第二節(jié)二重積分的計(jì)算(二)二重積分的計(jì)算（一）在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分（累次積分）或yxdcX-型Y-型復(fù)習(xí)yxab例

計(jì)算其中xyo因此,針對不同形狀的積分區(qū)域D以及被積函數(shù)的特點(diǎn),選擇不同的坐標(biāo)系來計(jì)算二重積分是一個(gè)重要的問題.第二節(jié)二重積分的計(jì)算解(一)二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算(二)無界區(qū)域的的反常二重積分第二節(jié)二重積分的計(jì)算(二)極軸X極點(diǎn)Orxy

如果選取以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸為極軸，原點(diǎn)Ox軸二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算用以極點(diǎn)O為中心的一族同心圓,

設(shè)過極點(diǎn)O的射線與積分區(qū)域D的邊界曲線的交點(diǎn)不多于兩點(diǎn)，把區(qū)域D分成n個(gè)小區(qū)域，在極坐標(biāo)系下，以及從極點(diǎn)出發(fā)的一族射線,在直角坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下極坐標(biāo)系下的面積微元二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算則得故面積微元為這樣二重積分在極坐標(biāo)系下的表達(dá)式為二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算

直角坐標(biāo)系下與極坐標(biāo)系下二重積分的轉(zhuǎn)換公式

如何計(jì)算極坐標(biāo)系下的二重積分？化為二次積分或累次積分來計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下的表達(dá)式為二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算要解決兩個(gè)問題：（2）確定積分的上、下限（1）選擇積分次序化為二次積分或累次積分來計(jì)算二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算

極坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分(1)若極點(diǎn)O在區(qū)域D

之外則有

(2)極點(diǎn)O在區(qū)域D的邊界線上則有xoxoDD（只研究先對r后對θ的積分次序）下面根據(jù)極點(diǎn)O與區(qū)域D的位置分三種情況討論型區(qū)域(3)若極點(diǎn)O在區(qū)域D的內(nèi)部則有xoDo特殊地DD:x二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算或被積函數(shù)為f(x2+y2)、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分積分特征利用極坐標(biāo)常能簡化計(jì)算.如果積分區(qū)域D為圓、半圓、圓環(huán)、扇形域等，等形式，要點(diǎn)與步驟:用直角坐標(biāo)系計(jì)算繁鎖或不能計(jì)算的可以用極坐標(biāo)計(jì)算;(2)畫區(qū)域圖,列出型區(qū)域,寫成極坐標(biāo)下的二次積分.二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算極坐標(biāo)下二重積分計(jì)算的基本步驟

(1)將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重積分.①將

代入被積函數(shù),

②將區(qū)域D

的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的表達(dá)式，確定相應(yīng)的積分限.

將面積元素dxdy換為

.(2)將極坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分.(3)計(jì)算二次積分.則解二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算例2

計(jì)算其中解故

注：由于的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角坐標(biāo)計(jì)算.xyo在極坐標(biāo)系下二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算xy例3解二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算例4

計(jì)算積分積分域是圓環(huán)，xyo解D：二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算P36713（3）

例5

計(jì)算二重積分

其中區(qū)域D為由x=0及

x2+y2=2y圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域.解D的邊界曲線為x2+y2=2y，此時(shí)D可以表示為xyo其極坐標(biāo)表達(dá)式二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算解故例6二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算例7解二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算利用區(qū)域的對稱性和函數(shù)奇偶性計(jì)算二重積分二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算解二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算例7解二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算

當(dāng)積分區(qū)域由直線和除圓以外的其它曲線圍成時(shí)，

一般說來，當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A形、扇形、環(huán)形區(qū)域，

選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系對計(jì)算二重積分的計(jì)算是至關(guān)重要的.而被積函數(shù)中含有

項(xiàng)時(shí),選擇坐標(biāo)系選擇積分次序二重積分計(jì)算過程通常選擇在直角坐標(biāo)系下計(jì)算.下的計(jì)算方法往往比較簡便.二重積分計(jì)算方法總結(jié)：化為累次積分計(jì)算累次積分二重積分可在兩種坐標(biāo)系下計(jì)算.采用極坐標(biāo)系三、無界區(qū)域上的廣義二重積分先在有界區(qū)域內(nèi)積分，然后令有界區(qū)域趨于原無界區(qū)域時(shí)取極限求解.例9

求廣義積分(正態(tài)分布）基本解法：解因?yàn)楸环e函數(shù)為偶函數(shù),例9

求廣義積分所以，不能直接用一元函數(shù)的廣義積分計(jì)算。(正態(tài)分布）又因?yàn)楸环e函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù),D令利用極坐標(biāo)計(jì)算H，二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算令利用極坐標(biāo)計(jì)算H，所以D正態(tài)分布二、無界區(qū)域上的廣義二重積分基本解法：

先在有界區(qū)域內(nèi)積分，然后令有界區(qū)域趨于原無界區(qū)域時(shí)取極限求解.解

先考慮圓域二、無界區(qū)域上的廣義二重積分二.二重積分在極坐標(biāo)系中的計(jì)算一.二重積分在直角坐標(biāo)系中計(jì)算小結(jié)選擇坐標(biāo)系選擇積分次序化為累次積分計(jì)算累次積分第二節(jié)二重積分的計(jì)算作業(yè)：P36611（1），12（3），13（3）14

下次課內(nèi)容第九章

二重積分習(xí)題課第十章微分方程三.廣義二重積分基本解法

先在有界區(qū)域內(nèi)積分，然后令有界區(qū)域趨于原無界區(qū)域時(shí)取極限求解.1.二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算（在積分中注意使用對稱性）小結(jié)2.廣義二重積分基本解法：

先在有界區(qū)域內(nèi)積分，然后令有界區(qū)域趨于原無界區(qū)域時(shí)取極限求解.第二節(jié)二重積分的計(jì)算(二)解答思考題練習(xí)題練習(xí)題答案由區(qū)域的對稱性和函數(shù)的奇偶性可得oxyD解例7二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算oxy11D解例8二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算二、二重積分在極坐標(biāo)系下