角的平分線(xiàn)九年義務(wù)教育三年制初級(jí)中學(xué)教科書(shū)第二冊(cè)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)過(guò)程課堂練習(xí)課堂小結(jié)、布置作業(yè)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：①會(huì)闡述角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及其逆定理②會(huì)應(yīng)用角平分線(xiàn)定理及其逆定理證明兩條線(xiàn)段相等或兩個(gè)角相等③滲透點(diǎn)的集合的思想教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：①角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理中所說(shuō)的“角平分線(xiàn)上的點(diǎn)”是指角平分線(xiàn)上的任意一點(diǎn)。換句話(huà)說(shuō)，是指角平分線(xiàn)上的每一個(gè)點(diǎn)。定理的實(shí)質(zhì)是：角平分線(xiàn)上的所有點(diǎn)都滿(mǎn)足“到角的兩邊距離相等”這個(gè)性質(zhì)。②角平分線(xiàn)的判定定理的實(shí)質(zhì)是：凡滿(mǎn)足“到一個(gè)角的兩邊距離相等”的所有點(diǎn)都在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。換句話(huà)說(shuō)，這樣的點(diǎn)絕不會(huì)在角的平分線(xiàn)之外。角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊距離相等如何證明角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊距離相等性質(zhì)定理的逆命題：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊距離相等到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的角平分線(xiàn)上到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的角平分線(xiàn)上到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的角平分線(xiàn)上角平分線(xiàn)的逆定理：角平分線(xiàn)的判定定理：角的平分線(xiàn)是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合題設(shè)：ACOPEF角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等D證明：∵OD是∠AOC的角平分線(xiàn) ∴∠AOD=∠COD

又∵PE⊥OA，PF⊥OC ∴∠PEO=∠PFO=90° ∴在△PEO和△PFO中

∠AOD=∠COD（已證）∠PEO=∠PFO（已證）

OP=OP（公共邊）∴△PEO≌△PFO(AAS)∴PE=PF(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）結(jié)論：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線(xiàn)上它到角的兩邊的距離相等求證：OD是∠AOC的角平分線(xiàn)，點(diǎn)P在OD上。PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OC于點(diǎn)FPE=PF已知：到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的角平分線(xiàn)上ACOPEF已知：求證：PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OC于點(diǎn)F且PE=PF點(diǎn)P在∠AOC的平分線(xiàn)上證明：經(jīng)過(guò)點(diǎn)Ｐ作射線(xiàn)OD

∵PE⊥OA，PF⊥OC ∴∠PEO=∠PFO=90° ∴在Rt△PEO和Rt△PFO中PE=PF（已知）OP=OP（公共邊）∴△PEO≌△PFO(HL)∴∠AOD=∠COD（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）∴OD是∠AOC的平分線(xiàn)即點(diǎn)P在∠AOC的平分線(xiàn)上DABCDE填空：（1）∵AD平分∠BAC∴DC⊥AC，DE⊥AB（已知）∴DC=DE（

）（2）∵DC⊥AC，DE⊥AB，DC=DE（已知）∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線(xiàn)上（ ）在角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊距離相等到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上已知：∠B=∠Ｃ=90°，AB=AC求證:(1)∠ADB=∠ADC

(2)DB=DC(要求不用三角形全等的判定)ABCD證明：（1）∵∠B=∠Ｃ=90°（已知） ∴AB⊥DB，AC⊥DC（垂直的定義） 又∵AB=AC（已知） ∴點(diǎn)A在∠BDC的角平分線(xiàn)上（到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的角平 分線(xiàn)上） ∴∠ADB=∠ADC

（2）∵∠B=∠C，∠ADB=∠ADC（已知）∴180°-（∠B+∠ADB）=180°-（∠C+∠ADC）（三角形內(nèi)角和定理）即∠BAD=∠CAD∵DB⊥AB，DC⊥AC∴DB=DC（）在角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等例1已知：如圖，△ABC的角平分線(xiàn)BM、CN

相交于點(diǎn)P求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等DFEABCMNP∵BM是△ABC的角平分線(xiàn)，點(diǎn)P在BM上∴PD=PE（角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）同理PE=PF

∴PD=PE=PF

即點(diǎn)P到邊AB、BC、CA的距離相等。證明：過(guò)點(diǎn)P作PD、PE、PF分別垂直于AB、

BC、CA，垂足為D、E、F根據(jù)這個(gè)例題的結(jié)論，我們可以在三角形內(nèi)找到一點(diǎn)，使它到三角形三邊的距離相等。例2已知：如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，

DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

求證：AD⊥EFABCDEFO證明：∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，

DE⊥AB，DF⊥AC（已知） ∴DE=DF（在角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè) 角的兩邊的距離相等） ∴在Rt△AED和Rt△AFD中DE=DF（已證）AD=AD（公共邊）∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）∴AE=AF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∴在△AEO和△AFO中AE=AF（已知）∠EAO=∠FAO（已知）AO=AO（公共邊）∴△AEO≌△AFO（SAS）∴∠AOE=∠AOF=∠EOF=90°∴AD⊥EF(垂直定義）練習(xí)①書(shū)本52頁(yè)練習(xí)1②判斷題③證明題在角平分線(xiàn)上到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)（性質(zhì)定理）（判定定理）提供了兩條線(xiàn)段相等的依據(jù)提供了兩個(gè)角相等的依據(jù)小結(jié)學(xué)習(xí)了這兩個(gè)定理以后，許多涉及角平分線(xiàn)的問(wèn)題用定理或逆定理解決很方便。但是由于我們對(duì)證明兩個(gè)三角形全等的問(wèn)題已經(jīng)很熟悉了，所以證題時(shí)，不習(xí)慣直接應(yīng)用定理，仍然去找全等三角形，結(jié)果相當(dāng)于重新證明了一次定理。所以，能用簡(jiǎn)單方法的，不要饒遠(yuǎn)路，切記！作業(yè)課本習(xí)題3.4A組5、6、7題判斷下列推理是否正確（1）如圖，∵AD平分∠BAC，點(diǎn)P在AD上，PE⊥AB，PF⊥AC∴PE=PF（角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等）（）（2）如圖，∵PE=PF∴AD平分∠BAC（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上）（）（3）如圖，∵點(diǎn)P在∠BAC的平分線(xiàn)上∴PE=PF（角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等）（）（4）如圖，∵PE⊥AB，PF⊥AC∴AD平分∠BAC（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上）（）（5）如圖，∵PE⊥AB，PF⊥AC，PE=PF∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線(xiàn)上（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的