梯形的多解題若EF是△ABC的中位線，則EF∥BC，一、主要知識(shí)點(diǎn)1平行線等分線段定理及推論：2梯形中位線定理和三角形中位線定理：若EF是梯形中位線，則EF∥AD∥BC，ADEFBC若AE=BE,EF∥AD∥BC,則DF=CF.AEFBC若AE=BE,EF∥BC,則AF=CF.一、主要知識(shí)點(diǎn)3梯形中常添加的輔助線：AD

BCAD

BCAD

BCAD

BCAD

BCEEOEFEF二、例題和練習(xí)例1.已知：如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分別為CD、AB的中點(diǎn)，且∠A+∠B=90°.求證：方法三.證明：作ME∥AD交AB于E，MF∥BC交AB于F.∵AB∥CD,∴AE=DM,BF=CM.∴EF=AB-CD.∵∠A=∠1,∠B=∠2,又∵∠A+∠B=90°,∴∠1+∠2=90°.∴△MEF是直角三角形.在Rt△MEF中，EN=FN,N是EF的中點(diǎn),例2.填空題：順次連結(jié)平行四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是_______________;順次連結(jié)矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是____________;順次連結(jié)菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是____________;順次連結(jié)正方形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是__________;順次連結(jié)梯形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是____________;順次連結(jié)等腰梯形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是_________;順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是__________________.結(jié)論：中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形；若原四邊形對(duì)角線相等，則中點(diǎn)四邊形是菱形；若原四邊形對(duì)角線垂直，則中點(diǎn)四邊形是矩形.二、例題和練習(xí)平行四邊形菱形矩形正方形平行四邊形菱形平行四邊形例3.一題多證：已知：如圖，梯形ABCD中，AB∥CD.以AD、AC為鄰邊作平行四邊形ACED，DC的延長(zhǎng)線交BE于F.求證：EF=FB.方法一：提示：延長(zhǎng)EC交EC交AB于M.AMCD是平行四邊形，AD=CM；ACED是平行四邊形，AD=CE.在△EMB中，CE=CM，CF∥AB.

∴EF=FB.（推論2）二、例題和練習(xí)例3.一題多證：已知：如圖，梯形ABCD中，AB∥CD.以AD、AC為鄰邊作平行四邊形ACED，DC的延長(zhǎng)線交BE于F.求證：EF=FB.方法二：提示：過(guò)E作EG∥AB交AD延長(zhǎng)線于G.∵AG∥CE,CD∥EG.∴DG=CE.∵AD=CE,AD=DG,在梯形GABE中，D是AG中點(diǎn)，DF∥AB.∴EF=FB.（推論1）二、例題和練習(xí)例3.一題多證：已知：如圖，梯形ABCD中，AB∥CD.以AD、AC為鄰邊作平行四邊形ACED，DC的延長(zhǎng)線交BE于F.求證：EF=FB.方法三：提示：連AE交CD于O.∵ACED是平行四邊形，

∴AO=EO.在△EAB中，O是AE中點(diǎn)，OF∥AB，∴EF=FB.（推論2）二、例題和練習(xí)例4.已知：如圖，EF為梯形ABCD的中位線，AH平分∠DAB交EF于M，DM的延長(zhǎng)線交AB于N.求證：△AND是等腰三角形.證明：∵EF為梯形ABCD的中位線，∴EF∥AB.在△DAN中，E為AD的中點(diǎn)，EM∥AB.∴M為DN中點(diǎn)(推論2).∵AH是∠DAB的平分線，∴∠1=∠2.又∠2=∠3，∴∠1=∠3.即AN=AD.△AND是等腰三角形.二、例題和練習(xí)例5.根據(jù)要求將下面題目改編為一道新題.已知：如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,PA=PD.求證：PB=PC.請(qǐng)將上述題目的條件“在等腰梯形ABCD中，AD∥BC”改為另一種四邊形.其余條件不變，使結(jié)論“PB=PC”仍然成立.再根據(jù)改編后的題目，畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知和求證，并進(jìn)行證明.[解]已知：矩形ABCD中，PA=PD.求證：PB=PC.證明：∵PA=PD,∴∠1=∠2.在矩形ABCD中，AB=DC.∠BAD=∠CDA=90°.∴∠3=∠4.∴△BAP≌△CDP.∴PB=PC.二、例題和練習(xí)例6.有一塊面積為1的正方形ABCD，M、N分別為AD、BC邊上的中點(diǎn)，將C點(diǎn)折至MN上，落在P點(diǎn)位置，折痕為BQ，連結(jié)PQ.求MP的長(zhǎng).解：連結(jié)BP.∵BQ是△BQC和△BQP的對(duì)稱軸.∴△BQC≌△BQP,∴BP=BC=1.∵M(jìn)、N是AD、BC邊上的中點(diǎn)，在Rt△BNP中，二、例題和練習(xí)三、練習(xí)題求證：三角形兩邊中點(diǎn)的連線與第三邊上的中線互相平分.已知：△ABC中，AD是BC中線，E、F分別是AB、AC中點(diǎn).求證：AD、EF互相平分.提示：連ED，F(xiàn)D.

∵ED是ABC的中位線,

∴ED∥AF,

∴四邊形AEDF是平行四邊形.即AD、EF互相平分.對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)的連線，構(gòu)成的四邊形是___________.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC,中位線EF分別與BD、AC交于G、H.若AD=6，BC=10，則GH=__________.三、練習(xí)題矩形2三、練習(xí)題一題多解.已知：如圖，ABCD中，AD=2AB.延長(zhǎng)BA到E，延長(zhǎng)AB到F，使EA=AB=BF.EC交FD于O點(diǎn).求證：EC⊥FD.方法一.提示：∵AD=2AB,AF=2AB.∴AD=AF.∴∠1=∠F.∵CD∥EF,∴∠2=∠F.∴∠1=∠2.同理，∠3=∠4.EC⊥FD.三、練習(xí)題一題多解.已知：如圖，ABCD中，AD=2AB.延長(zhǎng)BA到E，延長(zhǎng)AB到F，使EA=AB=BF.EC交FD于O點(diǎn).求證：EC⊥FD.方法二.提示：連MN.∵AD=AF,又∠1=∠F，CD∥EF，∠2=∠F.∴∠1=∠2，∠1=∠3.∴∠2=∠3，CD=CN.同理CD=DM,∴四邊形DMNC是菱形，∴EC⊥FD.三、練習(xí)題一題多解.已知：如圖，ABCD中，AD=2AB.延長(zhǎng)BA到E，延長(zhǎng)AB到F，使EA=AB=BF.