學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE12學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE2．3.1平均數(shù)及其估計(jì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1。理解平均數(shù)為什么是“最理想”的近似值；2.會(huì)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；3。會(huì)根據(jù)頻率分布表或頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)．知識(shí)點(diǎn)一平均數(shù)思考處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的原則是使近似值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)越接近越好．但是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)往往很多，怎么刻畫(huà)“最近”呢？梳理一般地，使(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an）2＝nx2－2（a1＋a2＋…＋an)x＋aeq\o\al(2,1）＋aeq\o\al（2,2）＋…＋aeq\o\al(2,n)，最小的x＝________________稱(chēng)為這個(gè)n個(gè)數(shù)據(jù)a1，a2，…,an的平均數(shù)或均值．知識(shí)點(diǎn)二平均數(shù)的估計(jì)思考在頻率分布表里，還能看到原始數(shù)據(jù)嗎？怎樣根據(jù)頻率分布表計(jì)算平均數(shù)？梳理一般地，若取值為x1,x2，…,xn的頻率分別為p1，p2，…，pn，則其平均數(shù)為_(kāi)_____________________．類(lèi)型一平均數(shù)的計(jì)算例1樣本(x1，x2,…,xn)的平均數(shù)為eq\x\to(x），樣本(y1，y2，…，ym）的平均數(shù)為eq\x\to（y）（eq\x\to（x）≠eq\x\to（y))．若樣本（x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym）的平均數(shù)eq\x\to(z)＝αeq\x\to（x)＋（1－α)eq\x\to（y)，其中0〈α<eq\f(1,2），則m，n的大小關(guān)系為_(kāi)_______．反思與感悟計(jì)算平均數(shù)時(shí)要緊扣定義，搞清楚總共有幾組數(shù)據(jù)．跟蹤訓(xùn)練1在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆撼煽?jī)（單位：m）1。501.601。651.701。751。801。851。90人數(shù)23234111求這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的平均數(shù)．類(lèi)型二利用頻率分布表或直方圖估計(jì)平均數(shù)例2下面是某校學(xué)生日睡眠時(shí)間（單位：h）的抽樣頻率分布表，試估計(jì)該校學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間．睡眠時(shí)間人數(shù)頻率［6，6。5）50。05[6。5，7)170。17[7，7.5）330.33[7。5，8）370.37［8,8。5）60.06[8。5,9］20.02合計(jì)1001反思與感悟一般地，若取值為x1，x2，…，xn的頻率分別為p1，p2，…，pn，則其平均數(shù)為x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.跟蹤訓(xùn)練2一批乒乓球,隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行檢查,球的直徑頻率分布直方圖如圖．試估計(jì)這個(gè)樣本的平均數(shù)．類(lèi)型三眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用例3某公司的33名職工的月工資（單位：元)如下表:職位董事長(zhǎng)副董事長(zhǎng)董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5500500035003000250020001500(1）求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(2)若董事長(zhǎng)、副董事長(zhǎng)的工資分別從5500元、5000元提升到30000元、20000元,那么公司職工的月工資的新的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)又是什么?(3）你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司職工的工資水平?反思與感悟如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值；反之,說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值．在實(shí)際應(yīng)用中，如果同時(shí)知道樣本中位數(shù)和樣本平均數(shù)，可以使我們了解樣本數(shù)據(jù)中極端數(shù)據(jù)的信息，幫助我們作出決策．跟蹤訓(xùn)練3某課外活動(dòng)小組對(duì)該市空氣含塵進(jìn)行了調(diào)查,下面是一天每隔兩小時(shí)測(cè)得的數(shù)據(jù)：0。03、0。03、0.04、0.05、0。01、0。03(單位：g/m3）(1)求出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);(2)若國(guó)標(biāo)(國(guó)家環(huán)保局的標(biāo)準(zhǔn))是平均值不得超過(guò)0。025g/m3，問(wèn)這一天城市空氣是否符合國(guó)標(biāo)？1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是________．(填序號(hào))①在統(tǒng)計(jì)里，把所需考察對(duì)象的全體叫作總體;②一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)；③平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；④眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．2．一個(gè)樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為13,14，19，x，23，27，28，31，其中位數(shù)為22，則x為_(kāi)_______．3．樣本容量為100的頻率分布直方圖如圖所示,根據(jù)樣本頻率分布直方圖，則平均數(shù)為_(kāi)_______．4．某高校有甲，乙兩個(gè)數(shù)學(xué)建模興趣班,其中甲班40人,乙班50人．現(xiàn)分析兩個(gè)班的一次考試成績(jī)，算得甲班的平均成績(jī)是90分，乙班的平均成績(jī)是81分，則該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績(jī)是______分．1．能反映總體某種特征的量稱(chēng)為總體特征數(shù)，如平均數(shù)，中位數(shù)，使總體特征數(shù)通常難以獲得,故常以樣本特征數(shù)估計(jì)總體特征數(shù)．2．平均數(shù)是離差平方和最小的近似值，計(jì)算器、計(jì)算機(jī)均有專(zhuān)門(mén)的程序，手工計(jì)算要細(xì)致，不要漏加或重復(fù)．3．若數(shù)據(jù)xi的頻率為pi（i＝1,2,…,n)，則eq\x\to（x）＝eq\i\su（i＝1,n，x)ipi，該值公式可以用在頻率分布表中估計(jì)平均數(shù)．

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考設(shè)近似值為x，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為ai（i＝1，2，…,n)，因?yàn)閤－ai有正有負(fù),故用（x－a1)2＋（x－a2)2＋…＋(x－an）2來(lái)刻畫(huà)近似值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最接近．梳理eq\f（a1＋a2＋…＋an，n)知識(shí)點(diǎn)二思考在頻率分布表里,已看不到原始數(shù)據(jù)，但可用各區(qū)間的組中值近似地表示．梳理x1p1＋x2p2＋…＋xnpn題型探究例1n<m解析eq\x\to（x）＝eq\f（x1＋x2＋…＋xn,n)，eq\x\to（y）＝eq\f（y1＋y2＋…＋ym，m），eq\x\to(z)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn＋y1＋y2＋…＋ym,m＋n)，則eq\x\to（z)＝eq\f（n\x\to(x）＋m\x\to(y）,m＋n）＝eq\f(n，m＋n）eq\x\to(x）＋eq\f（m，m＋n）eq\x\to（y).由題意知0<eq\f(n,m＋n）<eq\f（1,2)，∴n<m。跟蹤訓(xùn)練1解平均數(shù)是eq\x\to(x）＝eq\f(1,17)(1。50×2＋1。60×3＋1。65×2＋1。70×3＋1。75×4＋1。80×1＋1。85×1＋1.90×1)＝eq\f(28.75，17）≈1。69（m）．例2解方法一總睡眠時(shí)間約為6。25×5＋6。75×17＋7。25×33＋7。75×37＋8.25×6＋8。75×2＝739(h)．故平均睡眠時(shí)間約為7。39h.方法二求組中值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和．6．25×0。05＋6.75×0。17＋7。25×0。33＋7.75×0.37＋8.25×0.06＋8。75×0.02＝7.39（h）．答估計(jì)該校學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間約為7.39h.跟蹤訓(xùn)練2解平均數(shù)為39.96×0.1＋39.98×0。2＋40×0。5＋40.02×0.2＝39.996。例3解（1)公司職工月工資的平均數(shù)為eq\x\to（x）＝eq\f（5500＋5000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×20,33)＝eq\f(69000，33)≈2091(元)．若把所有數(shù)據(jù)從大到小排序,則得到中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．(2)若董事長(zhǎng)、副董事長(zhǎng)的工資提升后，職工月工資的平均數(shù)為eq\x\to(x）＝eq\f（30000＋20000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×20，33）＝eq\f（108500，33）≈3288（元)．中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．(3）在這個(gè)問(wèn)題中,中位數(shù)和眾數(shù)都能反映出這個(gè)公司職工的工資水平，因?yàn)楣旧贁?shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)偏差較大,所以平均數(shù)不能反映這個(gè)公司職工的工資水平．跟蹤訓(xùn)練3解（1)由題意知,眾數(shù)是0。03，中位數(shù)為0。03。（2)這一天數(shù)據(jù)平均數(shù)是0。03，∵0。03＞0.025,∴這一天該城市空氣不符合國(guó)標(biāo)．當(dāng)堂訓(xùn)練1．②解析平均數(shù)不大于最大值，不小于最小值．2．21解析數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí),中位數(shù)為中間兩數(shù)的平均值eq\f(x＋23，2)＝22，所以x＝21.3．14。84解析平均數(shù)e