第八章非線性控制系統(tǒng)分析8.1非線性控制系統(tǒng)概述8.2常見非線性特性及其對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響8.3相平面法8.4描述函數(shù)法非線性現(xiàn)象的普遍性非線性是宇宙間的普遍規(guī)律非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式多樣，種類繁多線性系統(tǒng)只是在特定條件下的近似描述典型非線性特性

一、研究非線性控制理論的意義8.1非線性控制系統(tǒng)概述繼電特性飽和死區(qū)(不靈敏區(qū))間隙1、不能應(yīng)用疊加原理非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的根本區(qū)別：非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征與輸入幅值、系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)，通常是在典型輸入函數(shù)和零值初始條件下進(jìn)行研究，但非線性系統(tǒng)不能這樣進(jìn)行研究。二、非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的特殊性2、穩(wěn)定性分析復(fù)雜線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，而與外部作用和初始條件無關(guān)。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性：與系統(tǒng)的參數(shù)與結(jié)構(gòu)、運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài)、輸入信號(hào)有直接關(guān)系。非線性系統(tǒng)的某些平衡狀態(tài)(如果不止有一個(gè)平衡狀態(tài)的話)可能是穩(wěn)定的，而另外一些平衡狀態(tài)卻可能是不穩(wěn)定的。時(shí)間響應(yīng)曲線平衡狀態(tài)：x=0x=1平衡狀態(tài)：變量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)全為零的狀態(tài)。3、可能存在自振蕩現(xiàn)象非線性系統(tǒng)在沒有外界周期信號(hào)的激勵(lì)下，能以固有的振幅和固有的頻率產(chǎn)生穩(wěn)定的振蕩，即所謂的自振蕩（自持振蕩）。在控制系統(tǒng)中，自激振蕩會(huì)造成機(jī)械磨損、能量消耗、并帶來控制誤差等，自激振蕩是要設(shè)法抑制的。自振蕩是非線性系統(tǒng)分析中的重要的內(nèi)容之一。4、頻率響應(yīng)發(fā)生畸變非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了含有與輸入同頻率的正弦信號(hào)分量(基波分量)外，還含有關(guān)于ω的高次諧波分量。使輸出波形發(fā)生非線性畸變。三、非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法1.相平面法--基于時(shí)域分析的圖解法通過在相平面上繪制相軌跡曲線，確定非線性微分方程在不同初始條件下解的運(yùn)動(dòng)形式。相平面法僅適用于一階和二階系統(tǒng)。2.描述函數(shù)法—基于頻域的等效線性化方法通過諧波線性化，將非線性特性近似表示為復(fù)變?cè)鲆姝h(huán)節(jié)，然后推廣應(yīng)用頻率法，分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性或自激振蕩。3.逆系統(tǒng)法運(yùn)用內(nèi)環(huán)非線性反饋控制，構(gòu)成偽線性系統(tǒng)，并以此為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)外環(huán)控制網(wǎng)絡(luò)。該方法應(yīng)用數(shù)學(xué)工具直接研究非線性控制問題，不必求解非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，是非線性系統(tǒng)控制研究的發(fā)展方向。4、小范圍線性近似法

在平衡點(diǎn)近似線性化方法，通過在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行泰勒展開，可將非線性微分方程化為線性微分方程，然后按線性系統(tǒng)的理論進(jìn)行處理。該方法局限于小區(qū)域研究。5、逐段線性近似法

將非線性系統(tǒng)近似為幾個(gè)線性區(qū)域，在每個(gè)區(qū)域用相應(yīng)的線性微分方程描述，將各段的解合在一起即可得到系統(tǒng)的全解。8.2常見非線性特性及其對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響一、非線性系統(tǒng)等效增益系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系（穩(wěn)態(tài)）：等效增益：線性系統(tǒng)：k為常數(shù)。非線性系統(tǒng)：k變化一）、飽和特性xya-a斜率k0對(duì)系統(tǒng)的影響：使系統(tǒng)開環(huán)增益下降，對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性有利；使系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度下降。二、常見非線性二）、死區(qū)特性△-△0斜率kxy對(duì)系統(tǒng)的影響：使系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差；當(dāng)系統(tǒng)輸入端存在小擾動(dòng)信號(hào)時(shí)，在系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)值附近，死區(qū)的作用可減小擾動(dòng)信號(hào)的影響。三）、間隙特性對(duì)系統(tǒng)的影響：增大系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，使過渡過程振蕩加劇，甚至造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定。一般來說，間隙特性對(duì)系統(tǒng)總是有害的，應(yīng)該消除或消弱它的影響。0yxh-h斜率kc-c四）、繼電特性0-MMyx對(duì)系統(tǒng)的影響：可能會(huì)產(chǎn)生自激振蕩，使系統(tǒng)不穩(wěn)定或穩(wěn)態(tài)誤差增大；如選得合適可能提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。理想繼電氣特性其他繼電特性0yx-MM-hh滯環(huán)+繼電0yx-MM-△△死區(qū)+繼電0yx-MM-△△死區(qū)+間隙+繼電三、非線性對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)影響

當(dāng)e很小→等效增益k=M/e很大kK根跡增益很大特征根s1、2=-1±j∞則出現(xiàn)高頻小幅值震蕩8.3相平面法

相平面法由龐加萊1885年首先提出，是一種求解一、二階常微分方程的圖解法。其實(shí)質(zhì)是將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程形象地轉(zhuǎn)化為相平面上一個(gè)點(diǎn)的移動(dòng)，通過研究這個(gè)點(diǎn)的移動(dòng)軌跡，就可獲得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的全部信息。相平面法可以用來分析一、二階線性或非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡位置、時(shí)間響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)精度及初始條件和參數(shù)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響。相平面法繪制步驟簡(jiǎn)單、計(jì)算量小，特別適用于分析常見非線性特性和一階、二階線性環(huán)節(jié)組合而成的非線性系統(tǒng)。一、相平面基本概念下圖為二階線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖描述系統(tǒng)誤差的微分方程為K1/s1/(Ts+1)誤差信號(hào)的拉氏變換為若輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)，則當(dāng)t≥0時(shí)，有解這個(gè)微分方程可以確定和若以為坐標(biāo)軸，作二維狀態(tài)平面，這個(gè)平面成為相平面。這兩個(gè)變量稱為相變量。那么對(duì)應(yīng)于相平面上的一個(gè)點(diǎn)。系統(tǒng)的每一狀態(tài)(即“相”)均對(duì)應(yīng)于相平面上的一點(diǎn)，將每一時(shí)刻的的值構(gòu)成的點(diǎn)都繪在相平面上，并按時(shí)間的先后連接起來，就得到這個(gè)系統(tǒng)的變化軌跡線，稱為相軌跡。用箭頭表示時(shí)間增大的方向。相平面和相軌跡簇組成了相平面圖可以直觀地表明一階或二階系統(tǒng)在各種初始條件下的運(yùn)動(dòng)過程一般的二階系統(tǒng)均可表示為改寫成若取為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，則是相軌跡的斜率，相軌跡上任何一點(diǎn)都滿足這個(gè)方程。若令(常數(shù))則有:稱其為等傾線方程根據(jù)等傾線：相平面上的一條曲線，當(dāng)相軌跡與該線任意一點(diǎn)相交，則切線斜率相同。二相平面圖的繪制方法1、解析法例8－1試?yán)L制單位質(zhì)量自由落體運(yùn)動(dòng)的相平面圖解析法適用于由較簡(jiǎn)單的微分方程描述的系統(tǒng)解以地面為參考零點(diǎn)，向上為正，x為位移，則有又所以等式兩端積分，有整理后得通過相平面圖可以分析物體的運(yùn)動(dòng)情況整理后得例8－2

二階系統(tǒng)的微分方程為解根據(jù)題設(shè)可寫成等式兩端積分，有整理后得試?yán)L制系統(tǒng)的相平面圖這時(shí)有自振蕩結(jié)論：1、在上半平面，系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡曲線運(yùn)動(dòng)的方向是x增大的方向，即向右移動(dòng)；在下半平面向左移動(dòng)2、同時(shí)滿足和的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)

3、自持振蕩的相軌跡是封閉曲線4、相軌跡通常與x軸垂直相交2、等傾法任何一條曲線都可以用有限段足夠短的直線來逼近，那么通過等傾線法就可以繪制出系統(tǒng)的相平面圖。等傾線是指相平面上相軌跡斜率相等的諸點(diǎn)的連線。即則與該曲線相交的任何相軌跡在交點(diǎn)處的切線斜率均為k，該曲線稱為等傾線。設(shè)斜率為k，則有等傾線斜率注1：線性系統(tǒng)的等傾線為直線；注2：非線性系統(tǒng)的等傾線為曲線或折線。題設(shè)可改寫成為例8－2

繪制下面系統(tǒng)的相軌跡解根據(jù)整理后得到相軌跡的等傾線方程為若令ξ=0.5，ω=1，則有K-1-1.2-1.4-4-∞∞52.50.330tg-1K13513012510490tg-1907968180k是相軌跡切線的斜率-1/(1+k)是等傾線的斜率等傾線為直線令即題設(shè)可改寫成為例8－3繪制下面系統(tǒng)的相軌跡解根據(jù)整理后得到相軌跡的等傾線方程為等傾線為曲線解：例8-4:用等傾線法繪制的相軌跡。當(dāng)以(x0,0)為初始條件時(shí)，是一個(gè)圓。a=-∞…，-2，-1，-0.5，0，0.5…∞時(shí)畫等傾線注意事項(xiàng)(4)等傾線分布越密，相軌跡越準(zhǔn)確。(3)（非平衡點(diǎn)）相軌跡與x軸垂直相交；(2)上半平面，故x的走向應(yīng)沿x的增加的方向由左向右，下半平面反之；(1)坐標(biāo)軸x和

比例尺相同；作業(yè)：8-1（1）、2內(nèi)容概要1、非線性系統(tǒng)的特征。

1）不能應(yīng)用疊加原理

2）穩(wěn)定性分析復(fù)雜

3）可能存在自震蕩

4）頻率特性發(fā)生畸變2、等效增益及常見非線性

1）等效增益變化

2）飽和、繼電、間隙、死區(qū)等3、相平面分析方法

1）若以

x和x的導(dǎo)數(shù)為坐標(biāo)軸，作二維狀態(tài)平面，這個(gè)平面稱為相平面。這兩個(gè)變量稱為相變量。2）解析法3）等傾線法線性：等傾線為直線非線性：曲線

K為相軌跡的斜率。4、相平面相軌跡注意事項(xiàng)：注意事項(xiàng)(4)等傾線分布越密，相軌跡越準(zhǔn)確。(3)（非平衡點(diǎn)）相軌跡與x軸垂直相交；(2)上半平面，故x的走向應(yīng)沿x的增加的方向由左向右，下半平面反之；(1)坐標(biāo)軸x和

比例尺相同；三、線性系統(tǒng)的相軌跡

1.線性一階系統(tǒng)的相軌跡微分方程：相軌跡方程：設(shè)系統(tǒng)初始條件為c(0)=c02.線性二階系統(tǒng)的相軌跡微分方程：特征根：相軌跡微分方程：等傾線方程：討論二階線性系統(tǒng)的相軌跡1.b<0時(shí)2.b=0時(shí)3.b>0時(shí)(1)0<z<1s1s2--具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根(2)z=0s1s2--互異負(fù)實(shí)根(3)z=1s1s2--相等負(fù)實(shí)根(4)z>1s1s2--一對(duì)純虛根(5)-1<z<0s1s2--具有正實(shí)部的共軛復(fù)根(6)z≤-1s1s2--兩個(gè)正實(shí)根四、奇點(diǎn)和奇線1.奇點(diǎn)--同時(shí)滿足和的點(diǎn)。奇點(diǎn)一定位于相平面的橫軸上；相軌跡在奇點(diǎn)處切線斜率不定，表明系統(tǒng)在奇點(diǎn)處可以按任意方向趨近或離開奇點(diǎn)，因此相軌跡族曲線在奇點(diǎn)處發(fā)生相交；經(jīng)過奇點(diǎn)的相軌跡有多條，而經(jīng)過普通點(diǎn)的相軌跡只有一條；不同時(shí)滿足和的點(diǎn)，稱普通點(diǎn)。在奇點(diǎn)處，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的速度和加速度同時(shí)為零，對(duì)二階系統(tǒng)而言，系統(tǒng)不再發(fā)生運(yùn)動(dòng)，處于平衡狀態(tài)，因此相平面上的奇點(diǎn)也稱為平衡點(diǎn)。奇點(diǎn)(0,0)的類型焦點(diǎn)系統(tǒng)特征根是具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根時(shí)，奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)；系統(tǒng)特征根是具有正實(shí)部的共軛復(fù)根時(shí)，奇點(diǎn)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)特征根是具有負(fù)實(shí)根時(shí)，奇點(diǎn)為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)；系統(tǒng)特征根是具有正實(shí)根時(shí)，奇點(diǎn)為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。鞍點(diǎn)系統(tǒng)特征根是具有一正一負(fù)實(shí)根時(shí)，奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)。中心點(diǎn)系統(tǒng)具有兩個(gè)共軛純虛數(shù)根，奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)。j0j0j0穩(wěn)定焦點(diǎn)中心點(diǎn)不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)鞍點(diǎn)j0λ2λ1j0λ1λ2二階系統(tǒng)奇點(diǎn)(0,0)的類型λ1j0λ2節(jié)點(diǎn)非線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)類型奇點(diǎn)附近關(guān)于△x的線性二階微分方程：

將

在奇點(diǎn)處展開成泰勒級(jí)數(shù)，略去高次項(xiàng)。求解上式特征根，從而判斷奇點(diǎn)類型。

線性系統(tǒng)只有一個(gè)平衡狀態(tài)，因此，只有一個(gè)奇點(diǎn)。對(duì)零輸入的線性二階系統(tǒng)而言，奇點(diǎn)位于相平面的坐標(biāo)原點(diǎn)。只要知道奇點(diǎn)的位置和類型，奇點(diǎn)附近的相軌跡的形狀就確定了，運(yùn)動(dòng)規(guī)律也就知道了。

非線性二階系統(tǒng)可能具有多個(gè)平衡狀態(tài)，也就有多個(gè)奇點(diǎn)。2.奇線--將相平面劃分為具有不同運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)的多個(gè)區(qū)域的特殊相軌跡。

非線性系統(tǒng)有一個(gè)與線性系統(tǒng)的完全不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即自持振蕩，那么，在相平面上則表現(xiàn)為一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)

極限環(huán)分為穩(wěn)定極限環(huán)、不穩(wěn)定極限環(huán)和半穩(wěn)定極限環(huán)三種類型。

極限環(huán)是一條封閉的相軌跡，它附近的相軌跡都漸進(jìn)地趨向它或從它離開。

極限環(huán)是非線性系統(tǒng)的特有的現(xiàn)象，只發(fā)生在非守恒系統(tǒng)中，這種運(yùn)動(dòng)是由非線性特性，導(dǎo)致系統(tǒng)的能量交替變化。它與無阻尼線性二階系統(tǒng)的等幅振蕩是不同的。穩(wěn)定極限環(huán)

如果起始于極限環(huán)鄰近范圍的內(nèi)部或外部的相軌跡都漸進(jìn)地趨向于這個(gè)極限環(huán)，任何較小的擾動(dòng)使系統(tǒng)離開極限環(huán)后，最終相軌跡仍回到這個(gè)環(huán)上，這樣的極限環(huán)稱為穩(wěn)定的極限環(huán)。系統(tǒng)沿極限環(huán)的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為自持振蕩。不穩(wěn)定極限環(huán)

如果起始于極限環(huán)鄰近范圍的內(nèi)部或外部的相軌跡都從極限環(huán)發(fā)散出去，任何較小的擾動(dòng)使系統(tǒng)離開極限環(huán)后，系統(tǒng)的狀態(tài)將遠(yuǎn)離極限環(huán)或趨向平衡點(diǎn)，這樣的極限環(huán)稱為不穩(wěn)定的極限環(huán)。半穩(wěn)定極限環(huán)

如果由極限環(huán)內(nèi)部起始的相軌跡從極限環(huán)發(fā)散出去，由外部起始的相軌跡漸進(jìn)地趨向極限環(huán)；或者由內(nèi)部起始的相軌跡漸進(jìn)趨向極限環(huán)，由外部起始的相軌跡從極限環(huán)發(fā)散出去，這樣的極限環(huán)稱為半穩(wěn)定的極限環(huán)。

這種極限環(huán)不會(huì)產(chǎn)生自持振蕩，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)最終會(huì)趨向于極限環(huán)內(nèi)的奇點(diǎn)或遠(yuǎn)離一個(gè)或數(shù)個(gè)極限環(huán)。例8-5:已知非線性系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的奇點(diǎn)，并繪制系統(tǒng)的相平面圖。解：系統(tǒng)相軌跡微分方程：奇點(diǎn)(0,0)處系統(tǒng)在奇點(diǎn)(0,0)處有一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，故奇點(diǎn)(0,0)為穩(wěn)定的焦點(diǎn)。奇點(diǎn)(-2,0)處系統(tǒng)在奇點(diǎn)(-2,0)處有一正一負(fù)二個(gè)實(shí)根，故奇點(diǎn)(-2,0)為鞍點(diǎn)。實(shí)線為分隔線，虛線為相軌跡

由以上兩種奇點(diǎn)類型的相平面圖結(jié)合起來，可以畫出系統(tǒng)相平面圖的大致形狀，如下圖所示。非線性系統(tǒng)的相平面圖五、非線性系統(tǒng)的相平面分析相平面中的每一條相軌跡由結(jié)構(gòu)參數(shù)和初始條件確定。相平面中的每一條相軌跡是否連續(xù)？系統(tǒng)運(yùn)行位移、速度不可能突變，相平面中的每一條相軌跡必定連續(xù)！非線性相軌跡如何分析？系統(tǒng)有非線性部分和線性部分組成。若僅線性則相軌跡易畫。非線性的特點(diǎn)：分段線性。又根據(jù)相軌跡連續(xù)，不同的線性畫出，然后連接即可。方法：用幾條分界線將相平面分為幾個(gè)線性區(qū)域；按各段的微分方程畫出各區(qū)域的相軌跡；將各區(qū)域的相軌跡連成實(shí)的連續(xù)曲線。1.具有死區(qū)特性的非線性控制系統(tǒng)例8-6系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，輸入r(t)=R.1(t)，試?yán)L制偏差

e

的相平面圖。系統(tǒng)微分方程：給定參數(shù)：T=1，Kk=1在I區(qū)：穩(wěn)定焦點(diǎn)相軌跡為向心螺旋線

(z=0.5)在II區(qū)：在III區(qū)：穩(wěn)定焦點(diǎn)相軌跡沿直線收斂相軌跡為向心螺旋線

(z=0.5)

根據(jù)區(qū)域奇點(diǎn)類型及對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)形式，作相軌跡如下圖實(shí)線所示。

例8-7已知：T=1,K=4,e0=M0=0.2，若系統(tǒng)開始處于零初始狀態(tài)，試做出r(t)=R.1(t)時(shí)系統(tǒng)的相平面圖。2.具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)解：根據(jù)結(jié)構(gòu)圖，有：在I區(qū)：等傾線方程：等傾線為一簇水平線，斜率為a。漸近線(a=0)：在III區(qū)：等傾線方程：同理有漸近線(a=0)：在II區(qū)：將數(shù)據(jù)代入：特征根：奇點(diǎn)(原點(diǎn))為穩(wěn)定焦點(diǎn)

根據(jù)區(qū)域奇點(diǎn)類型及對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)形式，作相軌跡如下圖所示。作業(yè)：8-3（1）（4）

8-6內(nèi)容概要1、一階、二階線性系統(tǒng)相軌跡。特征根與相軌跡圖形。2、奇點(diǎn)及奇線。奇點(diǎn)的類型：焦點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)、中心點(diǎn)、鞍點(diǎn)。極限環(huán)：穩(wěn)定、不穩(wěn)定、半穩(wěn)定。3、非線性系統(tǒng)奇點(diǎn)的類型：平衡點(diǎn)求法。平衡點(diǎn)線性化。按線性系統(tǒng)分析其平衡點(diǎn)。4、非線性系統(tǒng)相軌跡。方法：用幾條分界線將相平面分為幾個(gè)線性區(qū)域；按各段的微分方程畫出各區(qū)域的相軌跡；將各區(qū)域的相軌跡連成實(shí)的連續(xù)曲線。8.4描述函數(shù)法引言：對(duì)于線性系統(tǒng),當(dāng)輸入是正弦信號(hào)時(shí),輸出穩(wěn)定后是相同頻率的正弦信號(hào),其幅值和相位隨著頻率的變化而變化,這就是利用頻率特性分析系統(tǒng)的頻域法的基礎(chǔ)。對(duì)于非線性系統(tǒng),當(dāng)輸入是正弦信號(hào)時(shí),輸出穩(wěn)定后通常不是正弦的,而是與輸入同頻率的周期非正弦信號(hào),它可以分解成一系列正弦波的疊加,其基波頻率與輸入正弦信號(hào)的頻率相同。G(s)非線性環(huán)節(jié)X(t)設(shè)非線性環(huán)節(jié)的正弦輸入為x(t)=Xsinωt,則輸出為設(shè)非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示式中：令n＝1,2,…。

由于系統(tǒng)通常具有低通濾波特性,其他諧波各項(xiàng)比基波小,所以可以用基波分量近似系統(tǒng)的輸出。假定非線性環(huán)節(jié)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

則輸出的直流分量等于零,即A0＝0,則：

y(t)=A1cosωt+B1sinωt=Y1sin(ωt+φ1)1、定義：非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為非線性環(huán)節(jié)輸出的基波與輸入信號(hào)二者的復(fù)數(shù)符號(hào)的比值,即

式中,

N為描述函數(shù),A是正弦輸入信號(hào)的幅值,Y1是輸出信號(hào)基波的幅值,φ1為輸出信號(hào)基波與輸入信號(hào)的相位差。一、描述函數(shù)的基本概念

如果非線性環(huán)節(jié)中不包含儲(chǔ)能機(jī)構(gòu)(即非記憶),即N的特性可以用代數(shù)方程(而不是微分方程)描述,則y(t)與頻率無關(guān)。描述函數(shù)只是輸入信號(hào)幅值A(chǔ)的函數(shù),即N＝N(A),

而與ω?zé)o關(guān)。例8-8：設(shè)繼電特性為計(jì)算該非線性特性的描述函數(shù)。解：M-M非線性特性為輸入

x的奇函數(shù)時(shí)：

y(t)為奇函數(shù)，且又為半周期對(duì)稱時(shí)：非線性特性為輸入x

的奇函數(shù)時(shí)：例8-9:設(shè)某非線性元件的特性為試計(jì)算其描述函數(shù)。解：Qy(x)為x的奇函數(shù)

Qy(t)為奇函數(shù)，且又為半周期對(duì)稱時(shí)由定積分公式得：2、非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法分析的應(yīng)用條件(1)非線性系統(tǒng)應(yīng)簡(jiǎn)化一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)線性部分閉環(huán)連接的典型結(jié)構(gòu)形式；-x(t)非線性部分Ny(t)c(t)r(t)線性部分G(s)(2)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性應(yīng)為：y(x)是x

的奇函數(shù)，即f(x)=-f(x)，或正弦輸入下的輸出為t的奇對(duì)稱函數(shù)，即y(t+p/w)=-y(t)，以保證非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)不含有常值分量，即A0=0；(3)系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的低通濾波性能。P4378-12設(shè)三個(gè)非線性系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)一樣，其線性部分傳遞函數(shù)如下列各式，用描述函數(shù)法分析系統(tǒng)時(shí)，哪個(gè)系統(tǒng)分析的準(zhǔn)確度高？120.111010020400.673顯然（2）具有更好的低通濾波特性，所以系統(tǒng)分析的準(zhǔn)確度更好。哪個(gè)低通特性好？3、描述函數(shù)的物理意義

非線性環(huán)節(jié)僅考慮基波分量，非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)表現(xiàn)為復(fù)數(shù)增益的放大器。注意：描述函數(shù)表現(xiàn)為關(guān)于輸入正弦信號(hào)的幅值A(chǔ)的復(fù)變?cè)鲆娣糯笃?，這正是非線性環(huán)節(jié)的的近似頻率特性與線性系統(tǒng)頻率特性的本質(zhì)區(qū)別。二、典型非線性特性的描述函數(shù)非線性元件的描述函數(shù)計(jì)算步驟：1.設(shè)非線性元件的輸入x(t)=Asinwt根據(jù)該元件的特性，確定其輸出y(t)的表達(dá)式；2.將y(t)展成傅立葉級(jí)數(shù)；3.取級(jí)數(shù)中的基波，求描述函數(shù)。典型非線性特性的描述函數(shù)1.理想繼電器特性2.死區(qū)繼電器特性3.滯環(huán)繼電器特性4.飽和特性5.死區(qū)飽和特性6.死區(qū)特性7.間隙特性8.變?cè)鲆嫣匦?.有死區(qū)的線性特性10.庫侖摩擦加粘性摩擦特性Δ三、非線性系統(tǒng)的簡(jiǎn)化1.非線性特性的并聯(lián)

若兩個(gè)非線性特性輸入相同，輸出相加、減，則等效非線性特性為兩個(gè)非線性特性的疊加。2.非線性特性的串聯(lián)--圖解法

兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，等效特性還取決于其前后次序，調(diào)換次序則等效非線性特性亦不同。3.線性環(huán)節(jié)的等效變換--結(jié)構(gòu)框圖化簡(jiǎn)G1G2NG3r(t)=0c(t)--G1G2NG3r(t)=0c(t)1/G1--G1G2NG3r(t)=0c(t)1/G1--G1G2NG3r(t)=01/G1-r(t)=0c(t)-NG3r(t)=01/G1-r(t)=0c(t)r(t)=0-Nc(t)G1G2NG3r(t)=0c(t)--r(t)=0-Nc(t)或者直接求解：P437習(xí)題8-14將非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)化成典型結(jié)構(gòu)圖形式，并寫出線性部分的傳遞函數(shù)。（1）NG1(s)H1(s)r=0c--NG1(s)1+H1(s)r=0c-NG1(s)[1+H1(s)]r=0c-結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)：直接求解：NG1(s)[1+H1(s)]r=0c-（2）NG1(s)H1(s)r=0c--NG1(s)H1(s)r=0c--NH1(s)r=0c-Nr=0c-結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)直接求解：N(A)G(s)r(t)=0c(t)-四、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法1.變?cè)鲆婢€性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：設(shè)G(s)的極點(diǎn)均在s左半平面當(dāng)G(jw)不包圍(-1/K，j0)點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；當(dāng)G(jw)

包圍(-1/K，j0)點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定；當(dāng)G(jw)

穿過(-1/K，j0)點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。j0G(jw)當(dāng)G(jw)不包圍(-1/K，j0)直線，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；當(dāng)G(jw)包圍(-1/K，j0)直線時(shí)，則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。

設(shè)K1≤K≤K2，則(-1/K，j0)為復(fù)平面實(shí)軸上的一段直線。j0G(jw)2.應(yīng)用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性-x(t)非線性部分N(A)y(t)c(t)r(t)線性部分G(jw)設(shè)G(s)的極點(diǎn)均位于s左半平面閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：--非線性環(huán)節(jié)的負(fù)倒描述函數(shù)G(jw)與

-1/N(A)曲線無交點(diǎn)：G(jw)包圍-1/N(A)，非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。G(jw)不包圍-1/N(A)，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)：

若G(jw)不包圍

-1/N(A)曲線，則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；若G(jw)包圍

-1/N(A)曲線，則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。內(nèi)容概要一、描述函數(shù)的基本概念1、定義2、非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法分析的應(yīng)用條件二、典型非線性特性的描述函數(shù)三、非線性系統(tǒng)的簡(jiǎn)化四、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法作業(yè)講解：8-12、14例8-5:已知非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：對(duì)于線性環(huán)節(jié)，解得穿越頻率：(例5-2）非線性環(huán)節(jié)為庫侖摩擦加粘性摩擦特性，查表8-1得G(jw)包圍-1/N(A)曲線非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定3.非線性系統(tǒng)存在周期運(yùn)動(dòng)時(shí)的穩(wěn)定性分析(考研點(diǎn)）當(dāng)G(jw)與-1/N(A)

有交點(diǎn)時(shí)可解得交點(diǎn)處的頻率w和幅值A(chǔ)或

系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，非線性環(huán)節(jié)的輸入近似為等幅振蕩，即每一個(gè)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)著一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)。

如果該周期運(yùn)動(dòng)能夠維持，即考慮外界小擾動(dòng)作用使系統(tǒng)偏離該周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)該擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)仍能恢復(fù)原周期運(yùn)動(dòng)，則稱為穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。非線性系統(tǒng)存在周期運(yùn)動(dòng)的四種形式設(shè)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的幅值為A0。當(dāng)外界擾動(dòng)使非線性環(huán)節(jié)輸入振幅減小到A1時(shí)，

G(jw)包圍(-1/N(A1),j0)點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，振幅增大，最終回到N0點(diǎn)。外界擾動(dòng)使輸入振幅增大到A2時(shí)，

G(jw)不包圍(-1/N(A2),j0)點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定，振幅減小，最終回到N0點(diǎn)。

因此N0點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。外界擾動(dòng)使非線性環(huán)節(jié)輸入振幅減小到A2時(shí)，G(jw)包圍(-1/N(A2),j0)點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，振幅繼續(xù)增大而發(fā)散；外界擾動(dòng)使輸入振幅減小到A1時(shí)，G(jw)不包圍

(-1/N(A1),j0)點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定，振幅減小，最終衰減到零；

因此N0點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。N20