第二章2.3一、選擇題(每小題5分，共20分)1．已知ξ的分布列為：ξ1234Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,4)則D(ξ)的值為()\f(29,12) \f(121,144)\f(179,144) \f(17,12)解析：E(ξ)＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(29,12)，D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(29,12)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(29,12)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(29,12)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(29,12)))2×eq\f(1,4)＝eq\f(179,144).故選C.答案：C2．設(shè)一隨機試驗的結(jié)果只有A和eq\x\to(A)且P(A)＝m，令隨機變量ξ＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，A發(fā)生,0，A不發(fā)生))，則ξ的方差D(ξ)等于()A．m B．2m(1－mC．m(m－1) D．m(1－m)解析：依題意ξ服從兩點分布，則D(ξ)＝m(1－m)，故選D.答案：D3．已知隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(1,3)，k＝1,2,3，則D(3ξ＋5)等于()A．6 B．9C．3 D．4解析：E(ξ)＝(1＋2＋3)×eq\f(1,3)＝2，D(ξ)＝eq\f(1,3)[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝eq\f(2,3)，所以D(3ξ＋5)＝32D(ξ)＝9×eq\f(2,3)＝6.故選A.答案：A4．由以往的統(tǒng)計資料表明，甲、乙兩位運動員在比賽中得分情況為：ξ1(甲得分)012P(ξ1＝xi)ξ2(乙得分)012P(ξ2＝xi)現(xiàn)有一場比賽，派哪位運動員參加較好？()A．甲 B．乙C．甲、乙均可 D．無法確定解析：E(ξ1)＝E(ξ2)＝，D(ξ1)＝×＋×＋×＝，D(ξ2)＝×＋×＋×＝，∴D(ξ1)<D(ξ2)，即甲比乙得分穩(wěn)定，選甲參加較好，故選A.答案：A二、填空題(每小題5分，共10分)5．(2023·北京市東城區(qū)下學(xué)期高二期末測試)有甲、乙兩種品牌的手表，它們的日誤差分別為X，Y(單位：s)，其分布列如下：X－101PY－2－1012P則兩種品牌中質(zhì)量好的是________．解析：E(X)＝E(Y)＝0，D(X)＝，D(Y)＝，∵D(X)<D(Y)，∴甲質(zhì)量好．答案：甲6．已知隨機變量ξ～B(36，p)，且E(ξ)＝12，則D(ξ)＝________.解析：由題意知E(ξ)＝np＝36×p＝12得p＝eq\f(1,3)，∴D(ξ)＝np(1－p)＝36×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝8.答案：8三、解答題(每小題10分，共20分)7．已知隨機變量X的分布列為：X01234P試求D(X)和D(2X－1)．解析：E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.所以D(X)＝(0－2×＋(1－2×＋(2－2×＋(3－2×＋(4－2×＝.2X－1的分布列為：2X－1－11357P所以E(2X－1)＝2E(X)－1＝.所以D(2X－1)＝(－1－2×＋(1－2×＋(3－2×＋(5－2×＋(7－2×＝.8．有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2，兩張標(biāo)有數(shù)字5，從中隨機地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片數(shù)字之和為ξ，求E(ξ)和D(ξ)．解析：這3張卡片上的數(shù)字之和為ξ，這一變量的可能取值為6,9,12.ξ＝6表示取出的3張卡片上標(biāo)有2，則P(ξ＝6)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).ξ＝9表示取出的3張卡片上兩張標(biāo)有2，一張標(biāo)有5，則P(ξ＝9)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).ξ＝12表示取出的3張卡片上一張標(biāo)有2，兩張標(biāo)有5，則P(ξ＝12)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).∴ξ的分布列為：ξ6912Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)∴E(ξ)＝6×eq\f(7,15)＋9×eq\f(7,15)＋12×eq\f(1,15)＝.D(ξ)＝(6－2×eq\f(7,15)＋(9－2×eq\f(7,15)＋(12－2×eq\f(1,15)＝.9．(10分)為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳．各株沙柳的成活與否是相互獨立的，成活率為p，設(shè)ξ為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望Eξ為3，方差為eq\f(3,2).(1)求n和p的值，并寫出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種，求需要補種沙柳的概率．解析：由題意知，ξ～B(n，p)，P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n.(1)由Eξ＝np＝3，Dξ＝np(1－p)＝eq\f(3,2)，得1－p＝eq\f(1,2)，從而n＝6，p＝eq\f(1,2).ξ的分布列為ξ0123456Peq\f(1,64)eq\f(6,64)eq\f(15,64)eq\f(20,64)eq\f(15,64)eq\f(6,64)eq\f(1,64)(2)記“需要補種沙柳”為事