù)不存在的點左右兩邊的符號；（4）根據(jù)單調(diào)性的判別定理，確定單調(diào)區(qū)間。則，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少。(一般函數(shù)時候可以考慮特殊值法)◆極值存在的第一充分條件P142設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)可導（點可除外）則在點處取得極大值；則在點處取得極小值；則在點處無極值；小結(jié)：求函數(shù)的極值點的一般方法：（1）求函數(shù)的一階導數(shù)；（2）找出所有的駐點及一階導數(shù)不存在的點(P115)；（3）判斷所有駐點及一階導數(shù)不存在的點左右兩邊的符號；（4）根據(jù)第一充分條件的判別定理，確定極值點。函數(shù)的極值可疑點是駐點或?qū)?shù)不存在的點?！魳O值存在的第二充分條件P144

注意：第二充分條件只能用于判斷駐點是否為極值點，不能判斷不可導點是否為極值點；一般若函數(shù)的二階導數(shù)較易求，且二階導數(shù)不為零時，使用第二充分條件判別極值較易；而二導數(shù)為零的點，就需要用到其他方法求函數(shù)最值的一般步驟與方法P145（1）求函數(shù)的導數(shù)；（2）在給定區(qū)間（或定義域）內(nèi)找出所有的駐點及

一階導數(shù)不存在的點；（3）計算函數(shù)在上述點處的函數(shù)值，以及在端點處的函數(shù)值，并比較其大小，其中最大者即為函數(shù)在區(qū)間上的最大值；最小者即為函數(shù)在區(qū)間上的最小值?！舭纪够〉呐袆e定理P139定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有二階導數(shù)，在該區(qū)間上：（1）當時，曲線弧是凹的；（2）當時，曲線弧是凸的。注:P139拐點是點的坐標；駐點、極大值點、極小值點以及最值點都是指x的取值

第三章：主要介紹導數(shù)的應用：包括兩個中值定理；洛必達法則單調(diào)性；極值點；凹凸性的討論重點：中值定理或者函數(shù)單調(diào)性證明不等式或者根的存在性或者某個函數(shù)在某個內(nèi)是一個常數(shù),極值；凹凸性；最值；洛必達法則求極限定義2.在區(qū)間

I上全體原函數(shù)稱為上的不定積分,其中P173若則(C為任意常數(shù)

)C

稱為積分常數(shù)不可丟!例如,記作三、不定積分的性質(zhì)P175先積分，后微分，形式不變；先微分，后積分，相差一個常數(shù)。（是常數(shù)）有限多個函數(shù)和差的積分等于積分的和差◆不定積分的計算方法

直接積分法、換元積分法、分部積分法第一類換元積分法第二類換元積分法P1782，3

◆第一換元法P179◆第二換元法P184注：單調(diào)、可導，且湊微分

一般地：第二類換元法主要是利用三角關(guān)系式P184化根式為三角函數(shù)的有理式，再積分。則對于令(1)下面，均假設(shè)為各對應反三角函數(shù)的主值區(qū)間。則則對于對于令令(2)(3)P18931,30

解令

則P185

求不定積分原式輔助三角形P199

求不定積分解

則令原式直接令根式為u，化根式為有理式◆一般規(guī)律令冪函數(shù)為令冪函數(shù)為兩次使用分部積分公式，返回到原積分，變形，得解

注意：第一次使用分部積分公式時，u與dv可任選，但第二次使用分部積分公式時，u與dv的選擇，必須與第一次的選擇同類。令指數(shù)函數(shù)為拆成部分分式之和將真分式分解為部分分式之和．P195上面等式兩邊乘以，則故P196.

求解:

原式第四章：不定積分的定義和性質(zhì)如何求不定積分P175和P187的積分公式表重點：如何求不定積分三、定積分的幾何意義

P215曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負值各部分面積的代數(shù)和若是奇函數(shù)，則若是偶函數(shù)，則a-a◆定積分的幾何意義P228-aa補充規(guī)定：◆定積分的基本性質(zhì)P216若a>b時，◆定積分的基本性質(zhì)P216(5).

若在[a,b]上則推論1.

若在

[a,b]

上則推論2.其中是的最小值，是的最大值。設(shè)在上連續(xù)，則在上至少有一點使（定積分之中值定理）◆定積分的基本性質(zhì)P217特別地一般地P221

例4.

求解:原式例1.

求解:設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，是它的任意一個原函數(shù)，則有◆微積分基本公式——牛頓—萊布尼茲公式P223記作定積分的換元法要注意以下幾點：P227例

定積分的換元法P228換元必須換限解原式定積分的分部積分法小結(jié)

P231

1、u與dv的選擇規(guī)律，與不定積分的規(guī)律完全相同；2、不同之處，僅在于：定積分的計算需要計算原函數(shù)的函數(shù)值之差。例

定積分的分部積分法P231已積出的部分要求值解原式◆無窮區(qū)間上的廣義積分假設(shè)被積函數(shù)f(x)是連續(xù)函數(shù)，則有如下定義：注意：和都存在時，

才存在。解當時，當時，若,則廣義積分發(fā)散；若,則廣義積分收斂于的斂散性。P237例2例2

討論廣義積分

綜上所述：當時，廣義積分發(fā)散；當時，廣義積分收斂?！糁苯亲鴺讼迪碌钠矫鎴D形的面積

P2411、由x=a，x=b,y=0

及

y=f(x)

所圍成的平面圖形的面積為2、由x=