第十二章壓桿穩(wěn)定的進(jìn)一步研究*§12-1具有初曲率的壓桿和偏心壓桿§12-2桿的縱橫彎曲§12-3能量法求臨界力§12-4壓桿穩(wěn)定問題有限差分解法§12-5其它彈性穩(wěn)定問題簡介小結(jié)ly11．推導(dǎo)具有初曲率兩端鉸支受壓桿的撓曲線方程§12-1具有初曲率的壓桿和偏心壓桿一、具有初曲率的壓桿1)設(shè)壓件在最小抗彎剛度方向的微小初撓度為2)推導(dǎo)FFyxy0代入邊界條件yx0Fy0+y1FM(x)=F(y0+y1)a0——最大初撓度撓曲線微分方程為微分方程的通解為2．討論3)撓曲線方程為在初曲率很小的情況下，臨界載荷可近似使用理想壓桿的值。1．推導(dǎo)兩端鉸支偏心壓桿的撓曲線方程二、偏心受壓桿1)設(shè)壓力的偏心為e§12-1具有初曲率的壓桿和偏心壓桿通解為：代入邊界條件：2)推導(dǎo)得到撓曲線方程最大撓度為lexyl/2dxy撓曲線近似微分方程FF§12-1具有初曲率的壓桿和偏心壓桿2．最大彎矩和最大壓應(yīng)力均在桿中點(diǎn)2)若壓件的抗彎剛度相當(dāng)大，可以使用組合變形的疊加法近似求解，否則用上式。1)3．不同偏心距下的F—d曲線1)給定偏心距e1>e2>e3，作F—d曲線§12-1具有初曲率的壓桿和偏心壓桿1．具有初曲率或偏心受壓桿的承載能力低于中心受壓直桿，且初曲率和初始偏心距越大，壓桿的承載力越低；三、討論2．中心受壓直桿的臨界力是實(shí)際壓桿承載能力的理論上限值。e3e2e1FOd2)時的F—d曲線：3)由于d增大到一定值，導(dǎo)致

s增大到s

s，壓桿屈服，實(shí)際F—d曲線應(yīng)為虛線所示。AB§12-1具有初曲率的壓桿和偏心壓桿1．縱橫彎曲：§12-2桿的縱橫彎曲一、縱橫彎曲1)撓曲線方程同時考慮橫向力和軸向力引起的彎曲變形2．縱橫彎曲的最大撓度ylFyxFqx令：邊界條件：撓曲線方程撓曲線微分方程最大撓度在中點(diǎn)處利用級數(shù)展開上式，并引入?yún)?shù)得到注意到上式右邊第一項(xiàng)是均布載荷q在中點(diǎn)產(chǎn)生的彎曲撓度y0：2)最大撓度§12-2桿的縱橫彎曲3)討論上式由具體問題求出，但近似適用于其它的復(fù)雜縱橫彎曲問題。具體使用時，y0為彎曲產(chǎn)生的最大撓度，為相應(yīng)約束形式壓桿的歐拉臨界力。1)強(qiáng)度條件3．縱橫彎曲問題的強(qiáng)度與穩(wěn)定條件2)穩(wěn)定條件按理想壓桿進(jìn)行§12-2桿的縱橫彎曲二、例題例12-1壓彎組合的細(xì)長懸臂桿，桿長l=1.5m，承受均布載荷q=22kN/m，

縱向力F=200kN，材料為Q235鋼，彈性模量E=210GPa，許用應(yīng)力[s]=160MPa，試對此桿作強(qiáng)度和穩(wěn)定校核。AqlBFzyNo20b解：查型鋼表，得1)強(qiáng)度校核A=39.5cm2，Iz=2500cm4，Wz=250cm3，iy=2.06cm在橫向力作用下，截面繞z軸彎曲，故桿端B點(diǎn)撓度為最大彎矩發(fā)生在A端該截面上的最大正應(yīng)力為§12-2桿的縱橫彎曲2)穩(wěn)定校核壓桿失穩(wěn)時將繞y軸轉(zhuǎn)動，先求柔度查表10-3得j=0.323，故桿的工作壓應(yīng)力為3)從強(qiáng)度和穩(wěn)定性兩方面來看，桿件都是安全的?！?2-2桿的縱橫彎曲例12-1壓彎組合的細(xì)長懸臂桿，桿長l=1.5m，承受均布載荷q=22kN/m，

縱向力F=200kN，材料為Q235鋼，彈性模量E=210GPa，許用應(yīng)力[s]=160MPa，試對此桿作強(qiáng)度和穩(wěn)定校核。AqlBFzyNo20b§12-3能量法求臨界力1．求臨界力的能量法：一、求臨界力的能量法1)假定壓桿的可能失穩(wěn)曲線——撓曲線試函數(shù)，該曲線必須滿足位移邊界條件，并且盡可能滿足靜力邊界條件；瑞利—李茲法2．求解過程2)利用撓曲線試函數(shù)求出壓桿相對于未受力狀態(tài)的總勢能V=U-We；3)利用最小勢能原理求得臨界力。應(yīng)注意：求解結(jié)果的好壞與撓曲線試函數(shù)的選取直接相關(guān)，一般試函數(shù)都不是壓桿的實(shí)際撓曲線，相當(dāng)于給壓件增加了約束，因此，用能量法求得的結(jié)果一般比理論結(jié)果要大。xyFF二、例題例12-2試?yán)锰摴υ矸治鰞啥算q支壓桿的穩(wěn)定性。外力虛功：桿的應(yīng)變能：xddsdyddldxqdxBAAB'FFq解：軸向位移d：虛功原理：得到：§12-3能量法求臨界力1)假定失穩(wěn)曲線為二次拋物線：解：方法一

例12-3應(yīng)用瑞利—李茲法導(dǎo)出一端固定、一端自由壓桿的臨界力。dyyFlFFdxx該試解曲線對真實(shí)曲線是很差的近似，它不滿足靜力邊界條件：2)系統(tǒng)的總勢能為3)代入失穩(wěn)曲線，并積分得4)利用得§12-3能量法求臨界力1)重求應(yīng)變能U，由任意截面彎矩M=F(d-y)2)系統(tǒng)的總勢能為3)代入失穩(wěn)曲線，并積分得4)利用得dyyFlFFdxx例12-3應(yīng)用瑞利—李茲法導(dǎo)出一端固定、一端自由壓桿的臨界力。解：方法二

§12-3能量法求臨界力5)與精確解相比，兩種方法的誤差分別是22%和1.3%，差別很大。因?yàn)榉椒ㄒ坏膿锨€試函數(shù)不滿足靜力邊界條件，而方法二盡管假定的形狀試函數(shù)不變，但在求應(yīng)變能時引入了靜力邊界條件，從而使誤差大大減小。dyyFlFFdxx例12-3應(yīng)用瑞利—李茲法導(dǎo)出一端固定、一端自由壓桿的臨界力。6)利用多項(xiàng)式可求解出滿足位移和靜力邊界條件的試函數(shù)因此，無論使用哪種方法均可得到滿意的結(jié)果。§12-3能量法求臨界力例12-4用能量法求兩端鉸支等厚度錐形壓桿的臨界力。截面慣性矩由下式給定：，I1是時的慣性矩。FyFl/2xl/2解：1)選壓桿撓曲線試函數(shù)：2)考慮對稱性，計(jì)算應(yīng)變能和外力虛功3)系統(tǒng)總勢能4)利用得§12-3能量法求臨界力§12-4壓桿穩(wěn)定問題有限差分解法1．差分法：一、有限差分法將函數(shù)的導(dǎo)數(shù)用差分表示，從而將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的數(shù)值計(jì)算方法。2．一階和二階導(dǎo)數(shù)的差分格式(等距離)yOxyiiyi-2i-2hyi-1i-1hyi+1i+1hyi+2i+2hy=f(x)3．有限差分法求解壓桿的臨界力1)在壓桿上選取若干點(diǎn)，對每一點(diǎn)建立一個有限差分方程，得到一組以位移為未知量的代數(shù)方程組；2)代入位移邊界條件，進(jìn)行整理和簡化；3)利用代數(shù)方程必須有非零解的條件可求得臨界力?！?2-4壓桿穩(wěn)定問題有限差分解法二、例題例12-5用差分法求圖示兩端鉸支壓桿的臨界力。FyFl/2xl/2I1I1m=210(a)解：壓桿的控制微分方程為建立相應(yīng)的有限差分格式為代入I(x)得令得1)

m=2時，h=l/2，在x=l/2處使用差分方程，并代入邊界條件x=0和x=l時，y=0，有因，故必有§12-4壓桿穩(wěn)定問題有限差分解法2)

m=3，h=l/3，在x=l/3處使用差分方程，根據(jù)對稱性及邊界條件y1=y2，y0=y3=0，有利用上式有非零解條件得到m=310(b)2m=420(c)133)取m=4，參照圖c)可導(dǎo)出由上式有非零解的條件(即系數(shù)行列式的值為零)，求得4)同理可求得§12-4壓桿穩(wěn)定問題有限差分解法解：1)根據(jù)桿的對稱性，選擇差分節(jié)點(diǎn)h1h2h2h1例12-6用差分法導(dǎo)出兩端鉸支階梯形壓桿的臨界力。yl/6Fl/6Fl/3xEI2=3EI1EI1EI1l/301210yOxyiiyi-1i-1hyi+1i+1hi+1y=f(x)2)由于差分節(jié)點(diǎn)間的間距不同，需使用二次差商的不等距差分公式令a=hi+1/h，代入上式并化簡得兩端鉸支壓桿撓曲線微分方程為§12-4壓桿穩(wěn)定問題有限差分解法3)代入撓曲線微分方程，得有限差分形式4)在1和2點(diǎn)使用有限差分方程(a1=2，a2=1)化簡得5)方程組具有非零解的條件是系數(shù)行列式值為零，可求出

最小的F值即Fcr§12-4壓桿穩(wěn)定問題有限差分解法h1h2h2h1例12-6用差分法導(dǎo)出兩端鉸支階梯形壓桿的臨界力。yl/6Fl/6Fl/3xEI2=3EI1EI1EI1l/301210yzlAx§12-5其它彈性穩(wěn)定問題簡介1．主要變形與次要變形一、梁的彈性穩(wěn)定問題1)主要變形F沿y軸，梁在xy平面內(nèi)的平面彎曲。T=FeFyzFzFnmyA'zyFFyFznm2)次要變形由于梁軸線不直或F偏離y軸，從而產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和xz平面內(nèi)的彎曲。3)由于次要變形過大使梁失去承載能力即為梁的失穩(wěn)2．狹長矩形截面懸臂梁在梁端受集中力作用的臨界力1．次要變形：二、薄平板的彈性穩(wěn)定性問題沿板平面受壓的薄平板，所發(fā)生的彎曲變形。2．四邊簡支兩端受均勻壓力的正方形平板的臨界力FcrFcrbta1)單位寬度臨界力D——單位寬度平板的抗彎剛度，b——平板寬度，t——平板厚度。2)臨界應(yīng)力§12-5其它彈性穩(wěn)定問題簡介三、薄壁圓柱筒殼受軸向壓力的彈性穩(wěn)定問題失穩(wěn)臨界應(yīng)力Fcrl2rD——單位周長殼壁截面的抗彎剛度l——筒殼長度r——筒殼中面半徑m——筒殼失穩(wěn)時出現(xiàn)的半波個數(shù)§12-5其它彈性穩(wěn)定問題簡介四、細(xì)長薄壁圓管承受均布外壓時的彈性穩(wěn)定問題1．薄壁管受均布外壓時的屈曲形狀2．受均布外壓的薄壁圓環(huán)(b)三葉p/3(c)四葉p/4(a)二葉p/2ABCD根據(jù)細(xì)長薄壁圓筒的試驗(yàn)結(jié)果，假定在最小臨界壓力作用下發(fā)生變形的形狀符合二葉屈曲，同時在變形時的壓力仍垂直于環(huán)的中心線，臨界壓應(yīng)力為h——圓環(huán)的厚度d——圓環(huán)的平均直徑§12-5其它彈性穩(wěn)定問題簡介3．細(xì)長薄壁管受均勻外壓作用1)細(xì)長薄壁管與薄壁圓環(huán)的區(qū)別在于薄壁管沿寬度方向曲率變化受到相鄰管阻止，即由于有相鄰材料的約束而引起了橫向彎矩的變化，這種效應(yīng)可用平板彎曲比擬法確定。2)細(xì)長薄壁管臨界壓應(yīng)力為圓管上的周向臨界應(yīng)力為§12-5其它彈性穩(wěn)定問題簡介a)對的薄壁管(單位MPa)b)對的薄壁管(單位MPa)3)對各類薄壁管承受均布外壓的實(shí)驗(yàn)表明，使用如下經(jīng)驗(yàn)公式是可行的?！?2-5其它彈性穩(wěn)定問題簡介解：1)細(xì)長薄壁圓管臨界失穩(wěn)壓應(yīng)力為例12-7某油井套管采用細(xì)長薄壁圓管，外徑d=200mm，壁厚為h=6mm，管在使用中承受均布外壓，管材料的ss=350MPa，E=200GPa，n=0.29，試確定