學業(yè)分層測評(九)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1.下列結論正確的是()A.若y＝cosx，則y′＝sinxB.若y＝sinx，則y′＝－cosxC.若y＝eq\f(1,x)，則y′＝－eq\f(1,x2)D.若y＝eq\r(x)，則y′＝eq\f(\r(x),2)【解析】∵(cosx)′＝－sinx，∴A不正確；∵(sinx)′＝cosx，∴B不正確；∵(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))，∴D不正確.【答案】C2.(2023·濟南高二檢測)在曲線f(x)＝eq\f(1,x)上切線的傾斜角為eq\f(3,4)π的點的坐標為()A.(1，1) B.(－1，－1)C.(－1，1) D.(1，1)或(－1，－1)【解析】切線的斜率k＝taneq\f(3,4)π＝－1，設切點為(x0，y0)，則f′(x0)＝－1，又f′(x)＝－eq\f(1,x2)，∴－eq\f(1,xeq\o\al(2,0))＝－1，∴x0＝1或－1，∴切點坐標為(1，1)或(－1，－1).故選D.【答案】D3.對任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，則此函數(shù)解析式為()(x)＝x3 (x)＝x4－2(x)＝x3＋1 (x)＝x4－1【解析】由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4項，然后將x＝1代入選項中驗證可得，選B.【答案】B4.(2023·北京高二檢測)已知曲線y＝x3在點(2，8)處的切線方程為y＝kx＋b，則k－b＝() B.－4 D.－28【解析】∵y′＝3x2，∴點(2，8)處的切線斜率k＝f′(2)＝12.∴切線方程為y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.【答案】C5.若f(x)＝sinx，f′(α)＝eq\f(1,2)，則下列α的值中滿足條件的是()【導學號：94210042】\f(π,3) \f(π,6)\f(2,3)π \f(5,6)π【解析】∵f(x)＝sinx，∴f′(x)＝cosx.又∵f′(α)＝cosα＝eq\f(1,2)，∴α＝2kπ±eq\f(π,3)(k∈Z).當k＝0時，α＝eq\f(π,3).【答案】A二、填空題6.(2023·菏澤高二檢測)已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，則x＝________.【解析】因為f(x)＝x2，g(x)＝lnx，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝eq\f(1,x)且x>0，f′(x)－g′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,2)(舍去).故x＝1.【答案】17.直線y＝eq\f(1,2)x＋b是曲線f(x)＝lnx(x＞0)的一條切線，則實數(shù)b＝________.【解析】設切點坐標為(x0，y0)，則y0＝lnx0.∵y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，∴f′(x0)＝eq\f(1,x0)，由題意知eq\f(1,x0)＝eq\f(1,2)，∴x0＝2，y0＝ln2.由ln2＝eq\f(1,2)×2＋b，得b＝ln2－1.【答案】ln2－18.(2023·南京高二檢測)已知函數(shù)y＝f(x)的圖像在M(1，f(1))處的切線方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，則f(1)＋f′(1)＝__________.【解析】依題意知，f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，f′(1)＝eq\f(1,2)，∴f(1)＋f′(1)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)＝3.【答案】3三、解答題9.求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y＝xeq\r(x)；(2)y＝eq\r(5,x3)；(3)y＝log2x2－log2x；(4)y＝－2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f(x,4))).【解】(4)∵y＝－2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f(x,4)))＝2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(x,4)－1))＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.10.若曲線y＝xeq\s\up12(-\f(1,2))在點(a，aeq\s\up12(-\f(1,2)))處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為18，求a的值.【解】y′＝－eq\f(1,2)xeq\s\up12(-\f(3,2))，所以曲線y＝xeq\s\up12(-\f(1,2))在點(a，aeq\s\up12(-\f(1,2)))處的切線方程為y－aeq\s\up12(-\f(1,2))＝－eq\f(1,2)aeq\s\up12(-\f(3,2))(x－a).由x＝0得y＝eq\f(3,2)aeq\s\up12(-\f(1,2))，由y＝0得x＝3a，所以eq\f(1,2)·eq\f(3,2)aeq\s\up12(-\f(1,2))·3a＝18，解得a＝64.[能力提升]1.設f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則f2016(x)＝()x B.－sinxx D.－cosx【解析】f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，所以4為最小正周期，故f2016(x)＝f0(x)＝sinx.【答案】A2.已知直線y＝kx是曲線y＝ex的切線，則實數(shù)k的值為()【導學號：94210043】\f(1,e) B.－eq\f(1,e)C.－e 【解析】y′＝ex，設切點為(x0，y0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝kx\s\do2(0)，,y0＝ex\s\do2(0)，,k＝ex\s\do2(0)，))∴exeq\s\do2(0)＝exeq\s\do2(0)·x0，∴x0＝1，∴k＝e.【答案】D3.(2023·濰坊高二檢測)點P是f(x)＝x2上任意一點，則點P到直線y＝x－1的最短距離是__________.【解析】與直線y＝x－1平行的f(x)＝x2的切線的切點到直線y＝x－1的距離最小.設切點為(x0，y0)，則f′(x0)＝2x0＝1，∴x0＝eq\f(1,2)，y0＝eq\f(1,4)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))到直線y＝x－1的距離最短.∴d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)－1)),\r(12＋12))＝eq\f(3\r(2),8).【答案】eq\f(3\r(2),8)4.求證：曲線xy＝1上任何一點處的切線與坐標軸構成的三角形面積為常數(shù).【證明】由xy＝1，得y＝eq\f(1,x)，所以y′＝－eq\f(1,x2).在曲線xy＝1上任取一點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0)))，則過點P的切線的斜率k＝－eq\f(1,xeq\o\al(2,0))，切線方程為y－eq\f(1,x0)＝－eq\f(1,xeq\o\al(2,0))(x－x0)，即y＝－eq\f(1,xeq\o\al(2,0))x＋eq\f(2,x0).設該切線與x軸，y軸分別相交