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第一章函數(shù)一.區(qū)間和鄰域六.基本初等函數(shù)三.函數(shù)概念四.函數(shù)的特性五.復(fù)合函數(shù)七.初等函數(shù)八.經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的函數(shù)二.映射一.區(qū)間和鄰域⑴【區(qū)間】是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).開區(qū)間閉區(qū)間預(yù)備知識(shí)有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度)稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.半開區(qū)間無限區(qū)間⑵【鄰域】設(shè)
>0則開區(qū)間
稱為點(diǎn)
的
鄰域。記作其中,a
稱為鄰域中心,
稱為鄰域半徑.去心
鄰域左
鄰域:右
鄰域:【定義】以點(diǎn)為中心的任何開區(qū)間稱為點(diǎn)的鄰域。記作a
a
(1)【定義4】設(shè)X,Y
是兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f
,使得有唯一確定的與之對(duì)應(yīng),則稱f為從X
到Y(jié)
的映射,記作元素y稱為元素x
在映射f
下的像
,記作元素
x
稱為元素y
在映射
f
下的原像
.集合X
稱為映射f
的定義域;記作Df
=XY
的子集稱為
f的值域
.二、映射1、映射【注意的問題】①映射具備三要素②映射的特點(diǎn)對(duì)映射若,則稱f為滿射;若有則稱f
為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f
為雙射或一一映射.(2)【定義】①滿射②單射③雙射2.【逆映射與復(fù)合映射】⑴【逆映射】是單射定義稱映射為映射的逆映射【注】滿且單,故而是雙射①只有f
是單射才存在逆映射.②②【復(fù)合映射】定義【注意】1.【定義】因變量函數(shù)值自變量函數(shù)定義域函數(shù)值值域三、函數(shù)概念自變量因變量對(duì)應(yīng)法則f2.【函數(shù)的兩要素】定義域與對(duì)應(yīng)法則.【約定】定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.(自然定義域)【注意】?jī)梢厥桥袛鄡珊瘮?shù)是否相同的唯一標(biāo)準(zhǔn).【定義】如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè),這種函數(shù)叫做單值函數(shù),否則叫多值函數(shù).【注意】微積分所研究的函數(shù)都是單值函數(shù)。3.【函數(shù)圖形】4.【幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例】(1)【常數(shù)函數(shù)】c為常數(shù)
圖形是一條平行于軸的直線(2)【絕對(duì)值函數(shù)】
(3)
【符號(hào)函數(shù)】1-1xyo或(4)
【取整函數(shù)】y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)
12345-2-4-4-3-2-1
4321-1-3xyo階梯曲線該函數(shù)是數(shù)論中一個(gè)極為重要的函數(shù)有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1xyo(5)
【狄利克雷函數(shù)】(6)
【取最值函數(shù)】yxoyxo在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).(7)【分段函數(shù)】四、函數(shù)的特性1.【函數(shù)的有界性】(1)【定義】則稱函數(shù)f(x)在X上有界.否則稱無界.M-MyxoXM-Myxoy=f(x)X有界無界【結(jié)論】f(x)在X上無界2.【函數(shù)的單調(diào)性】xyo則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的.xyo則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的.3.【函數(shù)的奇偶性】偶函數(shù)yxox-x圖象關(guān)于y軸對(duì)稱稱f(x)為偶函數(shù)奇函數(shù)yxox-x圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱稱f(x)為奇函數(shù)【說明】若f(x)在x=0有定義,f(x)為奇函數(shù)時(shí),必有f(0)=0則當(dāng)【例如】偶函數(shù)雙曲余弦記又如,奇函數(shù)雙曲正弦記再如,奇函數(shù)雙曲正切記4.【函數(shù)的周期性】(通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期).且則稱
f(x)為周期函數(shù)
,若稱
l
為周期【定義】周期為周期為【注】
周期函數(shù)不一定存在最小正周期.【例如】
常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x
為有理數(shù)x為無理數(shù)五、復(fù)合函數(shù)1【定義】【說明】通常f稱為外層函數(shù),g稱為內(nèi)層函數(shù).則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,
②確定的復(fù)合函數(shù),①②u稱為中間變量.2【注意】2)復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.三重復(fù)合函數(shù)1)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.(即:內(nèi)層函數(shù)在復(fù)合函數(shù)定義域D內(nèi)的值域g(D)一定包含在外層函數(shù)的定義域D1內(nèi))六、基本初等函數(shù)1.【冪函數(shù)】?jī)绾瘮?shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)2.【指數(shù)函數(shù)】3.【對(duì)數(shù)函數(shù)】4.【三角函數(shù)】正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)5.【反三角函數(shù)】【定義1】
冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).七、初等函數(shù)1.【初等函數(shù)】【定義2】由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).否則稱為非初等函數(shù).2.【非初等函數(shù)舉例】①[符號(hào)函數(shù)]②[取整函數(shù)]當(dāng)有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1xyo③[狄里克雷函數(shù)]1-1xyo④[分段函數(shù)](略):一般是非初等函數(shù).八、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常用函數(shù)
如果價(jià)格是決定需求量的最主要因素,可以認(rèn)為Q是P的函數(shù)。記作則f稱為需求函數(shù).1、需求函數(shù)常見的需求函數(shù):(其中a,b,c,A>0)冪函數(shù):例1設(shè)某商品的需求函數(shù)為解它表示價(jià)格為零時(shí)的需求量為b,稱為飽和需求量;它表示價(jià)格為無人愿意購買此商品.2、供給函數(shù)
如果價(jià)格是決定供給量的最主要因素,可以認(rèn)為Q是P的函數(shù)。記作則G稱為供給函數(shù).一般地,供給函數(shù)可以用以下簡(jiǎn)單函數(shù)近似代替:線性函數(shù):冪函數(shù):指數(shù)函數(shù):
在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出需求曲線D和供給曲線S
,兩條曲線的交點(diǎn)稱為供需平衡點(diǎn),該點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為供需平衡價(jià)格.E供需平衡點(diǎn)供需平衡價(jià)格3、生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)刻畫了一定時(shí)期內(nèi)各生產(chǎn)要素的投入量與產(chǎn)品的最大可能產(chǎn)量之間的關(guān)系.一般說來,生產(chǎn)要素包括資金和勞動(dòng)力等多種要素.為方便起見,我們暫時(shí)先考慮只有一個(gè)投入變量,而其他投入皆為常量的情況.例2規(guī)模報(bào)酬不變;如果投入增加一倍,產(chǎn)出增加不到一倍,即規(guī)模報(bào)酬遞減;如果投入增加一倍,產(chǎn)出增加不止一倍,即規(guī)模報(bào)酬遞增.4、成本函數(shù)成本是生產(chǎn)一定數(shù)量產(chǎn)品所需要的各種生產(chǎn)要素投入的價(jià)格或費(fèi)用總額,它由固定成本與可變成本兩部分組成.支付固定生產(chǎn)要素的費(fèi)用支付可變生產(chǎn)要素的費(fèi)用解由題意,求產(chǎn)量為100時(shí)的總成本5、收益函數(shù)總收益是生產(chǎn)者出售一定數(shù)量產(chǎn)品所得到的全部收入.用Q表示出售的產(chǎn)品數(shù)量,R表示總收益,表示平均收益,則如果產(chǎn)品價(jià)格P
保持不變,則解平均收益為六、利潤(rùn)函數(shù)
利潤(rùn)是生產(chǎn)中獲得的總收益與投入的總成本之差。即解7、庫存函數(shù)
設(shè)某企業(yè)在計(jì)劃期T
內(nèi),對(duì)某種物品總需求量為Q,由于庫存費(fèi)用及資金占用等因素,顯然一次進(jìn)貨是不劃算的,考慮均勻的分n次進(jìn)貨,每次進(jìn)貨批量為,進(jìn)貨周期為.假定每件物品的貯存單位時(shí)間費(fèi)用為,每次進(jìn)貨費(fèi)用為,每次進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨間隔時(shí)間不變,以勻速消耗貯存物品,則平均庫存為,在時(shí)間
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