21世紀(jì)七大數(shù)學(xué)難題

最近美國麻州的克雷（Ｃｌａｙ）數(shù)學(xué)研究所于2000年5月24日在巴黎法蘭西學(xué)院宣布了一件被媒體炒得火熱的大事：對七個“千僖年數(shù)學(xué)難題”的每一個懸賞一百萬美元.以下是這七個難題的簡單介紹.

在一個周六的晚上，你參加了一個盛大的晚會.由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認(rèn)識的人.你的主人向你提議說，你一定認(rèn)識那位正在甜點(diǎn)盤附近角落的女士羅絲.不費(fèi)一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發(fā)現(xiàn)你的主人是正確的.然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環(huán)顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認(rèn)識的人.生成問題的一個解通常比驗(yàn)證一個給定的解時間花費(fèi)要多得多.這是這種一般現(xiàn)象的一個例子.與此類似的是，如果某人告訴你，數(shù)１３，７１７，４２１可以寫成兩個較小的數(shù)的乘積，你可能不知道是否應(yīng)該相信他，但是如果他告訴你它可以因子分解為３６０７乘上３８０３，那么你就可以用一個袖珍計(jì)算器容易驗(yàn)證這是對的.不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用內(nèi)部知識來驗(yàn)證，還是沒有這樣的提示而需要花費(fèi)大量時間來求解，被看作邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)中最突出的問題之一.它是斯蒂文·考克（ＳｔｅｐｈｅｎＣｏｏｋ）于１９７１年陳述的.

“千僖難題”之一：Ｐ（多項(xiàng)式算法）問題對ＮＰ（非多項(xiàng)式算法）問題

二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了研究復(fù)雜對象的形狀的強(qiáng)有力的辦法.基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數(shù)不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成.這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導(dǎo)致一些強(qiáng)有力的工具，使數(shù)學(xué)家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進(jìn)行分類時取得巨大的進(jìn)展.不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點(diǎn)變得模糊起來.在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件.霍奇猜想斷言，對于所謂射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實(shí)際上是稱作代數(shù)閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合.

“千僖難題”之二：霍奇(Hodge)猜想如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點(diǎn).另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點(diǎn)的.我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是.大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點(diǎn)有單位距離的點(diǎn)的全體)的對應(yīng)問題.這個問題立即變得無比困難，從那時起，數(shù)學(xué)家們就在為此奮斗.

“千僖難題”之三：龐加萊(Poincare)猜想有些數(shù)具有不能表示為兩個更小的數(shù)的乘積的特殊性質(zhì)，例如，2,3,5,7,等等.這樣的數(shù)稱為素?cái)?shù)；它們在純數(shù)學(xué)及其應(yīng)用中都起著重要作用.在所有自然數(shù)中，這種素?cái)?shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式；然而，德國數(shù)學(xué)家黎曼(1826~1866)觀察到，素?cái)?shù)的頻率緊密相關(guān)于一個精心構(gòu)造的所謂黎曼蔡塔函數(shù)z(s$的性態(tài).著名的黎曼假設(shè)斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上.這點(diǎn)已經(jīng)對于開始的1,500,000,000個解驗(yàn)證過.證明它對于每一個有意義的解都成立將為圍繞素?cái)?shù)分布的許多奧秘帶來光明.

“千僖難題”之四：黎曼(Riemann)假設(shè)

量子物理的定律是以經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的.大約半個世紀(jì)以前，楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數(shù)學(xué)之間的令人注目的關(guān)系.基于楊－米爾斯方程的預(yù)言已經(jīng)在如下的全世界范圍內(nèi)的實(shí)驗(yàn)室中所履行的高能實(shí)驗(yàn)中得到證實(shí)：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波.盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的方程沒有已知的解.特別是，被大多數(shù)物理學(xué)家所確認(rèn)、并且在他們的對于“夸克”的不可見性的解釋中應(yīng)用的“質(zhì)量缺口”假設(shè)，從來沒有得到一個數(shù)學(xué)上令人滿意的證實(shí).在這一問題上的進(jìn)展需要在物理上和數(shù)學(xué)上兩方面引進(jìn)根本上的新觀念.

“千僖難題”之五：楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質(zhì)量缺口起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現(xiàn)代噴氣式飛機(jī)的飛行.數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家深信，無論是微風(fēng)還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對它們進(jìn)行解釋和預(yù)言.雖然這些方程是19世紀(jì)寫下的，我們對它們的理解仍然極少.挑戰(zhàn)在于對數(shù)學(xué)理論作出實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘.“千僖難題”之六：納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性數(shù)學(xué)家總是被諸如x^2+y^2=z^2那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫問題著迷.歐幾里德曾經(jīng)對這一方程給出完全的解答，但是對于更為復(fù)雜的方程，這就變得極為困難.事實(shí)上，正如馬蒂雅謝維奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個整數(shù)解.當(dāng)解是一個阿貝爾簇的點(diǎn)時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認(rèn)為，有理點(diǎn)的群的大小與一個有關(guān)的蔡塔函數(shù)z(s)在點(diǎn)s=1附近的性態(tài).特別是，這個有趣的猜想認(rèn)為，如果z(1)等于0,那么存在無限多個有理點(diǎn)(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多個這樣的點(diǎn).

“千僖難題”之七：貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想

如果你想在一夜之間成為一名腰纏萬貫的數(shù)學(xué)天才，現(xiàn)在就有一個大好機(jī)會.美國麻薩諸塞州克雷數(shù)學(xué)研究所舉辦“新千年大獎”，懸賞破解七大難解的數(shù)學(xué)問題，解題獎金一題１００萬美元！

據(jù)齊魯晚報(bào)報(bào)道，克雷數(shù)學(xué)研究所“新千年大獎”的靈感來自于德國數(shù)學(xué)大師希爾伯特１９００年巴黎國際會議上公布的２３道數(shù)學(xué)題目，希爾伯特提出的問題１００年來令數(shù)學(xué)英才絞盡腦汁，其中公認(rèn)是純數(shù)學(xué)中最亟待解的難題為“黎曼的假說”.

除了“黎曼的假說”之外，克雷數(shù)學(xué)研究所提出的七大數(shù)學(xué)難題還包括華裔物理學(xué)家楊振寧及其美國同事米爾斯的“楊—米定理”和“彭加萊的猜想”，該研究所舍深奧難懂的術(shù)語，而以淺白的解說協(xié)助參賽者動腦思考，上述問題刊登在該研究所網(wǎng)址.

克雷數(shù)學(xué)研究所主任賈菲教授說，這項(xiàng)“解題得百萬美元”活動絕非噱頭，該所懸賞解答的每項(xiàng)問題都是多年來令數(shù)學(xué)家百思不得其解的經(jīng)典難題.

該研究所規(guī)定，參賽者的解答必須刊登在擁有