平面向量復(fù)習(xí)教案一、知識(shí)歸納1.知識(shí)結(jié)構(gòu)2.重要公式、定理①.平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2.②.向量共線的兩種判定方法：∥()③.a=(x,y)|a|2=x2+y2|a|=④.若A=(x1,y1)，B=(x2,y2)，則=⑤.cos=⑥.aba?b=0即x1x2+y1y2=0（注意與向量共線的坐標(biāo)表示）二、基礎(chǔ)練習(xí)：題型一：基本概念：1.下列六個(gè)命題中正確的是：①兩個(gè)向量相等，則他們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；②若，則；③若，則是平行四邊形；④平行四邊形中，一定有；⑤若則；⑥若則2.已知點(diǎn)，向量向右平移1個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位后，所得的向量的坐標(biāo)是（）(A)(1,-7)(B)(2,-5)(C)(0,4)(D)(3,-3)3.如果，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么在下列各說(shuō)法中錯(cuò)誤的是①可以表示平面內(nèi)地所有向量;②對(duì)于平面內(nèi)地任一向量，使的實(shí)數(shù)有無(wú)數(shù)對(duì)；③若向量與共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使；④若實(shí)數(shù)使，則.題型二：線性運(yùn)算：1.已知且試求點(diǎn)和的坐標(biāo).題型三：平行與垂直1.已知在所在平面內(nèi)，且，，且，則點(diǎn)依次是的（）A.重心外心垂心B.重心外心內(nèi)心C.外心重心垂心D.外心重心內(nèi)心2.平面內(nèi)給定三個(gè)向量.（1）求滿足的實(shí)數(shù);（2）求實(shí)數(shù);（3）設(shè)滿足且求.題型四：夾角與長(zhǎng)度1.設(shè)求的值.求實(shí)數(shù)的值及與的夾角ABCABCacab例1.如圖△ABC中，=c，=a，=b，則下列推導(dǎo)不正確的是……………（）A．若a?b<0，則△ABC為鈍角三角形。B．若a?b=0，則△ABC為直角三角形。C．若a?b=bc，則△ABC為等腰三角形。D．若c?(a+b+c)=0，則△ABC為正三角形。解：A．a(chǎn)?b=|a||b|cos<0，則cos<0，為鈍角B．顯然成立C．由題設(shè)：|a|cosC=|c|cosA，即a、c在b上的投影相等D．∵a+b+c=0,∴上式必為0，∴不能說(shuō)明△ABC為正三角形例2.設(shè)非零向量a、b、c、d，滿足d=(a?c)b(a?b)c，求證：ad證：內(nèi)積a?c與a?b均為實(shí)數(shù)，∴a?d=a?[(a?c)b(a?b)c]=a?[(a?c)b]a?[(a?b)c]=(a?b)(a?c)(a?c)(a?b)=0∴ad例3.已知|a|=3，b=(1,2)，且a∥b，求a的坐標(biāo)。解：設(shè)a=(x,y)∵|a|=3∴…①又：∵a∥b∴1?y2?x=0…②解之：或即：a=()或a=()例4.已知a、b都是非零向量，a+3b與7a5b垂直，且a4b與7a2b垂直，求a與解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16a?b15b(a4b)(7a2b)=07a230a?b+8b兩式相減：2ab=b2；代入①或②得：a2=b設(shè)a、b的夾角為，則cos=∴=60例5.已知：|a|=，|b|=3，a與b夾角為45，求使a+b與a+b夾角為銳角的的取值范圍。解：由題設(shè)：a?b=|a||b|cos=3××=3(a+b)(a+b)=|a|2+|b|2+(2+1)a?b=32+11+3∵夾角為銳角∴必得32+11+3>0；∴或例、b為非零向量，當(dāng)a+tb(tR)的模取最小值時(shí)，①求t的值；②求證：b與a+tb垂直解：①|(zhì)a+tb|2=|a|2+t2|b|2+2t|a||b|∴當(dāng)t=時(shí),|a+tb|最?、凇遙?(a+tb)=a?b=0∴b與a+tb垂直例7.證明：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍。ABCEFDG證：設(shè)=b，=a，則=+=b+aABCEFDG∵A,G,D共線，B,G,E共線∴可設(shè)=λ，=μ,則=λ=λ(b+a)=λb+λa,=μ=μ(b+a)=μb+μa,∵即：b+(μb+μa)=λb+λa∴(μλ)a+(μλ+)b=0∵a,b不平行，∴=例8.設(shè)=(a+5b)，=2a+8b，=3(ab)，求證：A,B,D三點(diǎn)共線。證：=++=(a+5b)+(2a+8b)+3(ab)=(1+)a+(5+5)b=(1+)(a+5b)而=(a+5b)；∴=(+1)；又∵,有公共點(diǎn)∴A,B,D三點(diǎn)共線例9.已知：A(1,2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，①求證：A，B，C三點(diǎn)不共線②以、為一組基底來(lái)表示++解：①∵=(1,3),=(2,4)∵1×43×20∴∴A，B，C三點(diǎn)不共線②++=(3,5)+(4,2)+(5,1)=(12,8)設(shè)：++=m+n即：(12,8)=(m+2n,3m+4n)∴∴++=3222例10.求證：|a+b|≤|a|+|b|證：|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a?b=|a|2+|b|2+2|a||b|cos≤|a|2+|b|2+2|a||b|=(|a|+|b|)2即：|a+b|≤|a|+|b|例11.設(shè)作用于同一點(diǎn)O的三個(gè)力F1、F2、F3處于平衡狀態(tài)，如果|F1|=1，|F2|=2，F(xiàn)1與F2的夾角為.求①.F3的大?。虎?∠F3OF2的大小.解：①F1、F2、F3三個(gè)力處于平衡狀態(tài)，故F1+F2+F3=0，即F3=-（F1+F2）.∴|F3|=|F1+F2|=②如圖：以F2所在直線為x軸，合力作用點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系.將向量F1、F3正交分解，設(shè)∠F3OM=，由受力平衡知解之得；，于是：∠F3OF2四、梳理總結(jié)：1.兩個(gè)向量共線已知2.平面向量基本定理：如果和是同一平面內(nèi)的兩個(gè)，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量，3.平面向量的數(shù)量積：已知非零向量（1）其中為的夾角