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2021-2022學(xué)年湖北省襄陽(yáng)市第五中學(xué)高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.復(fù)數(shù)的虛部是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】先根據(jù)模的定義計(jì)算,并化簡(jiǎn)得到,再根據(jù)虛部的定義作出判定.【詳解】∵,∴的虛部為,故選:A.2.設(shè)是兩個(gè)平面,是兩條直線,有下列四個(gè)命題:(1)如果,那么.(2)如果,那么.(3)如果,那么.其中正確命題的個(gè)數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【詳解】對(duì)于①,,則的位置關(guān)系無(wú)法確定,故錯(cuò)誤;對(duì)于②,因?yàn)椋赃^(guò)直線作平面與平面相交于直線,則c,因?yàn)?,,故②正確;對(duì)于③,由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可知正確;故本題正確答案為3.已知向量,,且在上的投影為,則(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)在上的投影為可求得,再根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式求得答案.【詳解】由題意得:在上的投影,即,故,故選:B4.在棱長(zhǎng)為2的正方體中,是棱的中點(diǎn),過(guò),,作正方體的截面,則這個(gè)截面的面積為A. B. C. D.【答案】C【分析】設(shè)的中點(diǎn)為,則,連接,則梯形就是過(guò),,正方體的截面,其面積為,故選C.5.如圖,已知是棱長(zhǎng)為2的正方體,E為的中點(diǎn),F(xiàn)為上一點(diǎn),則三棱錐的體積是(
)A.6 B. C.2 D.【答案】B【分析】根據(jù)給定條件,利用等體積法求解三棱錐的體積作答.【詳解】在正方體中,棱長(zhǎng)為2,E為的中點(diǎn),則,F(xiàn)為上一點(diǎn),而平面,平面,則點(diǎn)F到平面的距離為長(zhǎng),所以三棱錐的體積.故選:B6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則下列說(shuō)法正確的是(
)A.B.不等式的解集為,C.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為D.若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)記為,則是奇函數(shù)【答案】D【分析】通過(guò)最高點(diǎn)得到的值,通過(guò)周期求出的值,通過(guò)五點(diǎn)法求出的值,得到函數(shù)的解析式,通過(guò)三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖象,可得,,.結(jié)合五點(diǎn)法作圖,可得,,,故A錯(cuò)誤;不等式,即,,求得,故不等式的解集為,,故B錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,沒(méi)有單調(diào)性,故C錯(cuò)誤;將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)記為,則是奇函數(shù),故D正確.故選:D.7.在四棱錐中,底面為正方形,且平面,,則直線與直線所成角的余弦值是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】連接交于點(diǎn),取的中點(diǎn),易得,從而直線與直線所成角,即為(或其補(bǔ)角),然后分別在和中,求得AE和OE,然后在中,利用余弦定理求解.【詳解】解:如圖所示:連接交于點(diǎn),取的中點(diǎn),連接,.不妨設(shè).因?yàn)樗倪呅问钦叫?,所以是的中點(diǎn),又是的中點(diǎn),所以.所以直線與直線所成角,即為(或其補(bǔ)角).因?yàn)槠矫?,又,平面,所以,.在中,,,,所以;在中,,,,所以,所以;在中,,,,所以,即直線與直線所成角的余弦值是.故選:A.8.在銳角△ABC中,,,則△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】利用面積公式和余弦定理可得,然后根據(jù)正弦定理及三角變換可得,再根據(jù)三角形是銳角三角形,得到的范圍,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求取值范圍的問(wèn)題.【詳解】∵,∴,∴,即,為銳角,∴,又,由正弦定理可得,所以,其中,,因?yàn)闉殇J角三角形,所以,所以,又,∴,故的周長(zhǎng)的取值范圍是.故選:C.二、多選題9.在四個(gè)正方體中,,,均為所在棱的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn),,作正方體的截面,則在各個(gè)正方體中,直線與平面垂直的是(
)A. B.C. D.【答案】ABC【分析】選項(xiàng)A,B,C,根據(jù),,均為所在棱的中點(diǎn),由平面的基本性質(zhì)得到,,,,,六點(diǎn)共面,然后由正方體的結(jié)構(gòu)特征,直線與平面垂直,且平面與平面重合判斷;選項(xiàng)D,根據(jù)不為直角判斷.【詳解】如圖所示:在正方體中,設(shè)點(diǎn),,均為所在棱的中點(diǎn),則有,,,,,六點(diǎn)共面.由題易知直線,與平面垂直,選項(xiàng)A,B,C中的平面與平面重合,滿足題意;對(duì)于選項(xiàng)D,由于,分別為棱,的中點(diǎn),所以,故為異面直線,所成的角且,即不為直角,故與不垂直,故與平面不垂直,故選:ABC.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定以及平面的基本性質(zhì),還考查了空間想象和分析問(wèn)題的能力,屬于中檔題.10.在中,,,分別為,,的對(duì)邊,下列敘述正確的是(
)A.若,則為等腰三角形B.若為銳角三角形,則C.若,則為鈍角三角形D.若,則【答案】BCD【分析】由正弦定理得到,求得或,可判定A不正確;由銳角三角形,得到,結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性,可判定B正確;由,得到中一定有一個(gè)小于0成立,可判定C正確;由正弦定理和兩角和的正弦公式,化簡(jiǎn)得到,可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中,由,可得,即,因?yàn)?,可得或,即或,所以為等腰或直角三角形,所以A不正確;對(duì)于B中,由為銳角三角形,可得,則,因?yàn)?,可得,又因?yàn)楹瘮?shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù),所以,所以B正確;對(duì)于C中,因?yàn)?,由,可得中一定有一個(gè)小于0成立,不妨設(shè),可得,所以為鈍角三角形,所以C正確;對(duì)于D中,因?yàn)?,由正弦定理可得,因?yàn)?,可得,所以,可得,因?yàn)?,可得,所以,即,所以,所以D正確.故選:BCD.11.設(shè)函數(shù).已知在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則下列四個(gè)說(shuō)法正確的是(
)A.的取值范圍是B.在上單調(diào)遞增C.在上存在,,滿足D.在上有且僅有1個(gè)最大值【答案】AC【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)及條件可得,即,然后結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】∵在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn),由,得,∴,即,故A正確;由,此時(shí),,所以在上不單調(diào)遞增,故B錯(cuò)誤;由上知在能取到最大值和最小值,所以存在,,滿足,故C正確;由上可知,時(shí),,由,可得,所以在上可能有2個(gè)最大值,故D錯(cuò)誤.故選:AC.12.如圖,已知棱長(zhǎng)為1的正方體中,下列命題正確的是(
)A.正方體外接球的半徑為B.點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng),則四面體的體積不變C.與所有12條棱都相切的球的體積為D.M是正方體的內(nèi)切球的球面上任意一點(diǎn),則長(zhǎng)的最小值是【答案】BC【分析】對(duì)于A,利用正方體的性質(zhì)即得,對(duì)于B,判斷出四面體的高為1,底面積不變即得,對(duì)于C.先求出球的半徑,即可求體積,對(duì)于D.判斷出線段長(zhǎng)度的最小值是到球心的距離減去內(nèi)切球的半徑,直接求解即可.【詳解】對(duì)于A,由正方體的性質(zhì)可知正方體外接球的直徑為其體對(duì)角線,故正方體外接球的半徑為,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),則四面體的高為1,底面積不變,則體積不變,故B正確;對(duì)于C,與所有12條棱都相切的球的直徑等于面的對(duì)角線,則,,則球的體積,故C正確;對(duì)于D,正方體的內(nèi)切球?yàn)檎襟w的中心,內(nèi)切球的半徑為,可知線段長(zhǎng)度的最小值是到球心的距離減去內(nèi)切球的半徑,正方體的棱長(zhǎng)為1,,到球心的距離為,所以的最小值是,故D錯(cuò)誤.故選:BC.三、填空題13.若,則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件兩次運(yùn)用基本不等式即可求解.【詳解】,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,所以當(dāng)時(shí),的最小值為.故答案為:.14.如圖,有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個(gè)球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如果不計(jì)容器的厚度,則球的體積為_(kāi)_____.【答案】【分析】設(shè)球的半徑為,根據(jù)已知條件得出正方體上底面截球所得的截面圓的半徑,球心到截面圓圓心的距離,利用勾股定理即可求出球的半徑,再帶入球體積公式即可.【詳解】由題意得正方體上底面到水面的高為,設(shè)球體的半徑為,由題意如圖所示:三角形為直角三角形,為球與正方體的交點(diǎn),則,,,所以:,解得,所以球的體積.故答案為:15.正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為2,點(diǎn),分別在和上,并且,平面,則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____.【答案】##【分析】連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn),連接,證明,根據(jù)比例關(guān)系得到,再利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn),連接,為中點(diǎn),連接,,故,,平面,平面平面,平面,故,故,,故,,,故.故答案為:16.銳角的內(nèi)角所對(duì)邊分別是a,b,c且,,若A,B變化時(shí),存在最大值,則正數(shù)的取值范圍______.【答案】【分析】首先利用正弦定理得出角的關(guān)系,再結(jié)合銳角三角形得出角的范圍,最后根據(jù)存在最大值求出的取值范圍即可.【詳解】,,由正弦定理得:,即:,或(舍)是銳角三角形,,解得:(其中)使存在最大值,只需存在,滿足解得:.故答案為:.四、解答題17.已知梯形ABCD,按照斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它的直觀圖,如圖,其中,,.求:(1)梯形ABCD的面積;(2)梯形ABCD以BC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積和體積.【答案】(1)(2),【分析】(1)將直觀圖還原為原圖形后利用公式可求其面積.(2)所得幾何體是圓柱與圓錐的組合體,利用公式可求其表面積和體積.【詳解】(1)直觀圖還原為原圖形,是直角梯形ABCD,如圖,其中,,,∴梯形ABCD的面積為.(2),直角梯形繞BC旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體是圓柱與圓錐的組合體,其表面積,體積.18.已知.(1)求圖象的對(duì)稱軸方程;(2)若對(duì)任意的恒成立,求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用三角恒等變換整理得,結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱軸得求解;(2)代入整理,利用換元和參變分離得,即.【詳解】(1)即則∴圖象的對(duì)稱軸方程為.(2)∵,則令則∵,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立∴19.如圖,三棱錐的底面是直角三角形,,,平面,是的中點(diǎn).(1)若此三棱錐的體積為,求異面直線與所成角的大?。?2)若,①求點(diǎn)到平面的距離.②過(guò)點(diǎn)作平面與平面垂直,且和直線平行,求平面截三棱錐的截面的面積.【答案】(1);(2)①;②.【分析】(1)根據(jù)三棱錐體積公式,結(jié)合異面直線所成角的定義、勾股定理進(jìn)行求解即可;(2)①:根據(jù)三棱錐的體積性質(zhì),利用轉(zhuǎn)化法進(jìn)行求解即可;②:根據(jù)三角形中位線定理,結(jié)合矩形的面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)由題意知:,解得,取中點(diǎn),連接,,由是的中點(diǎn)可得,故或其補(bǔ)角即為異面直線與所成角.∵,平面,平面,故,,,,,,,,故為等邊三角形,,故異面直線與所成角的大小為.(2)①若,則,,,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,,即,所以,得;②分別取、、的中點(diǎn)、、,連接、、、,四邊形即為截面,因?yàn)椤⑹?、的中點(diǎn),所以,因?yàn)榈闹悬c(diǎn)是,是的中點(diǎn),所以,所以,因此四邊形是平行四邊形,因?yàn)橹悬c(diǎn)是,是的中點(diǎn),所以,因?yàn)槠矫?,所以平面,因?yàn)槠矫?,所以,所以四邊形為矩形,,,?0.已知,函數(shù)(1)當(dāng)時(shí),解不等式;(2)設(shè),若對(duì)任意,函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過(guò)1,求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)由,得,求解即可;(2)根據(jù)題意得到,轉(zhuǎn)化為,設(shè),轉(zhuǎn)化為,利用函數(shù)的單調(diào)性,求得其最值,即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,即,解得或.所以不等式的解為(2)由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知函數(shù)在上單調(diào)遞減,又函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過(guò)1,可得,即,即,所以,設(shè),因?yàn)?,則,可得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),可得,因?yàn)樵趨^(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù),可得,所以,所以.故a的取值范圍為【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛:本題考查不等式的恒成立與有解問(wèn)題,可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化:①若在上恒成立,則;②若在上恒成立,則;③若在上有解,則;④若在上有解,則.21.如圖,某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB,某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng),此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P,需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角的大?。?,,,求的最大值.(仰角為直線AP與平面ABC所成角)【答案】.【分析】根據(jù)仰角的定義,作圖,利用圖中的幾何關(guān)系列出函數(shù)式,借助二次函數(shù)求解作答.【詳解】過(guò)點(diǎn)P做直線BC的垂線,垂直為D,如圖,則由仰角的定義得,由題意,設(shè)則,點(diǎn)D與B不重合時(shí),在中,
,點(diǎn)D與B重合時(shí),上式也成立,在中,
,當(dāng)時(shí),取最大值,綜上,的最大值為.22.已知正方體的棱長(zhǎng)為3,,分別為棱,上的動(dòng)點(diǎn),.若直線與平面所成角為.(1)求二面角的平面角的大?。?2)求線段的長(zhǎng)度.
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