2023/2/6信息學院張玉杰第八章離散模型8.1

層次分析模型8.2循環(huán)比賽的名次y2023/2/6信息學院張玉杰離散模型

離散模型：差分方程、整數(shù)規(guī)劃、圖論、對策論、網(wǎng)絡(luò)流、…

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分析社會經(jīng)濟系統(tǒng)的有力工具

只用到代數(shù)、集合及圖論的少許知識2023/2/6信息學院張玉杰8.1層次分析模型一問題的提出日常生活中有許多決策問題。決策是指在面臨多種方案時需要依據(jù)一定的標準選擇某一種方案。例1購物買鋼筆，一般要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實用性、價格、外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。買飯，則要依據(jù)色、香、味、價格等方面的因素選擇某種飯菜。例2旅游假期旅游，是去蘇州，還是去北戴河，或者是去桂林，一般會依據(jù)景色、費用、飲食、居住、旅途等因素選擇去哪個地方。2023/2/6信息學院張玉杰例3擇業(yè)面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等可以去選擇，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素擇業(yè)。例4科研課題的選擇由于經(jīng)費等因素，有時不能同時開展幾個課題，一般依據(jù)課題的可行性、應(yīng)用價值、理論價值、被培養(yǎng)人才等因素進行選題。2023/2/6信息學院張玉杰面臨各種各樣的方案，要進行比較、判斷、評價、最后作出決策。這個過程主觀因素占有相當?shù)谋戎?，給用數(shù)學方法解決問題帶來不便。T.L.saaty于20世紀七十年代提出了層次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP),即定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。

層次分析法2023/2/6信息學院張玉杰層次分析法的廣泛應(yīng)用

應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟計劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價，生產(chǎn)決策，交通運輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。

處理問題類型：決策、評價、分析、預測等。

建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。

構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗豐富、判斷力強的專家給出。2023/2/6信息學院張玉杰

遞階層次結(jié)構(gòu)模型AB2BmC1C2C3CnB1……目標層準則層方案層2023/2/6信息學院張玉杰二層次分析法的基本步驟買鋼筆質(zhì)量顏色價格外形實用可供選擇的筆1建立層次分析結(jié)構(gòu)模型

一般分為三層，最上面為目標層，最下面為方案層，中間是準則層或指標層。例1的層次結(jié)構(gòu)模型

準則層

方案層目標層2023/2/6信息學院張玉杰選擇旅游地景色費用居住飲食旅途蘇州、北戴河、桂林例2

層次結(jié)構(gòu)模型準則層方案層目標層2023/2/6信息學院張玉杰國家綜合實力國民收入軍事力量科技水平社會穩(wěn)定對外貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國例1

國家實力分析目標層準則層方案層2023/2/6信息學院張玉杰例2

工作選擇工作選擇貢獻收入發(fā)展聲譽關(guān)系位置供選擇的崗位2023/2/6信息學院張玉杰例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇過河的代價

A經(jīng)濟代價

B1環(huán)境代價B3社會代價B2投入資金C1操作維護C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對水的污染C8對生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2子準則層2023/2/6信息學院張玉杰待評價的科技成果直接經(jīng)濟效益

C11間接經(jīng)濟效益

C12社會效益

C13學識水平

C21學術(shù)創(chuàng)新

C22技術(shù)水平

C23技術(shù)創(chuàng)新

C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評價例4科技成果的綜合評價子準則層2023/2/6信息學院張玉杰若上層的每個因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所有因素影響，稱為完全層次結(jié)構(gòu)，否則稱為不完全層次結(jié)構(gòu)。例:評價教師貢獻的層次結(jié)構(gòu)貢獻O教學C1科研C2P2P1P3P4不完全層次結(jié)構(gòu)2023/2/6信息學院張玉杰更復雜的層次結(jié)構(gòu)更復雜的層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素間存在相互影響或支配；層間存在反饋或循環(huán)。制動底盤車輪方向盤發(fā)動機減震裝置剎車轉(zhuǎn)向運行加速性能汽車行駛性能汽車1汽車2汽車n……2023/2/6信息學院張玉杰設(shè)某層有個因素，2構(gòu)造成對比較矩陣要比較它們對上一層某一準則（或目標）的影響程度，確定在該層中相對于某一準則所占的比重。（即把個因素對上層某一目標的影響程度排序）用表示第個因素相對于第個因素的比較結(jié)果，則則稱為成對比較矩陣。上述比較是兩兩因素之間進行的比較，比較時取1~9尺度。2023/2/6信息學院張玉杰１３５７９尺度第個因素與第個因素的影響相同第個因素比第個因素的影響稍強第個因素比第個因素的影響強第個因素比第個因素的影響明強第個因素比第個因素的影響絕對地強含義比較尺度：（1~9尺度的含義）2,4,6,8表示第個因素相對于第個因素的影響介于上述兩個相鄰等級之間。不難定義以上各尺度倒數(shù)的含義，根據(jù)。由上述定義知，成對比較矩陣比如，例2的旅游問題中，第二層A的各因素對目標層Z的影響兩兩比較結(jié)果如下：滿足以下性質(zhì)

ZA1A2A3A4A5A1A2A3A4A511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311分別表示景色、費用、居住、飲食、旅途。稱為正互反陣。2023/2/6信息學院張玉杰

由上表，可得成對比較矩陣旅游問題的成對比較矩陣共有6個（一個5階，5個3階）。問題：兩兩進行比較后，怎樣才能知道，下層各因素對上層某因素的影響程度的排序結(jié)果呢？2023/2/6信息學院張玉杰3計算權(quán)向量及一致性檢驗層次單排序：確定下層各因素對上層某因素影響程度的過程。用權(quán)值表示影響程度，先從一個簡單的例子看如何確定權(quán)值。例如一塊石頭重量記為1，打碎分成個小塊，各塊的重量分別記為：則可得成對比較矩陣由右面矩陣可以看出，2023/2/6信息學院張玉杰即，但在例2的成對比較矩陣中，在正互反矩陣中，若,則稱為一致陣。一致陣的性質(zhì)：5.的任一列(行)都是對應(yīng)于特征根的特征向量。2023/2/6信息學院張玉杰若成對比較矩陣是一致陣，則可取對應(yīng)于最大特征根的歸一化特征向量，且定理：階互反陣的最大特征根，當且僅當時，為一致陣。表示下層第個因素對上層某因素影響程度的權(quán)值。若成對比較矩陣不是一致陣，Saaty等人建議用其最大特征根對應(yīng)的歸一化特征向量作為權(quán)向量，則這樣確定權(quán)向量的方法稱為特征根法.2023/2/6信息學院張玉杰由于連續(xù)的依賴于，則比大的越多，的不一致性越嚴重。用最大特征值對應(yīng)的特征向量作為被比較因素對上層某因素影響程度的權(quán)向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用數(shù)值的大小來衡量的不一致程度。定義一致性指標其中為的對角線元素之和，也為的特征根之和。2023/2/6信息學院張玉杰則可得一致性指標定義隨機一致性指標隨機構(gòu)造500個成對比較矩陣隨機一致性指標RI的數(shù)值：n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.512023/2/6信息學院張玉杰一致性檢驗：利用一致性指標和一致性比率<0.1及隨機一致性指標的數(shù)值表，對進行檢驗的過程。一般地，當一致性比率的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其歸一化特征向量作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對比較矩陣，對加以調(diào)整。時，認為

層次分析法2023/2/6信息學院張玉杰4計算組合權(quán)向量

確定某層所有因素對于總目標相對重要性的排序權(quán)值過程，稱為層次總排序

從最高層到最低層逐層進行。設(shè)：

對總目標Z的權(quán)向量為的層次權(quán)向量為2023/2/6信息學院張玉杰層次總排序的一致性檢驗設(shè)層對上層(層)中因素的層次單排序一致性指標為，隨機一致性指為，則層次總排序的一致性比率為：當時，認為層次總排序通過一致性檢驗。到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。2023/2/6信息學院張玉杰1.建立層次結(jié)構(gòu)模型

該結(jié)構(gòu)圖包括目標層，準則層，方案層。層次分析法的基本步驟歸納如下3.計算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗2.構(gòu)造成對比較矩陣從第二層開始用成對比較矩陣和1~9尺度。對每個成對比較矩陣計算最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，利用一致性指標、隨機一致性指標和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過，需要重新構(gòu)造成對比較矩陣。2023/2/6信息學院張玉杰計算最下層對最上層總排序的權(quán)向量。4.計算總排序權(quán)向量并做一致性檢驗進行檢驗。若通過，則可按照總排序權(quán)向量表示的結(jié)果進行決策，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率較大的成對比較矩陣。利用總排序一致性比率2023/2/6信息學院張玉杰三層次分析法建模舉例旅游問題(1)建模分別分別表示景色、費用、居住、飲食、旅途。分別表示蘇州、北戴河、桂林。2023/2/6信息學院張玉杰（2）構(gòu)造成對比較矩陣2023/2/6信息學院張玉杰(3)計算層次單排序的權(quán)向量和一致性檢驗成對比較矩陣的最大特征值權(quán)向量(特征向量)a=（0.4658，0.8409，0.0951，0.1733，0.1920）2023/2/6信息學院張玉杰表明通過了一致性驗證。故則該特征值對應(yīng)的歸一化特征向量權(quán)向量歸一化2023/2/6信息學院張玉杰組合權(quán)向量第1層O第2層C1,…Cn第3層P1,…Pm第2層對第1層的權(quán)向量第3層對第2層各元素的權(quán)向量構(gòu)造矩陣則第3層對第1層的組合權(quán)向量2023/2/6信息學院張玉杰組合權(quán)向量記第2層（準則）對第1層（目標）的權(quán)向量為同理求第3層(方案)對第2層每一元素(準則)的權(quán)向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費用)的成對比較陣…C5…B5最大特征根1

2

…

5

權(quán)向量w1(3)w2(3)…

w5(3)權(quán)向量w1(3)w2(3)…

w5(3)2023/2/6信息學院張玉杰第3層對第2層的計算結(jié)果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權(quán)向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗

w(2)

0.2630.4750.0550.0990.110方案P1對目標的組合權(quán)重為0.5950.263+0.0820.475+0.429

0.055+0.6330.099+0.1660.110=0.3002023/2/6信息學院張玉杰(I)方案層對目標的組合權(quán)向量(0.300,0.246,0.456)T計算層次總排序權(quán)值和一致性檢驗(II)總排序的一致性檢驗2023/2/6信息學院張玉杰(0.300,0.246,0.456)'作為最后決策的依據(jù)P3>P1>P2最后決策去桂林旅游滿足一致性檢驗2023/2/6信息學院張玉杰四層次分析法的優(yōu)點和局限性1系統(tǒng)性

層次分析法把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進行決策，成為繼機理分析、統(tǒng)計分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具。

2實用性層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無法著手的實際問題，應(yīng)用范圍很廣，同時，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策者甚至可以直接應(yīng)用它，這就增加了決策的有效性。2023/2/6信息學院張玉杰3簡潔性

具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本原理并掌握該法的基本步驟，計算也非常簡便，并且所得結(jié)果簡單明確，容易被決策者了解和掌握。以上三點體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點，該法的局限性主要表現(xiàn)在以下幾個方面：第一只能從原有的方案中優(yōu)選一個出來，沒有辦法得出更好的新方案。2023/2/6信息學院張玉杰第二該法中的比較、判斷以及結(jié)果的計算過程都是粗糙的，不適用于精度較高的問題。第三從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對比較矩陣，人主觀因素對整個過程的影響很大，這就使得結(jié)果難以讓所有的決策者接受。當然采取專家群體判斷的辦法是克服這個缺點的一種途徑。2023/2/6信息學院張玉杰實例

某單位擬從三名干部中提拔一人擔任領(lǐng)導工作，干部的優(yōu)劣（由上級人事部門提出），用六個屬性來衡量：健康狀況、業(yè)務(wù)知識、寫作水平、口才、政策水平、工作作風，分別用p1、p2、p3、p4、p5、p6表示。判斷矩陣如下