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文檔簡介
第四章§1一、選擇題1.已知f(x)=x3-x+sinx,則eq\a\vs4\al(\i\in(-2,2,))f(x)dx的值為()A.等于0 B.大于0C.小于0 D.不確定解析:易知f(x)為奇函數(shù),由奇函數(shù)的性質(zhì)eq\a\vs4\al(\i\in(-2,0,))f(x)dx=-eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))f(x)dx,而eq\a\vs4\al(\i\in(-2,2,))f(x)dx=eq\a\vs4\al(\i\in(-2,0,))f(x)dx+eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))f(x)dx=0.答案:A2.已知曲線y=f(x)在x軸下方,則由y=f(x),y=0,x=-1和x=3所圍成的曲邊梯形的面積S可表示為()\a\vs4\al(\i\in(-1,3,))f(x)dx \a\vs4\al(\i\in(-3,1,))f(x)dxC.-eq\a\vs4\al(\i\in(-1,3,))f(x)dx D.-eq\a\vs4\al(\i\in(-3,1,))f(x)dx解析:因為f(x)位于x軸下方,故f(x)<0.∴eq\a\vs4\al(\i\in(-1,3,))f(x)dx<0,故上述曲邊梯形的面積為-eq\a\vs4\al(\i\in(-1,3,))f(x)dx.答案:C3.定積分eq\a\vs4\al(\i\in(-2,2,))(-eq\r(4-x2))dx等于()A.4π B.2πC.-2π D.-4π解析:eq\a\vs4\al(\i\in(-2,2,))(-eq\r(4-x2))dx表示半圓x2+y2=4(y≤0)的面積的相反數(shù),∴eq\a\vs4\al(\i\in(-2,2,))(-eq\r(4-x2))dx=-2π.答案:C4.如圖所示,所給圖形的面積S的相應(yīng)表達(dá)式中,正確的為()S=eq\a\vs4\al(\i\in(b,a,))[f(x)-g(x)]dxS=eq\a\vs4\al(\i\in(0,8,))(2eq\r(2)x-2x+8)dx①②S=eq\a\vs4\al(\i\in(1,4,))f(x)dx-eq\a\vs4\al(\i\in(4,7,))f(x)dxS=eq\a\vs4\al(\i\in(0,a,))[g(x)-f(x)]dx+eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))[f(x)-g(x)]dx③④A.①② B.①③C.②④ D.③④解析:①應(yīng)為S=eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))[f(x)-g(x)]dx弄錯了上下限.②應(yīng)為S=eq\a\vs4\al(\i\in(0,4,))2eq\r(2x)dx+eq\a\vs4\al(\i\in(4,8,))(2eq\r(2)x-2x+8)dx.答案:D二、填空題5.若eq\a\vs4\al(\i\in(0,eq\f(π,2),))cosxdx=1,則由x=0,x=π,f(x)=sinx及x軸圍成的圖形的面積為____.解析:由正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖像,知f(x)=sinx,x∈[0,π]的圖像與x軸圍成的圖形的面積,等于g(x)=cosx,x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))的圖像與x軸圍成的圖形的面積的2倍,所以答案應(yīng)為2.答案:26.若eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))g(x)dx=3,eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))f(x)dx=1,eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))f(x)dx=-2,則eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))[f(x)+g(x)]dx=_________.解析:eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))[f(x)+g(x)]dx=eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))f(x)dx+eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))g(x)dx=eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))f(x)dx-eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))f(x)dx+3=6.答案:6三、解答題7.化簡下列各式,并畫出各小題所表示面積的圖形:(1)eq\i\in(-3,-2,)x2dx+eq\i\in(,1,)-2x2dx;(2)eq\i\in(0,1,)(1-x)dx+eq\i\in(1,2,)(x-1)dx.解析:(1)eq\a\vs4\al(\i\in(-3,-2,))x2dx+eq\a\vs4\al(\i\in(-2,1,))x2dx=eq\a\vs4\al(\i\in(-3,1,))x2dx,所表示面積的圖形如圖:(2)eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))(1-x)dx+eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))(x-1)dx=eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))|1-x|dx,它所表示面積的圖形如圖:8.利用定積分的幾何意義和性質(zhì)求值:(1)eq\i\in(-3,3,)(eq\r(9-x2)-x3)dx;(2)eq\a\vs4\al(\i\in(eq\f(π,2),eq\f(3π,2),))(sinx-2)dx;(3)已知f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx∈[0,2,4-xx∈[2,3,\f(5,2)-\f(x,2)x∈[3,5])),求f(x)在區(qū)間[0,5]上的定積分.解析:(1)如圖(1),由定積分的幾何意義得eq\i\in(-3,3,)eq\r(9-x2)dx=eq\f(π×32,2)=eq\f(9π,2),eq\i\in(-3,3,)x3dx=0,由定積分性質(zhì)得eq\i\in(-3,3,)(eq\r(9-x2)-x3)dx=eq\i\in(-3,3,)eq\r(9-x2)dx-eq\i\in(-3,3,)x3dx=eq\f(9π,2).(2)如圖(2),由定積分的幾何意義得eq\a\vs4\al(\i\in(eq\f(π,2),eq\f(3π,2),))sinxdx=0,由定積分的性質(zhì)得eq\a\vs4\al(\i\in(eq\f(π,2),eq\f(3π,2),))(sinx-2)dx=eq\a\vs4\al(\i\in(eq\f(π,2),eq\f(3π,2),))sinxdx-2eq\a\vs4\al(\i\in(eq\f(π,2),eq\f(3π,2),))1dx=0-2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)-\f(π,2)))=-2π.(3)如圖(3),由定積分的幾何意義得eq\i\in(0,2,)xdx=A1=eq\f(1,2)×2×2=2,eq\i\in(2,3,)(4-x)dx=A2=eq\f(1,2)×(1+2)×1=eq\f(3,2),eq\i\in(3,5,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)-\f(x,2)))dx=A3=eq\f(1,2)×2×1=1.∴eq\a\vs4\al(\i\in(0,5,))f(x)dx=eq\i\in(0,2,)xdx+eq\i\in(2,3,)(4-x)dx+eq\i\in(3,5,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)-\f(x,2)))dx=2+eq\f(3,2)+1=eq\f(9,2).9.已知f(x)=ax2+bx+c,且f(-1)=2,f′(0)=0,eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))f(x)dx=-2,求a、b、c的值.解析:由f(-1)=2,得a+(-b)+c=2①f′(x)=2ax+b,f′(0)=0,∴b=0②eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))f(x)dx=eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))(ax2+bx+c)dx=eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))ax2dx+eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))bxdx+eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))cdx=aeq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x2dx+beq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))xdx+ceq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))dx=aeq\o(lim,\s\up6(,n→∞))eq\f(1,n)eq\i\su(i=1,n,)eq\f(i2,n2)+blieq\o(m,\s\up6(,n→∞))eq\f(1,n)eq\i\su(i=1,n,)eq\f(i,n)+clieq\o(m,\s\up6(,n→∞))eq\f(1,n)eq\i\su(i=
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