2022-2023學(xué)年北京市東城區(qū)高一上學(xué)期期末統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)交集的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A2．不等式的解集是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】B【分析】直接解出不等式即可.【詳解】，解得或，故解集為或，故選：B.3．下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】根據(jù)冪函數(shù)圖像與性質(zhì)可知，對A選項(xiàng)在單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤，對D選項(xiàng)在單調(diào)性遞增，故D錯(cuò)誤，根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)可知在單調(diào)遞減，故C正確，根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)可知在單調(diào)性遞增.故選：C.4．命題“”的否定是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)存在命題的否定即可得到答案.【詳解】根據(jù)存在命題的否定可知，存在變?nèi)我?，范圍不變，結(jié)論相反，故其否定為.故選：A.5．已知，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】利用基本不等式的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)椋?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.所以的最小值為.故選：D6．函數(shù)的圖象關(guān)于（

）A．x軸對稱 B．y軸對稱 C．原點(diǎn)對稱 D．直線對稱【答案】C【分析】求出，可知，可得函數(shù)為奇函數(shù)，進(jìn)而得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，所以有，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.故選：C.7．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及充分條件、必要條件即可求解.【詳解】推不出（舉例，），而,“”是“”的必要不充分條件，故選：B8．已知函數(shù)，對a，b滿足且，則下面結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知移項(xiàng)化簡即可得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，對a，b滿足且，所以，則所以，即，解得故選：D9．記地球與太陽的平均距離為R，地球公轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G，根據(jù)萬有引力定律和牛頓運(yùn)動定律知：太陽的質(zhì)量.已知，由上面的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出太陽的質(zhì)量約為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋杂傻茫?，即，又，所?故選：A.10．已知實(shí)數(shù)互不相同，對滿足，則對（

）A．2022 B． C．2023 D．【答案】D【分析】根據(jù)代數(shù)基本定理進(jìn)行求解即可..【詳解】國為滿足，所以可以看成方程的個(gè)不等實(shí)根，根據(jù)代數(shù)基本定理可知：對于任意實(shí)數(shù)都有以下恒等式，，令，于是有，，，，，，所以，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)代數(shù)基本定理是解題的關(guān)鍵.二、填空題11．函數(shù)的定義域是__________.【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)真數(shù)大于零可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】由得：，的定義域?yàn)?故答案為：.12．__________.【答案】6【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)運(yùn)算、對數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.【詳解】.故答案為：613．若，，則______．【答案】【分析】由，可知，再結(jié)合，及，可求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，．故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、雙空題14．如圖，單位圓被點(diǎn)分為12等份，其中.角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則__________；若，則角的終邊與單位圓交于點(diǎn)__________.（從中選擇，寫出所有滿足要求的點(diǎn)）【答案】

【分析】求出終邊經(jīng)過則對應(yīng)的角和的關(guān)系.【詳解】，所以終邊經(jīng)過則角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則，所以，即或即或經(jīng)過點(diǎn)故答案為：；15．已知函數(shù),①當(dāng)時(shí)，在上的最小值為__________；②若有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.【答案】

；

或．【分析】①根據(jù)函數(shù)式分段確定函數(shù)的單調(diào)性后可得最小值；②結(jié)合函數(shù)和的圖象，根據(jù)分段函數(shù)的定義可得參數(shù)范圍．【詳解】①，時(shí)，是增函數(shù)，，時(shí)，是增函數(shù)，因此，所以時(shí)，的最小值是；②作出函數(shù)和的圖象，它們與軸共有三個(gè)交點(diǎn)，，，由圖象知有2個(gè)零點(diǎn)，則或．故答案為：；或．四、解答題16．已知函數(shù).(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求的值域.【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式和特殊角三角函數(shù)值求解；(2)利用余弦函數(shù)性質(zhì)及不等式性質(zhì)求的值域.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?）由(1)，又，所以，所以，故當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?17．已知關(guān)于x的不等式的解集為A.(1)當(dāng)時(shí)，求集合A；(2)若集合，求a的值；(3)若，直接寫出a的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）直接解不等式可得；（2）由題意得是方程的根，代入后可得值；（3）代入后不等式不成立可得．【詳解】（1）時(shí)，不等式為，即，，∴；（2）原不等式化為，由題意，解得，時(shí)原不等式化為，或，滿足題意．所以；（3），則，解得．18．函數(shù)的定義域?yàn)?，若對任意的，均?(1)若，證明：；(2)若對，證明：在上為增函數(shù)；(3)若，直接寫出一個(gè)滿足已知條件的的解析式.【答案】(1)證明過程見解析(2)證明過程見解析(3)，（答案不唯一）【分析】（1）賦值法得到；（2）賦值法，令，且，從而得到，證明出函數(shù)的單調(diào)性；（3）從任意的，均有，可得到函數(shù)增長速度越來越快，故下凸函數(shù)符合要求，構(gòu)造出符合要求的函數(shù)，并進(jìn)行證明【詳解】（1）令，則，因?yàn)?，所以；?）令，且，則，所以，故，因?yàn)閷?，所以，故，即，在上為增函?shù)；（3）構(gòu)造，，滿足，且滿足對任意的，，理由如下：，因?yàn)?，故，，故對任意的?19．已知函數(shù).(1)若為偶函數(shù)，求a的值；(2)從以下三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知條件，記所有滿足條件a的值構(gòu)成集合A，若，求A.條件①：是增函數(shù)；條件②：對于恒成立；條件③：，使得.【答案】(1)；(2)選①②，不存在；選①③，；選②③，．【分析】（1）由偶函數(shù)的定義求解；（2）選①②，時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得是增函數(shù)，時(shí)，由單調(diào)性的定義得函數(shù)的單調(diào)性，然后在時(shí)，由有解，說明不滿足②不存在；選①③，同選①②，由單調(diào)性得，然后則函數(shù)的最大值不大于4得的范圍，綜合后得結(jié)論；選②③，先確定恒成立時(shí)的范圍，再換元確定新函數(shù)的單調(diào)性得最大值的可能值，從而可得參數(shù)范圍．【詳解】（1）是偶函數(shù)，則，恒成立，∴，即；（2）若選①②，（），若，則是增函數(shù)，由得，因此不恒成立，不合題意，若，設(shè)，則，恒成立，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，，，是減函數(shù)，時(shí)，，，，是增函數(shù)，又是增函數(shù)，因此在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，不合題意．故不存在滿足題意；若選①③，若，則是增函數(shù)，若，設(shè)，則，恒成立，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，，，是減函數(shù)，時(shí)，，，，是增函數(shù)，又是增函數(shù)，因此在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，不合題意．故不存在滿足題意；要滿足①，則，所以時(shí)，，由得，綜上，；所以．若選②③，若，則由，不恒成立，只有時(shí)，恒成立，設(shè)，則，又時(shí)，，，恒成立，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，，，是減函數(shù)，時(shí)，，，，是增函數(shù)，取任意正數(shù)時(shí)，的最大值是或，要滿足③，則或，或，所以，所以．20．對于非空數(shù)集A，若其最大元素為M，最小元素為m，則稱集合A的幅值為，若集合A中只有一個(gè)元素，則.(1)若，求；(2)若，，求的最大值，并寫出取最大值時(shí)的一組；(3)若集合的非空真子集兩兩元素個(gè)數(shù)均不相同，且，求n的最大值.【答案】(1)(2)的最大值為，(3)n的最大值為11【分析】（1）根據(jù)新定義即可求出；（2）由，且要使得取到最大，則只需中元素不同且7,8,9分布在3個(gè)集合中，4,5,6,分布在3個(gè)集合中，1,2,3分布在3個(gè)集合中這樣差值才會最大，總體才會有最大值.（3）要n的值最大，則集合的幅值最小，且是集合的兩兩元素個(gè)數(shù)均不相同的非空真子集，故對集合中元素分析列出方程解出即可.【詳解】（1）由集合知，，所以.（2）因?yàn)椋?，由此可知集合中各?個(gè)元素，且完全不相同，根據(jù)定義要讓取到最大值，則只需中元素不同且7,8,9分布在3個(gè)集合中，4,5,6,分布在3個(gè)集合中，1,2,3分布在3個(gè)集合中這樣差值才會最大，總體才會有最大值，所以的最大值為，所以有一組滿足題意，（3）要n的值最大，則集合的幅值要盡量最小，故幅值最小從0開始，接下來為，因?yàn)槭羌系膬蓛稍貍€(gè)數(shù)均不相同的非空真子集，不妨設(shè)是集合中只有一個(gè)元素的非空真子集，此時(shí)，例如,則是集合中有兩個(gè)元素的非空真子集，且，例如，同理是集合中有三個(gè)元素的非空真子集，且，例如，是集合中有個(gè)元素的非空真子集，且，例如，所以，解得或（舍去）