第七章圖形的變化微專題七主從聯(lián)動模型1.定義：若兩動點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點(diǎn)的運(yùn)動路徑相同，即為主從聯(lián)動軌跡問題，稱為主從聯(lián)動模型，也稱為“瓜豆模型”.本專題主要針對：①點(diǎn)在直線上運(yùn)動；②點(diǎn)在圓上運(yùn)動兩種類型進(jìn)行探究.2.模型特點(diǎn)：（1）“主動點(diǎn)”在直線上運(yùn)動，“從動點(diǎn)”的運(yùn)動軌跡也是直線；（2）“主動點(diǎn)”在圓上運(yùn)動，“從動點(diǎn)”的運(yùn)動軌跡也是圓.3.兩個定量：已知動點(diǎn)P，Q，定點(diǎn)A，若點(diǎn)P為“主動點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動點(diǎn)”，則（1）主動點(diǎn)、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量，即∠PAQ是定值；（2）主動點(diǎn)、從動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量，即AP∶AQ是定值.類型條件建模過程基本結(jié)論點(diǎn)在直線上運(yùn)動1.P是主動點(diǎn)，Q是從動點(diǎn)，A是定點(diǎn)；2.AQ∶AP＝k；3.∠PAQ＝α＝0°1.點(diǎn)Q和點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡都是直線，且與點(diǎn)P的軌跡平行；2.QQ'＝k·PP'類型條件建模過程基本結(jié)論點(diǎn)在直線上運(yùn)動1.P是主動點(diǎn)，Q是從動點(diǎn)，A是定點(diǎn)；2.AQ∶AP＝k；3.∠PAQ＝α（0°＜α＜180°）1.△AQQ'∽△APP'，相似比為k（當(dāng)k＝1時，△AQQ'≌△APP'）；2.點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡是直線；3.QQ'＝k·PP'（當(dāng)k＝1時，QQ'＝PP'）；4.點(diǎn)P，Q的運(yùn)動軌跡所在的直線所夾的較小角為α或180°－α（當(dāng)α＝90°時，QQ'⊥PP'）類型條件建模過程基本結(jié)論點(diǎn)在直線上運(yùn)動構(gòu)圖步驟1.確定主動點(diǎn)（P）、從動點(diǎn)（Q）和定點(diǎn)（A）；2.確定主動點(diǎn)（P）的起止位置，求出主動點(diǎn)的路徑長（PP'）；3.計算從動點(diǎn)（Q）、主動點(diǎn)（P）在起始位置時與定點(diǎn)的距離比（k）；4.根據(jù)已知條件，畫出主動點(diǎn)（P）、從動點(diǎn)（Q）的終止位置，從動點(diǎn)（Q）、主動點(diǎn)（P）的起止位置分別與定點(diǎn)（A）構(gòu)成的兩個三角形相似（△AQQ'∽△APP'），當(dāng)k＝1時，兩個三角形全等（△AQQ'≌△APP'）；5.根據(jù)從動點(diǎn)的路徑長∶主動點(diǎn)的路徑長＝k（QQ'∶PP'＝k），從而求出從動點(diǎn)的路經(jīng)長.（當(dāng)k＝1時，從動點(diǎn)的路徑長＝主動點(diǎn)的路徑長，即QQ'＝PP'）類型條件建模過程基本結(jié)論點(diǎn)在圓上運(yùn)動1.P是主動點(diǎn)，Q是從動點(diǎn)，A是定點(diǎn)；2.AQ∶AP＝k；3.∠PAQ＝α＝0°1.點(diǎn)Q和點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡都是圓，且運(yùn)動軌跡長度之比為k；2.點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡圓的半徑等于k·OP；3.△AMQ∽△AOP，相似比為k類型條件建模過程基本結(jié)論點(diǎn)在圓上運(yùn)動構(gòu)圖步驟1.點(diǎn)P取任意位置（A，P，O三點(diǎn)共線除外），連接AO，PO；2.過點(diǎn)Q作QM∥PO交AO于點(diǎn)M；3.以點(diǎn)M為圓心，QM的長為半徑的圓即為點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡類型條件建模過程基本結(jié)論點(diǎn)在圓上運(yùn)動1.P是主動點(diǎn)，Q是從動點(diǎn)，A是定點(diǎn)；2.AQ∶AP＝k；3.∠PAQ＝α1.點(diǎn)Q和點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡都是圓，且運(yùn)動軌跡長度之比為k（點(diǎn)Q與點(diǎn)P的關(guān)系相當(dāng)于伸縮＋旋轉(zhuǎn)）；2.點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡圓的半徑等于k·OP；3.△AMQ∽△AOP，相似比為k（當(dāng)k＝1時，△AMQ≌△AOP）；4.△AMQ與△AOP的對應(yīng)線段所在的直線所夾的較小角都等于α（或180°－α）類型條件建模過程基本結(jié)論點(diǎn)在圓上運(yùn)動構(gòu)圖步驟1.點(diǎn)P取任意位置（A，P，O三點(diǎn)共線除外），連接AO，PO；2.在AP上截取AQ'＝AQ，作Q'M'∥PO交AO于點(diǎn)M'；3.將線段AM'繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)α得到AM，連接QM；4.以點(diǎn)M為圓心，QM的長為半徑的圓即為點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡

?類型1：點(diǎn)在直線上運(yùn)動

思路點(diǎn)撥判斷出主動點(diǎn)D，從動點(diǎn)E，定點(diǎn)C四邊形DCFE是正方形↓

↓主動點(diǎn)D的運(yùn)動起止位置的路徑長為AB＝5從動點(diǎn)E的運(yùn)動路徑為GE（如圖）↓△GBC和△EDC都是等腰直角三角形↓

↓△BCD∽△GCE↓

↓

【例2】如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，E是對稱軸AD上的一個動點(diǎn)，連接CE.將CE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CF，連接DF，則在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，DF的最小值是

1

?.

1

思路點(diǎn)撥判斷出主動點(diǎn)E，從動點(diǎn)F，定點(diǎn)C↓主動點(diǎn)E在直線AD上運(yùn)動↓主從聯(lián)動原理——從動點(diǎn)F在直線FF'上運(yùn)動↓由垂線段最短——當(dāng)DF⊥FF‘時，DF有最小值，如圖2.↓及對稱的性質(zhì)——∠FBD＝30°，BD＝2↓由三角函數(shù)——在Rt△BFD中，DF＝1↓即得DF的最小值為1由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)圖1

圖2

方法歸納點(diǎn)在直線上運(yùn)動時求最小值的解題策略1.畫出初始位置圖形；2.畫出終止位置（或任意位置）圖形；3.畫出從動點(diǎn)路徑所在的直線；4.過目標(biāo)定點(diǎn)向從動點(diǎn)路徑所在直線作垂線段，即得最小值.?類型2：點(diǎn)在圓上運(yùn)動【例3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)D是以點(diǎn)A為圓心，4為半徑的圓上一點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，則線段CM長度的最大值為（

A

）A.7B.8C.9D.10A

思路點(diǎn)撥取AB的中點(diǎn)E，連接ME，CE，AD↓

4為半徑的圓上運(yùn)動↓從動點(diǎn)M在以點(diǎn)E為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動↓當(dāng)C，E，M三點(diǎn)共線時，CM的長有最大值↓

↓CMmax＝CE＋ME＝7

方法歸納點(diǎn)在圓上運(yùn)動時求最值問題的解題策略1.畫出初始位置圖形；2.畫出終止位置（或任意位置）圖形；3.畫出從動點(diǎn)路徑所在的圓或??；4.連接目標(biāo)定點(diǎn)與從動點(diǎn)的圓心，當(dāng)目標(biāo)定點(diǎn)、從動點(diǎn)與從動點(diǎn)圓心三點(diǎn)共線時，目標(biāo)線段有最值.

?類型1：點(diǎn)在直線上運(yùn)動1.如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿EA方向運(yùn)動，連接PD.以PD為邊，在PD的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊三角形DPF.當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)A時，點(diǎn)F運(yùn)動的路徑長是

8

?.

第1題圖8

第2題圖

?類型2：點(diǎn)在圓上運(yùn)動4.如圖，點(diǎn)P（3，4），☉P的半徑為2，A（2.8，0），B（5.6，0），M是☉P上的動點(diǎn)，C是MB的中點(diǎn)，則AC的取值范圍是

1.5≤AC≤3.5

?.

第