一、建模示例三、四、五二、建模的方法三、建模的一般步驟四、數(shù)學(xué)建模的特點(diǎn)五、數(shù)學(xué)建模的分類(lèi)六、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的相關(guān)知識(shí)三個(gè)建模示例、建模的方法、步驟、特點(diǎn)、分類(lèi)，及建模競(jìng)賽的相關(guān)知識(shí)一、建模示例三：安全渡河問(wèn)題問(wèn)題：三名商人各帶一名隨從乘船渡河，一只小船只能容納二人，由他們自己劃行。隨從們密約，在河的任一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨。但是如何乘船渡河的大權(quán)掌握在商人們手中。商人們?cè)鯓硬拍馨踩珊幽兀?/p>

1、問(wèn)題分析：多步?jīng)Q策過(guò)程決策----每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）船上的人員。要求----在安全的前提下（兩岸的隨從數(shù)不比商人多），經(jīng)有限步使全體人員過(guò)河。

2、模型建立3、數(shù)學(xué)模型多步?jīng)Q策問(wèn)題4、模型求解★

窮取法~編程上機(jī)★圖解法：我們著重介紹這一方法給出了安全渡河方案。狀態(tài)s=(x,y)~16個(gè)格點(diǎn)允許狀態(tài)~10個(gè)●點(diǎn)允許決策~移動(dòng)1格或2格（k奇,左下移；k偶,右上移）5、模型評(píng)價(jià)規(guī)格化的方法，通俗易懂，易于推廣。思考題1．考慮4名商人各帶一名隨從的問(wèn)題。

【問(wèn)題背景】

溫州七中高一段學(xué)生到人民路天橋下的十字路口，對(duì)十字路口紅綠燈開(kāi)設(shè)時(shí)間及車(chē)流量進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)學(xué)生分組觀(guān)察，并把數(shù)據(jù)平均，得到下面一組數(shù)據(jù)：東西方向綠燈即南北方向紅燈的時(shí)間為49秒；南北方向綠燈即東西方向紅燈的時(shí)間為39秒；所以紅綠燈變換一個(gè)周期的時(shí)間為88秒。在綠燈變換的一個(gè)周期內(nèi)，相應(yīng)的車(chē)流量：東西方向平均為30輛，南北平均為24輛。這組數(shù)據(jù)說(shuō)明了什么問(wèn)題？（紅綠燈時(shí)間設(shè)置合理與否）建模示例四：函數(shù)模型(交通問(wèn)題模型)【問(wèn)題抽象】

在紅綠燈變換的一個(gè)周期時(shí)間T內(nèi)，從東西方向到達(dá)十字路口的車(chē)輛數(shù)為H，從南北方向到達(dá)十字路口的車(chē)輛數(shù)為V，問(wèn)如何確定十字路口某個(gè)方向紅燈與綠燈點(diǎn)亮的時(shí)間更合理？【問(wèn)題分析】

所謂的合理，應(yīng)該就是從整體上看，在紅綠燈變換的一個(gè)周期內(nèi)，車(chē)輛在此路口的滯留總時(shí)間最少。

【模型假設(shè)】

1.黃燈時(shí)間忽略不計(jì)，只考慮機(jī)動(dòng)車(chē)，不考慮人流量和非機(jī)動(dòng)車(chē)輛；只考慮東西、南北方向，不考慮拐彎的情況。

2.車(chē)流量均勻。

3.一個(gè)周期內(nèi)，東西向綠燈，南北向紅燈的時(shí)間相等；東西與南北周期相同。【建立模型】

設(shè)東西方向綠燈時(shí)間（即南北方向紅燈時(shí)間）為t秒，則東西方向紅燈時(shí)間（即南北方向綠燈時(shí)間）為（T－t）秒.設(shè)一個(gè)周期內(nèi)車(chē)輛在此路口的滯留總時(shí)間為y秒.

根據(jù)假設(shè),一個(gè)周期內(nèi)車(chē)輛在此路口滯留的總時(shí)間y分成兩部分,一部分是南北方向車(chē)輛在此路口滯留的時(shí)間y1,另一部分是東西方向車(chē)輛在此路口滯留的時(shí)間y2.

下面計(jì)算南北方向車(chē)輛在此路口滯留的時(shí)間y1.【模型求解】

【數(shù)值模擬】

輪廓模型是以量綱模型為基礎(chǔ)，利用量的比例關(guān)系而構(gòu)造簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型的一種方法。因?yàn)檫@種比例關(guān)系比較粗糙，因而成為輪廓模型。

（貨物的包裝成本）在超市中可以看到許多商品（如面粉、白糖、奶粉等）都以包裝的形式出售，同一種商品的包裝也經(jīng)常有大小不同的規(guī)格，出售的價(jià)格也高低不同。下表是一些例子。建模示例五：輪廓模型商品商品量?jī)r(jià)格單價(jià)高露潔牙膏190克15.7元0.83元/10克60克5.8元0.97元/10克詩(shī)芬洗發(fā)液400毫升35.9元0.89元/10毫升200毫升23.1元1.15元/10毫升富麗餅干450克8.8元0.19元/10克150克3.0元0.20元/10克奇寶餅250克5.9元0.24元/10克150克4.3元0.29元/10克麥?zhǔn)峡Х?00克62元3.1元/10克100克32元3.2元/10克從表中可以看到，大包裝的商品每單位重量的價(jià)格比小包裝的價(jià)格要低。這顯然是由于節(jié)約了包裝成本的緣故。現(xiàn)在我們建立一個(gè)簡(jiǎn)單的模型來(lái)看看商品貨物包裝的成本如何依賴(lài)于商品量的規(guī)律。問(wèn)題假設(shè)：面對(duì)錯(cuò)綜復(fù)雜的商品生產(chǎn)過(guò)程和包裝形式，為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，假設(shè)如下：

1不考慮利潤(rùn)及其他因素對(duì)商品價(jià)格的影響；

2所討論的商品的生產(chǎn)和包裝過(guò)程的工作效率是固定不變的；

3商品包裝的成本只由包裝的勞力投入和包裝材料的成本構(gòu)成；

4商品包裝的形狀大小是相似的，不同大小包裝所用的材料是相似的至少在價(jià)格上沒(méi)有太大差異。模型建立：統(tǒng)計(jì)分析法：以隨機(jī)數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到其內(nèi)在的規(guī)律。如：多元統(tǒng)計(jì)分析。二、建模的方法

機(jī)理分析法：以經(jīng)典數(shù)學(xué)為工具，分析其內(nèi)部的機(jī)理規(guī)律。系統(tǒng)分析法：對(duì)復(fù)雜性問(wèn)題或主觀(guān)性問(wèn)題的研究方法。把定性的思維和結(jié)論用定量的手段表示出來(lái)。如：層次分析法。模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型建立模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用三、建模的步驟NY1）模型準(zhǔn)備：了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模目的，掌握對(duì)象的各種信息如統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)等，弄清實(shí)際對(duì)象的特征。有時(shí)需查資料或到有關(guān)單位了解情況等。2）模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要地合理地簡(jiǎn)化。不同的假設(shè)會(huì)得到不同的模型。如果假設(shè)過(guò)于簡(jiǎn)單可能會(huì)導(dǎo)致模型的失敗或部分失敗，于是應(yīng)該修改或補(bǔ)充假設(shè)，如“四足動(dòng)物的體重問(wèn)題”；如果假設(shè)過(guò)于詳細(xì)，試圖把復(fù)雜的實(shí)際現(xiàn)象的各個(gè)因素都考慮進(jìn)去，可能會(huì)陷入困境，無(wú)法進(jìn)行下一步工作。分清問(wèn)題的主要方面和次要方面，抓主要因素，盡量將問(wèn)題均勻化、線(xiàn)性化。3）模型建立：分清變量類(lèi)型，恰當(dāng)使用數(shù)學(xué)工具；抓住問(wèn)題的本質(zhì)，簡(jiǎn)化變量之間的關(guān)系；要有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理，模型本身要正確；要有足夠的精確度。4）模型求解：可以包括解方程、畫(huà)圖形、證明定理以及邏輯運(yùn)算等。會(huì)用到傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，計(jì)算機(jī)技術(shù)（編程或軟件包）。特別地近似計(jì)算方法（泰勒級(jí)數(shù)，三角級(jí)數(shù)，二項(xiàng)式展開(kāi)、代數(shù)近似、有效數(shù)字等）。6）模型檢驗(yàn)：把模型分析的結(jié)果“翻譯”回到實(shí)際對(duì)象中，用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m應(yīng)性檢驗(yàn)結(jié)果有三種情況：符合好，不好，階段性和部分性符合好。7）模型應(yīng)用：應(yīng)用中可能發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，需繼續(xù)完善。5）模型分析：結(jié)果分析、數(shù)據(jù)分析。變量之間的依賴(lài)關(guān)系或穩(wěn)定性態(tài)；數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)；最優(yōu)決策控制。四、數(shù)學(xué)建模的特點(diǎn)五、數(shù)學(xué)建模的分類(lèi)1）按變量的性質(zhì)分：多變量模型非線(xiàn)性模型隨機(jī)性模型連續(xù)模型單變量模型線(xiàn)性模型確定性模型離散模型2）按時(shí)間變化對(duì)模型的影響分參數(shù)時(shí)變模型動(dòng)態(tài)模型參數(shù)定常模型靜態(tài)模型3）按模型的應(yīng)用領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分人口模型、交通模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型、生物數(shù)學(xué)模型、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型、地質(zhì)數(shù)學(xué)模型、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型、數(shù)學(xué)社會(huì)學(xué)模型等。4）按建立模型的數(shù)學(xué)方法（或所屬數(shù)學(xué)分支）分初等模型、幾何模型、線(xiàn)性代數(shù)模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、運(yùn)籌學(xué)模型等。5）按建模目的分描述性模型、分析模型、預(yù)報(bào)模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。6）按對(duì)模型結(jié)構(gòu)的了解程度分白箱模型：其內(nèi)在機(jī)理相當(dāng)清楚的學(xué)科問(wèn)題，包括力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等。灰箱模型：其內(nèi)在機(jī)理尚不十分清楚的現(xiàn)象和問(wèn)題，包括生態(tài)、氣象、經(jīng)濟(jì)、交通等。黑箱模型：其內(nèi)在機(jī)理（數(shù)量關(guān)系）很不清楚的現(xiàn)象，如生命科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等。

從1983年起，在美國(guó)就有一些有識(shí)之士開(kāi)始探討組織一項(xiàng)應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的競(jìng)賽的可能性。1、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的發(fā)展歷史（美國(guó)）

1987年改為MathematicalContestinModeling,其縮寫(xiě)均為MCM）。

1985年開(kāi)始有了美國(guó)的第一屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，簡(jiǎn)稱(chēng)

MCM，這是最早的數(shù)學(xué)建模。1987年以前的全稱(chēng)是Mathe

-maticalCompetitioninModeling。競(jìng)賽由美國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)和美國(guó)運(yùn)籌學(xué)會(huì)聯(lián)合主辦。從1985年起每年舉行一屆，在每年的二月下旬或三月初的某個(gè)星期五到星期日舉行，到2009年已舉行了25屆。

六、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的相關(guān)知識(shí)1990年我國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽開(kāi)始舉辦，從最初的幾十所學(xué)校、幾百個(gè)隊(duì)發(fā)展到今年，除西藏外的30個(gè)?。ㄊ?、自治區(qū)）以及香港都有院校參賽。全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，是由教育部高等教育司與中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)（CSIAM）聯(lián)合舉辦的大學(xué)生科技活動(dòng)，競(jìng)賽每年9月下旬舉行，競(jìng)賽面向全國(guó)大專(zhuān)院校的學(xué)生，不分專(zhuān)業(yè)。由3位同學(xué)組成一個(gè)隊(duì)，在三天的時(shí)間里，團(tuán)結(jié)協(xié)作，利用數(shù)學(xué)知識(shí)與計(jì)算機(jī)知識(shí)，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，最后提交一篇自己撰寫(xiě)的論文。

2、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的發(fā)展歷史（中國(guó)）

大部分的數(shù)模競(jìng)賽題都是源于生產(chǎn)實(shí)際或者科學(xué)研究的過(guò)程中，不要求參賽者預(yù)先掌握深入的專(zhuān)門(mén)知識(shí)，只需要學(xué)習(xí)過(guò)普通高校的數(shù)學(xué)課程。題目有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮其創(chuàng)造能力。參賽者應(yīng)根據(jù)題目要求，完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解、計(jì)算方法的設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)、結(jié)果的分析和檢驗(yàn)、模型的改進(jìn)等方面的論文（即答卷）。競(jìng)賽評(píng)獎(jiǎng)以假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn)。3、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽出題的指導(dǎo)思想傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽一般偏重理論知識(shí)，它要考查的內(nèi)容單一，數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單明確，不允許用計(jì)算器完成。對(duì)此而言，數(shù)模競(jìng)賽題是一個(gè)“課題”，它是一個(gè)綜合性的問(wèn)題，數(shù)據(jù)龐大，需要用計(jì)算機(jī)來(lái)完成。解決這些問(wèn)題，往往沒(méi)有現(xiàn)成的方法可以套用，它首先要求將實(shí)際的問(wèn)題數(shù)學(xué)化，及建立數(shù)學(xué)模型。參賽同學(xué)必須像參加一個(gè)實(shí)際的科研項(xiàng)目那樣，不僅要充分發(fā)揮每個(gè)人的主觀(guān)能動(dòng)性和創(chuàng)造力，而且要全隊(duì)密切配合、協(xié)同作戰(zhàn)。

此外，其答案往往不是唯一的,呈報(bào)的成果是一篇“論文”。

由此可見(jiàn)“數(shù)模競(jìng)賽”偏重于應(yīng)用，它是以數(shù)學(xué)知識(shí)為引導(dǎo)、計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力及文章的寫(xiě)作能力為輔的綜合能力的競(jìng)賽。數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)統(tǒng)籌與線(xiàn)性規(guī)劃微分方程此外，有時(shí)還會(huì)用到數(shù)值計(jì)算、差分方程、和動(dòng)態(tài)規(guī)劃等計(jì)算機(jī)的應(yīng)用能力：字處理軟件Word 電子表格Excel數(shù)學(xué)軟件Matlab程序語(yǔ)言C++計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)6.Lindo、Lingo等4.參加數(shù)模競(jìng)賽所需知識(shí)論文的寫(xiě)作能力：要求參賽的三名選手中至少有一名同學(xué)具有較強(qiáng)的論文寫(xiě)作能力。5、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的形式及規(guī)則

全國(guó)統(tǒng)一競(jìng)賽題目，采取通訊競(jìng)賽方式，以相對(duì)集中的形式進(jìn)行。

競(jìng)賽以隊(duì)的形式參加，每個(gè)參賽隊(duì)由三名具有正式學(xué)籍的在校本科或?qū)？茖W(xué)生組成，研究生不得參加（自2005年，新增研究數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽）。報(bào)名參加“甲組”或“乙組”的競(jìng)賽，本科院校理工科學(xué)生只能參加甲組競(jìng)賽，其他學(xué)生可參加甲組或乙組競(jìng)賽。而每組由兩道題組成，“甲組”由A、B題組成，“乙組”由C、D題組成，每個(gè)參賽隊(duì)根據(jù)自己的實(shí)際情況情況從相應(yīng)兩個(gè)考題中任意選作一個(gè)題。每隊(duì)可設(shè)一名指導(dǎo)教師（或教師組），從事賽前輔導(dǎo)和參賽的組織工作，但在競(jìng)賽期間必須回避參賽隊(duì)員，不得進(jìn)行指導(dǎo)或參與討論，否則按違反紀(jì)律處分，也就是教師不得參賽。每次的考題都來(lái)自的實(shí)際問(wèn)題或有強(qiáng)烈實(shí)際背景的問(wèn)題，沒(méi)有固定的范圍，可能涉及各個(gè)非常不同的學(xué)科，領(lǐng)域?！叭珖?guó)大學(xué)生數(shù)模競(jìng)賽”的時(shí)間通常安排在9月份的下旬，歷時(shí)三天三夜。競(jìng)賽期間員可以使用各種圖書(shū)資料、計(jì)算機(jī)和軟件，在互聯(lián)網(wǎng)上瀏覽，但不得與隊(duì)外任何人(包括在網(wǎng)上)討論。

6、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的結(jié)果評(píng)定方法首先在各省進(jìn)行評(píng)選，專(zhuān)家們不是對(duì)論文給出分?jǐn)?shù)，也不采用“通過(guò)”、“失敗”這種記分，而只是將論文分成一些等級(jí)：一等獎(jiǎng)，二等獎(jiǎng)，成功參賽獎(jiǎng)等，各省一等獎(jiǎng)參加答辯，通過(guò)答辯者可參加國(guó)家獎(jiǎng)的評(píng)選。在參加國(guó)家評(píng)選時(shí)，評(píng)審專(zhuān)家也是將論文分為幾個(gè)等級(jí)：Outstanding(特等獎(jiǎng))、Meritorious(一等獎(jiǎng))、HonorableMention(二等獎(jiǎng))等。評(píng)卷的標(biāo)準(zhǔn)并不是看答案對(duì)不對(duì)，而主要看論文的思想方法好不好，以及論述是否清晰。Outstanding的論文作為優(yōu)秀論文在專(zhuān)業(yè)雜志上發(fā)表。而所有參賽的隊(duì)員和教練都能得到一張獎(jiǎng)狀。全國(guó)與各賽區(qū)的一、二等獎(jiǎng)均頒發(fā)獲獎(jiǎng)證書(shū)。競(jìng)賽成績(jī)記入學(xué)生檔案，對(duì)成績(jī)優(yōu)秀的參賽學(xué)生，各院校在評(píng)優(yōu)秀生、獎(jiǎng)學(xué)金及報(bào)考（或免試直升）研究生時(shí)應(yīng)予以適當(dāng)考慮。7、近幾年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題1997A零件的參數(shù)設(shè)計(jì)B截?cái)嗲懈?998A投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)B災(zāi)情巡視路線(xiàn)1999A自動(dòng)化車(chē)床管理

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