廣東省揭陽市五云中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.以下現(xiàn)象是隨機現(xiàn)象的是A.標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃，必會沸騰B.長和寬分別為a，b的矩形，其面積為a×bC.走到十字路口，遇到紅燈D.三角形內(nèi)角和為180°參考答案：C【分析】對每一個選項逐一分析判斷得解.【詳解】A.標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃，必會沸騰,是必然事件；B.長和寬分別為a，b的矩形，其面積為，是必然事件；C.走到十字路口，遇到紅燈，是隨機事件；D.三角形內(nèi)角和為180°，是必然事件.故選：C【點睛】本題主要考查必然事件、隨機事件的定義與判斷，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.2.已知α1，α2，α3是三個相互平行的平面，平面α1，α2之間的距離為d1，平面α2，α3之間的距離為d2，直線l與α1，α2，α3分別相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的()A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C3.下列函數(shù)中，奇函數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.已知向量，若，則（

）A．(－2,－1)

B．(2,1)

C．(3,－1)

D．(－3,1)參考答案：A5.函數(shù)y=x2+1的值域是（）A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（0，+∞） D．（1，+∞）參考答案：B【考點】函數(shù)的值域．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：函數(shù)y=x2+1的定義域為R，開口向上，對稱軸x=0，當(dāng)x=0時，函數(shù)y取得最小值為1．∴函數(shù)y=x2+1的值域[1，+∞）．故選B6.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，則A的值是A． B． C． D．參考答案：C7.任取，且，若恒成立，則稱為上的凸函數(shù)。下列函數(shù)中①，②

，③，

④在其定義域上為凸函數(shù)是（

）A.①②

B.②③

C.

②③④

D.②④參考答案：D8.在中,已知,則的面積是

（）

A.

B.

C.或

D.參考答案：C略9.（5分）圓⊙C1：x2+y2=1，與圓⊙C2：x2+y2﹣4x+3=0的位置關(guān)系是（） A． 內(nèi)切 B． 外切 C． 相交 D． 相離參考答案：B考點： 圓與圓的位置關(guān)系及其判定．專題： 計算題．分析： 求出兩圓的圓心和半徑，計算兩圓的圓心距，將圓心距和兩圓的半徑之和或半徑之差作對比，判斷兩圓的位置關(guān)系．解答： 圓⊙C1的圓心C1（0，0），半徑等于1．⊙C2：x2+y2﹣4x+3=0即（x﹣2）2+y2=1，圓心C2（2，0），半徑為1，兩圓的圓心距等于2，正好等于兩圓的半徑之和，故兩圓相外切，故選B．點評： 本題考查圓與圓的位置關(guān)系及其判定的方法，關(guān)鍵是求圓心距和兩圓的半徑．10.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲存溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b（k，b是常數(shù)）．若該食品在0℃的保鮮時間設(shè)計192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33℃的保鮮時間是

小時．參考答案：24【考點】函數(shù)的值．【分析】利用待定系數(shù)法求出，由此能求出該食品在33℃的保鮮時間．【解答】解：∵某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲存溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b（k，b是常數(shù)）．該食品在0℃的保鮮時間設(shè)計192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，∴，解得e22k=，∴e11k=，∴該食品在33℃的保鮮時間y=e33k+b=（e11k）3?eb=（）3?192=24．故答案為：24．12.命題“若a＞1且b＞1，則a+b＞2”的否命題是命題（填“真”或“假”）參考答案：假【考點】四種命題的真假關(guān)系；四種命題間的逆否關(guān)系．【專題】簡易邏輯．【分析】根據(jù)命題“若p，則q”的否命題是“若￢p，則￢q”，寫出它的否命題判斷即可．【解答】解：命題“若a＞1，且b＞1，則a+b＞2的否命題是：“若a≤1，或b≤1，則a+b≤2”，是假命題．故答案為：假．【點評】本題考查了四種命題之間的關(guān)系，解題時應(yīng)熟記四種命題之間的關(guān)系是什么，是容易題．13.函數(shù)的定義域為＿＿＿＿＿＿＿＿；參考答案：14.已知，則__________．參考答案：由題意，函數(shù)，所以，所以．15.函數(shù)的最大值是________________．參考答案：略16.在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A∶B＝1∶2，且a∶b＝1∶，則cos2B的值是________

參考答案：17.若關(guān)于的方程=a在區(qū)間上有兩個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍為__________________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（1）解關(guān)于x的方程loga（3x﹣1）=loga（x﹣1）+loga（3+x），（a＞0且a≠1）；（2）求值：lg5+lg2﹣（﹣）﹣2+（﹣1）0+log28．參考答案：【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)．【分析】（1）loga（3x﹣1）=loga（x﹣1）+loga（3+x），（a＞0且a≠1），可得3x﹣1＞0，x﹣1＞0，3+x＞0，3x﹣1=（x﹣1）（3+x），聯(lián)立解得x．（2）利用指數(shù)與對數(shù)的運算法則即可得出．【解答】解：（1）∵loga（3x﹣1）=loga（x﹣1）+loga（3+x），（a＞0且a≠1），∴3x﹣1＞0，x﹣1＞0，3+x＞0，3x﹣1=（x﹣1）（3+x），聯(lián)立解得：x=2．（2）原式=lg10﹣3﹣1×（﹣2）+1+3=1﹣9+4=﹣4．19.已知是等差數(shù)列，為公差且不等于，和均為實數(shù)，它的前項和記作，設(shè)集合，，試問下列結(jié)論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明．（Ⅰ）若以集合中的元素作為點的坐標(biāo)，則這些點都在一條直線上；（Ⅱ）至多有一個元素；（Ⅲ）當(dāng)時，一定有．參考答案：解析：（Ⅰ）正確．因為，在等差數(shù)列中，，所以，．這表明點的坐標(biāo)適合方程．所以，點均在直線上．……………5分（Ⅱ）正確．設(shè)，則坐標(biāo)中的、應(yīng)是方程組的解．解這個方程組，消去，得．（﹡）當(dāng)時，方程（﹡）無解，此時，．……………10分當(dāng)時，方程（﹡）只有一個解，此時方程組也只有一個解，即

故上述方程組至多有一解，所以至多有一個元素．………15分（Ⅲ）不正確．取，，對一切，有，．這時集合中的元素的點的橫、縱坐標(biāo)均為正．另外，由于，如果，那么根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，至多有一個元素（），而，．這樣的，產(chǎn)生矛盾．所以，，時，，故時，一定有是不正確的．……20分20.如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5（3+）海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20海里的C點的救援船立即即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達(dá)D點需要多長時間？參考答案：【考點】HU：解三角形的實際應(yīng)用．【分析】先根據(jù)內(nèi)角和求得∠DAB和，∠DBA及進而求得∠ADB，在△ADB中利用正弦定理求得DB的長，進而利用里程除以速度即可求得時間．【解答】解：由題意知AB=5（3+）海里，∠DBA=90°﹣60°=30°，∠DAB=90°﹣45°=45°，∴∠ADB=180°﹣（45°+30°）=105°，在△ADB中，有正弦定理得=∴DB===10又在△DBC中，∠DBC=60°DC2=DB2+BC2﹣2×DB×BC×cos60°=900∴DC=30∴救援船到達(dá)D點需要的時間為=1（小時）答：該救援船到達(dá)D點需要1小時．21.（本題滿分12分）已知函數(shù)是二次函數(shù)，且，．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）求證在區(qū)間上是減函數(shù).參考答案：

解：（Ⅰ）設(shè)又結(jié)合已知得

（Ⅱ）證明：設(shè)任意的且則又由假設(shè)知而在區(qū)間上是減函數(shù).

22.（本題滿分10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（0，3），直線，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線上。（Ⅰ）若圓心C也在直線上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；（Ⅱ）若圓C上存在唯一一點M，使，求圓C的方程。參考答案：（Ⅰ）由得圓心C為（3，2），因為圓C的半徑