第八章動量定理(Momentumtheorem)返回總目錄TheoreticalMechanics第二篇動力學(xué)制作與設(shè)計山東大學(xué)工程力學(xué)系

TheoreticalMechanics§8.1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量(Momentumofparticleandaparticlesystem)返回首頁第八章動量定理TheoreticalMechanics

8.1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量8.1.1質(zhì)點的動量質(zhì)點的動量是用來度量質(zhì)點機械運動的一個物理量。質(zhì)點的動量等于其質(zhì)量與速度的乘積，即

動量是矢量，動量的方向與速度方向相同。在國際單位制中，動量的單位為kg·m/s。動量的量綱是返回首頁TheoreticalMechanics

8.1.2質(zhì)點系的動量返回首頁質(zhì)點系的動量：質(zhì)點系中各質(zhì)點動量的矢量和。簡稱質(zhì)點系的動量

由運動學(xué)關(guān)系將質(zhì)心坐標(biāo)公式

代入上式得

質(zhì)系的動量等于質(zhì)系的質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積，方向與質(zhì)心速度方向相同。8.1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量TheoreticalMechanics

圖示三種情形剛體的動量的計算：c)繞中心轉(zhuǎn)動的均質(zhì)輪，其動量為零。8.1.2質(zhì)點系的動量返回首頁b)a)c)a)方向與質(zhì)心速度方向相同均質(zhì)滾輪b)8.1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量TheoreticalMechanics

如果質(zhì)點系是由多個剛體組成，則質(zhì)點系動量為

mi、vCi分別為第

i個剛體的質(zhì)量和它的質(zhì)心的速度。8.1.2質(zhì)點系的動量返回首頁8.1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量TheoreticalMechanics

返回首頁8.1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量解：設(shè)桿OA、BC、滾子B及滑塊C的質(zhì)心速度分別為vD、vA

、vB、vC

，方向如圖所示，大小分別為vBvAvCvD例如圖所示，桿OA以勻角速繞O軸轉(zhuǎn)動，通過桿BC帶動滾子B沿水平面作純滾動，同時帶動滑塊C在鉛直軌道內(nèi)運動。桿OA、BC、滾子B及滑塊C質(zhì)量分別為m、2m、2m、2m，OA=AB=AC=r。試求此系統(tǒng)在如圖所示瞬時的動量

p。TheoreticalMechanics

返回首頁8.1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量建立如圖所示坐標(biāo)系，可得故p與x、y軸正向之間的夾角分別為vBvAvCvD

TheoreticalMechanics§8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理(Momentumtheoremofaparticleandaparticlesystem)返回首頁第八章動量定理TheoreticalMechanics

山東大學(xué)8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理8.2.1質(zhì)點的動量定理(Aparticle)8.2.2質(zhì)點系的動量定理(Aparticlesystem)

8.2.3流體在管道中流動時的動壓力(Dynamicpressure)

8.2.4動量守恒(Momentumconservation)

返回首頁TheoreticalMechanics

8.2.1質(zhì)點的動量定理返回首頁設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點在力F的作用下運動，速度為v：由牛頓第二定律：質(zhì)量是常量時，有：質(zhì)點動量定理的微分形式：質(zhì)點的動量對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點上的力。

質(zhì)點動量定理的積分形式：質(zhì)點在t1至t2時間內(nèi)動量的改變量等于作用于質(zhì)點的合力在同一時間內(nèi)的沖量。乘以dt積分8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

8.2.2質(zhì)點系的動量定理返回首頁作用于該質(zhì)點上的力有外力和內(nèi)力。將n個方程相加，得P=質(zhì)點系的動量質(zhì)點系動量定理的微分形式：質(zhì)點系動量對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于該質(zhì)點系上所有外力的矢量和。根據(jù)動量定理的微分形式，有取質(zhì)點系任一質(zhì)量為mi的質(zhì)點，速度為vi：8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

投影x、y、z

在瞬時t1至t2這段時間內(nèi)積分，得質(zhì)點系動量定理的積分形式：質(zhì)點系在t1至t2時間內(nèi)的動量的改變量等于作用于該質(zhì)點系的所有外力在同一時間內(nèi)的沖量的矢量和，即投影x、y、z

8.2.2質(zhì)點系的動量定理返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

8.2.4動量守恒如果外力系的主矢量為零，即如果外力系的主矢量在某一坐標(biāo)軸上的投影為零，即質(zhì)點系動量守恒p=常矢量

=常量

質(zhì)點系動量守恒返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

8.2.3流體在管道中流動時的動壓力以定常流動流體動約束力的確定為例，說明質(zhì)點系動量定理在流體動力學(xué)中的應(yīng)用。一般流體流動的性質(zhì)是十分復(fù)雜的，在此只討論不可壓縮的理想流體，而且流動是定常的，即流體各質(zhì)點流經(jīng)空間同一固定點的速度不隨時間改變。返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

圖示管道中充滿不可壓縮定常流動的流體。管道壁和進出口截面形成一邊界面，稱為控制面，取控制面ABCD內(nèi)的流體為研究對象。設(shè)進出口截面面積分別為A1和A2，流體速度分別為v1和v2，流體密度為是常量，體積流量qv也為常量。根據(jù)連續(xù)流條件在瞬時t，所研究流體的動量為pABCD。經(jīng)過△

t

時間，流體運動到了abcd位置，其動量為pabcd。在△

t時間間隔內(nèi)質(zhì)點系動量的增量為dp

8.2.3流體在管道中流動時的動壓力返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

等號兩邊同時除以dt

研究流體所受到的外力有：流體的重力W，管壁的反力FN，以及進口截面AB、出口截面CD上的流體壓力F1、F2（這些力都是分布力的合力）。8.2.3流體在管道中流動時的動壓力返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

由動量定理得它表明：在穩(wěn)定流動中，管內(nèi)液體在單位時間流出的動量與流入的動量之差，等于作用在管內(nèi)液體上的體積力與表面力的矢量和（主矢），這就是關(guān)于液體流動的歐拉公式。

8.2.3流體在管道中流動時的動壓力返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

得到附加動約束力FN的表達式若將管壁對于液體的約束力FN分為兩部分。為液體動量不改變時，管壁對液體的靜約束力；

為對應(yīng)于動量變化而產(chǎn)生的附加動約束力。則有流量、進出口截面處的速度矢量差越大，附加動約束力越大。因此，設(shè)計大流量或高速流動管道時，應(yīng)考慮附加動約束力的影響。8.2.3流體在管道中流動時的動壓力返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

例題例一水柱以速度v沿水平方向射入一光滑葉片。設(shè)水柱的射入速度與葉片相切，水柱的截面積為A，密度為，水柱離開葉片時的傾角為，不計水柱的重量。若葉片固定不動，求葉片對水柱的附加動約束力主矢的分量Fx和Fy。

解：選擇葉片上的水柱為研究對象。因AB、CD兩處截面積A和密度均相等，所以v1＝v2＝v，葉片僅改變水流速的方向。

返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

例題向x軸投影向y軸投影返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

幾點討論：質(zhì)系動量的變化只決定于外力的主矢量。內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的總動量，只能使系統(tǒng)中各質(zhì)點間彼此進行動量交換。只有作用于質(zhì)點系上的外力才能改變質(zhì)點系的動量。動量守恒方程中所用的速度必須是絕對速度。要確定一個正方向，必須按動量投影的正負(fù)去計算。在動力學(xué)問題中，動量守恒定律常用來求速度。8.2.4動量守恒返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

8.2.4動量守恒返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理例8.3如圖所示，物塊A可沿光滑水平面自由滑動，其質(zhì)量為，小球B的質(zhì)量為，以細(xì)桿與物塊鉸接。設(shè)桿長為l，質(zhì)量不計，初始時系統(tǒng)靜止，并有初始擺角；釋放后，細(xì)桿近似以規(guī)律擺動（k為已知常數(shù)）。求物塊A的最大速度。解：取物塊與小球為研究對象。重力及水平面的約束反力均為鉛直方向。此系統(tǒng)水平方向不受外力作用，則沿水平方向動量守恒TheoreticalMechanics

8.2.4動量守恒返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理細(xì)桿的角速度為，當(dāng)時，其絕對值最大，此時應(yīng)有coskt

=

0，即。由此，當(dāng)細(xì)桿鉛直時小球相對于物塊有最大的水平速度，其值為當(dāng)此速度向左時，物塊應(yīng)有向右的絕對速度，設(shè)為v，而小球向左的絕對速度值為。根據(jù)動量守恒定律，有 TheoreticalMechanics

8.2.4動量守恒返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理物塊的速度為當(dāng)時，也有時小球相對于物塊有向右的最大速度，可求得物塊有向左的最大速度TheoreticalMechanics

例真空中斜向拋出一物體，在最高點時，物體炸裂成兩塊，一塊恰好沿原軌道返回拋射點O，另一塊落地點的水平距離OB則是未炸裂時應(yīng)有水平距離OB0的兩倍，求物體炸裂后兩塊質(zhì)量之比。例題返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理解：設(shè)炸裂后兩物塊的質(zhì)量分別為m1與m2，炸裂前共同速度為v，炸裂后的速度分別為v1與v2。TheoreticalMechanics

由于，所以系統(tǒng)在x方向動量守恒。例題設(shè)下落的水平距離返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

由于炸裂前后，水平方向的運動為勻速運動，水平方向運動的距離正比于水平速度，即同理所以解得例題返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理

TheoreticalMechanics§8.3質(zhì)心運動定理返回首頁第八章動量定理TheoreticalMechanics

8.3質(zhì)心運動定理返回首頁將質(zhì)點系的動量p=MvC代入動量定理的表達式質(zhì)心運動定理：質(zhì)點系的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積等于作用于質(zhì)點系的外力的矢量和。質(zhì)心運動定理描述的是質(zhì)點系隨同質(zhì)心的平行移動。TheoreticalMechanics

（1）質(zhì)系質(zhì)心的運動，可以視為一質(zhì)點的運動，如將質(zhì)系的質(zhì)量集中在質(zhì)心上，同時將作用在質(zhì)系上所有外力都平移到質(zhì)心上，則質(zhì)心運動的加速度與所受外力的關(guān)系符合牛頓第二定律。幾點討論如在定向爆破中，爆破時質(zhì)系中各質(zhì)點的運動軌跡不同，但質(zhì)心的運動軌跡近似一拋物線，由此可初步估計出大部分物塊堆落的地方。返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

返回首頁定向爆破8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

福州火車站舊站房定向爆破成功(1)返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

福州火車站舊站房定向爆破成功(2)返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

福州火車站舊站房定向爆破成功(3)返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

福州火車站舊站房定向爆破成功(4)返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

杭州鐵資大廈爆破成功返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

西安浐河定向爆破遇尷尬大樓嚴(yán)重傾斜但未倒(1)返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

西安浐河定向爆破遇尷尬大樓嚴(yán)重傾斜但未倒(2)返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

西安浐河定向爆破遇尷尬大樓嚴(yán)重傾斜但未倒(3)返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

宜賓一樓定向爆破不成炸樓炸成“比薩斜塔”返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

你知道爆破飛石散落的地點是根據(jù)什么計算出來的嗎？安放炸藥的位置如何確定？

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（2）質(zhì)系的內(nèi)力不影響質(zhì)心的運動，只有外力才能改變質(zhì)心的運動。返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

汽車行駛是靠車輪與路面的摩擦力。發(fā)動機內(nèi)氣體的爆炸力，對汽車來說是內(nèi)力。返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

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（3）應(yīng)用時取其投影式返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

（4）剛體系統(tǒng)質(zhì)心運動定理矢量形式在直角坐標(biāo)上投影形式是作用于整個剛體系上外力的主矢量返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

質(zhì)心運動守恒定理返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

返回首頁8.3質(zhì)心運動定理例如圖所示，電動機的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子重，轉(zhuǎn)子重。轉(zhuǎn)子的軸通過定子的質(zhì)心O1，但由于制造誤差，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到O1的距離為e。已知轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)動，角速度為。求基礎(chǔ)的支座反力。解：取電動機外殼與轉(zhuǎn)子組成質(zhì)點系。這樣可不考慮轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的內(nèi)力；外有定子