第1章第1課時1.1.1任意角課前準(zhǔn)備溫故知新：在過去我們所學(xué)的角都是在之間的角，如果把角局限到這樣一個范圍之內(nèi)，有很多問題無法解決，比如時鐘分針順時針和逆時針方向分別轉(zhuǎn)半圈，所形成的角是否相等，跳水運(yùn)動員轉(zhuǎn)體2周半是轉(zhuǎn)了多少，這些都無法表示。這些都要求角的范圍必須在原有的基礎(chǔ)上擴(kuò)大。學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解任意角的概念，會表示終邊相同的角，并能結(jié)合圖示了解象限角和軸上角。課前思索：正角和負(fù)角的區(qū)別是什么？終邊相同的角一定相等嗎？課堂學(xué)習(xí)一、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1．角的概念進(jìn)行推廣的導(dǎo)因：在初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，我們認(rèn)識了在范圍內(nèi)的角，但是在現(xiàn)實生活中會接觸到不在該范圍內(nèi)的角，這樣對角進(jìn)行了推廣就急切的被提出來。為了使按不同方向旋轉(zhuǎn)所得角有所區(qū)別，規(guī)定：在直角坐標(biāo)系中，將角的始邊繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，則可以得到所有的正角；如果按照順時針方向旋轉(zhuǎn)，則得到所有的負(fù)角。另外，對于角的概念推廣之后要注意幾個問題：（1）注意旋轉(zhuǎn)方向不同產(chǎn)生正角、負(fù)角和零角；（2）要注意角的集合形式不唯一；（3）按終邊位置不同產(chǎn)生象限角和軸線角；（4）終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同；（5）要注意，{是銳角}，{是第一象限角}這三者之間的聯(lián)系；（6）要注意區(qū)間角：如，注意它與象限角和軸線角的區(qū)別；（7）若是第二象限角，不一定是第一象限角，也不一定是第四象限角。2．正角、零角、負(fù)角的形成：正角是指一條射線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（一定要注意方向）所形成的角．對于它的理解首先是要旋轉(zhuǎn)，不旋轉(zhuǎn)不行，同時要注意旋轉(zhuǎn)方向，一定是逆時針方向，至于旋轉(zhuǎn)多少沒有限制．所以任意的正角是存在的，正角越大說明按逆時針旋轉(zhuǎn)的量也越大（或者圈數(shù)越多）．零角則是一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)所形成的角，有的同學(xué)對這個會出現(xiàn)理解上的誤差，他認(rèn)為不旋轉(zhuǎn)就形不成角．負(fù)角則是指一條射線按順時針方向旋轉(zhuǎn)（一定要注意方向）所形成的角．有了負(fù)角之后，角的范圍就可以任意得到擴(kuò)充．3．理解好象限角與軸上角（有的稱為軸線角）：象限角：角的頂點合于坐標(biāo)原點，角的始邊合于軸的非負(fù)半軸，那么角的終邊落在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角；終邊在第二象限的角可表示為：，同學(xué)們，你能表示出終邊在第一、三、四象限的角嗎？請你試一試．軸上角（有的稱為軸線角）：角的頂點合于坐標(biāo)原點，角的始邊是軸的非負(fù)半軸，那么角的終邊落在坐標(biāo)軸上，稱為軸上角（也可稱為軸線角），此時這個角不屬于任何一個象限．終邊在非負(fù)半軸的角的集合為，你能寫出其它軸上角嗎？請同學(xué)們試一試．4．終邊相同的角：所有與角終邊相同的角內(nèi)可以構(gòu)成一個集合：S={|=+k·360°，k∈}，也就是說任意與角終邊相同的角，都可以表示成角與的整數(shù)倍的和．同學(xué)們要記住終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同。終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360°的整數(shù)倍．一定要注意終邊相同的角的大小表示中一定要有.角的終邊繞著原點旋轉(zhuǎn)了周，則角的度數(shù)上加個，旋轉(zhuǎn)的方向即角的正負(fù)體現(xiàn)在的正負(fù)中.二、合作探究例1在區(qū)間內(nèi)找出所有與角有相同終邊的角.解析：所有與角有相同終邊的角可表示為，則令，得,解得.從而或.代入后得或.點評：本題要求同學(xué)們首先理解與角終邊相同的角的含義，并能正確的表示為，這些角的個數(shù)是無窮多個，同時還應(yīng)知也包括本身這個角，對于求限定范圍內(nèi)與終邊相同的角，就要讓處在這個范圍內(nèi)確定具體的值，從而求出所求的角。例2如圖所示，終邊落在陰影部分（包含邊界）的角的集合是（）的終邊yxO的終邊A．的終邊yxO的終邊C．D．解析：與終邊相同的角的集合是與終邊相同的角的集合是，所以夾在區(qū)域內(nèi)的角的集合為所以應(yīng)選C.點評：先寫出終邊落在與的角的集合，再寫區(qū)域內(nèi)角的集合.求兩射線所夾的區(qū)域內(nèi)的區(qū)間角的集合的主要是找出與區(qū)間邊界終邊相同的角的集合，然后求解區(qū)間角的范圍.注意兩個邊界的大小關(guān)系不要出錯。例3（1）若角是第二象限角，則是哪個象限角？（2）已知是第三象限角，則是第幾象限角?解（1）因為所以：,可知角的終邊應(yīng)在第三象限或第四象限或y軸的負(fù)半軸上.（2）因為是第三象限角，所以.∴.∴當(dāng)時，為第一象限角；當(dāng)時，為第三象限角，當(dāng)時，為第四象限角.故為第一、三、四象限角點評：由是第二、三象限角，可寫出角的具體范圍，然后可得到，的取值范圍，再根據(jù)范圍確定其所在象限即可第（2）問分類討論的方法要注意不能出錯。三、課堂練習(xí)1．設(shè)k∈Z，下列終邊相同的角是（）A．（2k+1）·180°與（4k±1）·180° B．k·90°與k·180°+90°C．k·180°+30°與k·360°±30° D．k·180°+60°與k·60°2．下列命題中正確的是（）A.第一象限角一定不是負(fù)角B.小于90的角一定是銳角C.鈍角一定是第二象限的角D.終邊相同的角一定相等3．已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是()A(1)、(2)B(2)、(3)C(1)、(3)D(2)、(4)4．已知α是第二象限的角，則角eq\f(α,2)所在象限為()A.第一、三象限 B.第一、四象限 C.第二、三象限 D.第三、四象限角5．與角的終邊相同，且.則=_________6．寫出終邊與坐標(biāo)軸重合的角的集合．四、課后作業(yè)1．若是第四象限的角，則是()A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角2．已知角，的終邊相同，那么－的終邊在()A．x軸的非負(fù)半軸上B．y軸的非負(fù)半軸上C．x軸的非正半軸上Ｄ．y軸的非正半軸上3．找出與下列各角終邊相同的角的一般形式，指出它們是哪個象限的角，并找出終邊相同的角中絕對值最小的角：（1）；（2）；（3）4．設(shè)集合,,求,.5．已知問角的終邊會不會落在x軸的負(fù)半軸?學(xué)后反思自我總結(jié)知識歸納方法總結(jié)錯誤總結(jié)附詳細(xì)解答四、課堂練習(xí)1．解：對于(A)由于2k＋1及4k±1表示奇數(shù)，知它們終邊都在x軸的負(fù)半軸上，正確；對于(B)，k·90°中k是整數(shù)，而k·180°+90°＝(2k＋1）?90，其中2k＋1表示奇數(shù)，顯然終邊不完全同．前者表示終邊在坐標(biāo)軸上，后者表示終邊在y軸上．對于(C)，k·180°+30°終邊在第一、三象限，而k·360°±30°終邊在第一、四象限，故不相同．對于(D)，k·180°+60°終邊在第一、三象限，而k·60°終邊有可能在x軸上，也可能在第一、二、四象限等，故不相同．所以選(A)．2．C提示：鈍角的終邊在第二象限3．C解析：787°=2×360°+67°,-957°=-3×360°+123°-289°=-1×360°+71°,1711°=4×360°+271°∴在第一象限的角是(1)、(3)4．解：∵α是第二象限的角，則k·360°+90°<α<k·360°+180°，∴k·180°+45°<eq\f(α,2)<k·180°+90°，當(dāng)k=2n(n∈Z)時，n·360°+45°<eq\f(α,2)<n·360°+90°，∴eq\f(α,2)為第一象限的角，當(dāng)k=2n+1(n∈Z)時，n·360°+225°<eq\f(α,2)<n·360°+270°，∴eq\f(α,2)為第三象限的角.∴eq\f(α,2)為第一或第三象限的角，故選A.5．∵，∴滿足條件的角為、、、、.6．解：終邊為x軸的角的集合M＝{|＝k?180，k∈Z}，終邊為y軸的角的集合N＝{|＝k?180＋900，k∈Z}．終邊為坐標(biāo)軸的角的集合S＝M∪N＝{|＝k?180，k∈Z}∪{|＝k?180＋90，k∈Z}＝{|＝2k?90，k∈Z}∪{|＝(2k＋1)?90，k∈Z}＝{|＝n?90，∈Z}．五、課后作業(yè)1．C提示：因為．所以有．所以選Ｃ．2．A解：由于角、按角終邊相同，則＝k?360＋，k∈Z，則有－＝k?360，k∈Z，