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文檔簡介
1其中:介于與之間1.按的冪展開的n階泰勒公式.2.麥克勞林公式請(qǐng)記住以下兩個(gè)公式:21.函數(shù)單調(diào)性判別2.曲線凹凸的判別定理2:3.拐點(diǎn)的定義:注:拐點(diǎn)是曲線上的點(diǎn),是一對(duì)有序的實(shí)數(shù).溫故知新在I
上單調(diào)遞增在I
上單調(diào)遞減定理1:3①求的連續(xù)區(qū)間,②求③求導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),④用以上的點(diǎn)分割定義區(qū)間,列表判斷.4.求的單調(diào)區(qū)間(判斷單調(diào)性)的步驟:化為積商,單調(diào)性的應(yīng)用有:(1)可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù).(2)證明不等式.求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間;求出求的根及不存在的根;列表判斷5.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的步驟如下:凹凸性的應(yīng)用有:(1)證明不等式,(2)求拐點(diǎn).4說明1:說明2:說明3:求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間;求出求的根及不存在的根;列表判斷說明4:求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的步驟如下:5證:求拐點(diǎn)方法2:P154T15求拐點(diǎn)方法1:6例解:★曲線的彎曲方向——凹凸性;★改變彎曲方向的點(diǎn)——拐點(diǎn);凹凸性的判定.求拐點(diǎn)7二、最大值與最小值問題一、函數(shù)的極值及其求法第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值
第三章8定義:(1)(2)極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).問:極值點(diǎn)是連續(xù)點(diǎn)嗎?一、函數(shù)的極值及其求法xyo.。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.9注意:極值與最值的區(qū)別:是對(duì)整個(gè)區(qū)間而言,絕對(duì)的、極值:最值:是對(duì)某個(gè)點(diǎn)的鄰域而言、可以不是唯一的.③極大值不一定都大于極小值.如何求極值?觀察圖形知:可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是零.是整體的、唯一的.是局部的、相對(duì)的、②最值可在區(qū)間端點(diǎn)處取得,而極值只能在區(qū)間的內(nèi)點(diǎn)處取得.10定理1(必要條件)(費(fèi)馬定理)取得極值注意:1)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)駐點(diǎn)如:即:{可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)}{駐點(diǎn)}2)在點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo),也可能是極值點(diǎn).如:卻是極小值點(diǎn).也不是極值點(diǎn).3)極值點(diǎn)的可疑點(diǎn):(在定義域內(nèi)部的)駐點(diǎn),不可導(dǎo)點(diǎn).即:{極值點(diǎn)}{駐點(diǎn),不可導(dǎo)點(diǎn)}問:如何能快速的說明一個(gè)函數(shù)有沒有極值?xyo11定理2
(第一充分條件,極值第一判別法)內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,(3)“左右符號(hào)相同”,左正右負(fù)極大左負(fù)右正極小左右同號(hào)無極值12說明:1)定理中的條件若不連續(xù),即使變號(hào),也未必是極值點(diǎn).2)該定理適用于是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)的連續(xù)點(diǎn).xyo.。很重要,3)求極值的步驟:(1)求定義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù)(2)求駐點(diǎn)以及不可導(dǎo)的點(diǎn);(3)檢查在駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)左右的符號(hào),判斷出極值點(diǎn);(最好列表)(4)求極值.13解:例1.求函數(shù)的極值.極大值不可導(dǎo)故極大值為:極小值為:極小值14例2.
求函數(shù)的極值.解:1)2)令得3)列表判別是極大點(diǎn),其極大值為是極小點(diǎn),其極小值為無導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)15定理3(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且證:同理可證(2).由第一判別法知:注意:1.第二充分條件適用于:駐點(diǎn)應(yīng)用第一判別法判別.16例3.
求函數(shù)解:1)2)令得3)計(jì)算是極大點(diǎn),其極大值為是極小點(diǎn),其極小值為17例4.
求函數(shù)解:1)求定義域及導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別故需用第一判別法判別.18試問為何值時(shí),極值?解:
由題意應(yīng)有又取得極大值為例5.并求此極值.它是極大值還是極小值?練習(xí):提示:P163T319觀察:端點(diǎn)的函數(shù)值;駐點(diǎn)的函數(shù)值;不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值.來自于二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值的求法★(2)20例1.
求函數(shù)解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)3)計(jì)算是最大點(diǎn),其最大值為是最小點(diǎn),其最小值為21例2.
求函數(shù)解:
顯然且故函數(shù)在取最小值0;取最大值20.不可導(dǎo)點(diǎn)為說明:與最值點(diǎn)相同,因此也由于令可通過求最值點(diǎn).思考:22結(jié)論:思考:23★特別:
當(dāng)大(小)值就是最大(小)值.常用于解決實(shí)際問題
求
如果在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)極值點(diǎn),則這個(gè)極xyoabxyabo
對(duì)應(yīng)用問題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).24例1.
某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當(dāng)租金定為每月180元時(shí),公寓會(huì)全部租出去.當(dāng)租金每月增加10元時(shí),就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi).試問房租定為多少可獲得最大收入?解:設(shè)房租為每月每月總收入為租出去的房子有(唯一駐點(diǎn))故每月每套租金為350元時(shí)收入最高.最大收入為三、應(yīng)用舉例25實(shí)際問題求最值的步驟:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;注:對(duì)于實(shí)際問題,大(小)值一定存在,那么可以不必討論是否為極值,就可斷定該點(diǎn)就是若在一定區(qū)間內(nèi)有唯一駐點(diǎn),且知最而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得,最大(小)值點(diǎn).26例2.解:如圖,27例3.求數(shù)列的最大項(xiàng).證:求導(dǎo)得列表判別:因此在處也取最大值.又因內(nèi)只有唯一的極大點(diǎn)P183T1428內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn)x.(2)第一充分條件(3)第二充分條件292.連續(xù)函數(shù)的最值★(2)★特別:
當(dāng)大(小)值就是最大(小)值.常用于解決實(shí)際問題
求
如果在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)極值點(diǎn),則這
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