9.6三定問題及最值（精練）【題組一定點】1．（2021·北京新農村中學高三開學考試）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點的直線（不與坐標軸垂直）與橢圓交于、兩點，設點關于軸對稱點為.直線與軸的交點是否為定點？請說明理由.2．（2021·全國高三開學考試（理））已知雙曲線的離心率為，且該雙曲線經過點．（1）求雙曲線C的方程；（2）設斜率分別為，的兩條直線，均經過點，且直線，與雙曲線C分別交于A，B兩點（A，B異于點Q），若，試判斷直線AB是否經過定點，若存在定點，求出該定點坐標；若不存在，說明理由．3．（2021·江蘇周市高級中學高三開學考試）在平面直角坐標系中，已知動點到點的距離與它到直線的距離之比為．記點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點作兩條互相垂直的直線，．交曲線于，兩點，交曲線于，兩點，線段的中點為，線段的中點為．證明：直線過定點，并求出該定點坐標．4（2021·全國）已知雙曲線（，）的左焦點為，，是雙曲線上關于原點對稱的兩點，直線與雙曲線的另一個交點是，直線與雙曲線的另一個交點是．當點的坐標為時，．（1）求雙曲線的標準方程；（2）當點在雙曲線上運動時，證明：直線經過定點．5（2021·全國高三）雙曲線經過點，且虛軸的一個頂點到一條漸近線的距離為.（1）求雙曲線的方程；（2）過點的兩條直線，與雙曲線分別交于，兩點(，兩點不與點重合)，設直線，的斜率分別為，，若，證明：直線過定點.6．（2021·全國高三專題練習）已知曲線，為曲線上一動點，過作兩條漸近線的垂線，垂足分別是和.（1）當運動到時，求的值；（2）設直線（不與軸垂直）與曲線交于、兩點，與軸正半軸交于點，與軸交于點，若，，且，求證為定點.【題組二定值】1．（2021·湖北襄陽市·襄陽五中高三月考）已知雙曲線：的左、右頂點分別為，過右焦點的直線與雙曲線的右支交于兩點（點在軸上方）．（1）若，求直線的方程；（2）設直線的斜率分別為，，證明：為定值．2．（2021·廣東珠海市·高三月考）已知雙曲線的一個焦點為，且經過點（1）求雙曲線C的標準力程；（2）己知點A是C上一定點，過點的動直線與雙曲線C交于P，Q兩點，若為定值，求點A的坐標及實數的值．3．（2021·福建高三月考）已知雙曲線：(，)的左、右焦點分別為，，雙曲線的右頂點在圓：上，且．(1)求雙曲線的標準方程；(2)動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點、，問(為坐標原點)的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由．4．（2021·全國高三月考）已知雙曲線與有相同的漸近線，點為的右焦點，為的左，右頂點.（1）求雙曲線的標準方程；（2）若直線過點交雙曲線的右支于兩點，設直線斜率分別為，是否存在實數入使得?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.5．（2021·河北唐山·高三開學考試）已知雙曲線E：的離心率為2，點在E上.（1）求E的方程：（2）過點的直線1交E于不同的兩點A，B（均異于點P），求直線PA，PB的斜率之和.6．（2021·渝中·重慶巴蜀中學）已知雙曲線的漸近線方程為：，且過點（1）求雙曲線的標準方程（2）過右焦點且斜率不為的直線與交于，兩點，點坐標為，求【題組三定直線】1．（2021·北京二中高三）已知橢圓的離心率為，橢圓C的下頂點和上項點分別為，且，過點且斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點.（1）求橢圓C的標準方程；（2）當k=2時，求△OMN的面積；（3）求證：直線與直線的交點T恒在一條定直線上.2．（2021·上海徐匯區(qū)·位育中學）已知橢圓的左、右焦點分別為、，且橢圓上存在一點P，滿足，.（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知A、B分別是橢圓C的左、右頂點，過的直線交橢圓C于M、N兩點，記直線的交點為T，是否存在一條定直線l，使點T恒在直線l上？3．（2021·福建漳州三中高三）已知復數在復平面內對應的點為，且滿足，點的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）設，，若過的直線與交于，兩點，且直線與交于點.證明：（i）點在定直線上；（ii）若直線與交于點，則.4．（2021·上海高三）設直線（其中，為整數）與橢圓交于不同兩點，，與雙曲線交于不同兩點，，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由．5．（2021·江蘇南通·高三）已知為拋物線上位于第一象限的點，為的焦點，與交于點(異于點).直線與相切于點，與軸交于點.過點作的垂線交于另一點.（1）證明：線段的中點在定直線上；（2）若點的坐標為，試判斷，，三點是否共線.6．（2021·江蘇高三）已知拋物線，為拋物線外一點，過點作拋物線的切線交拋物線于，兩點，交軸于，兩點.（1）若，設的面積為，的面積為，求的值；（2）若，求證：的垂心在定直線上.【題組四最值（范圍）】1．（2021·江西景德鎮(zhèn)市·景德鎮(zhèn)一中高三月考（理））已知橢圓的短軸長為，過下焦點且與軸平行的弦長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）若、分別為橢圓的右頂點與上頂點，直線與橢圓相交于、兩點，求四邊形的面積的最大值及此時的值.2．（2021·上海市控江中學高三開學考試）在平面直角坐標系中，拋物線，點，，為上的兩點，在第一象限，滿足.（1）求證：直線過定點，并求定點坐標；（2）設為上的動點，求的取值范圍；（3）記△的面積為，△的面積為，求的最小值.3．（2021·重慶北碚區(qū)·西南大學附中高三月考）已知直線過橢圓的右焦點，且交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點是.（1）求橢圓的方程；（2）過原點的直線與線段AB相交（不含端點）且交橢圓于C，D兩點，求四邊形面積的最大值.4．（2021·黑龍江哈爾濱市第六中學校高三（理））如圖所示，、分別是橢圓：的左、右焦點，為橢圓上一動點，當點在橢圓的上頂點時，且．（1）求橢圓的標準方程；（2）直線與橢圓的另一交點為，過作直線的垂線，與圓交