卡諾圖化簡(jiǎn)法一、什么是卡諾圖將n變量的全部最小項(xiàng)各用一個(gè)小方塊表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰的排列，所得到的圖形稱為n變量最小項(xiàng)的卡諾圖。因?yàn)檫@種表示方法由美國(guó)工程師卡諾（M.Karnaugh）首先提出，因此這種圖形稱為卡諾圖（KarnaughMap）。兩個(gè)最小項(xiàng)僅有一個(gè)變量是不同，其余的相同沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERINGＡＢ００１１ＡＢm3Ａ'Ｂ'm0Ａ'Ｂm1ＡＢ'm2二、卡諾圖的畫法1.二變量卡諾圖每個(gè)最小項(xiàng)有2個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING2.三變量卡諾圖ＡＢＣ０0001１1110Ａ'Ｂ'Ｃ'm0Ａ'Ｂ'Ｃm1Ａ'ＢＣ'm2Ａ'ＢＣm3ＡＢ'Ｃ'm4ＡＢ'Ｃm5ＡＢＣ'm6ＡＢＣm7每個(gè)最小項(xiàng)有三個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰確保幾何位置相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)邏輯上相鄰沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING3.四變量卡諾圖ＡBＣD000001011110m0m1m2m3m4m5m6m71110m12m13m15m14m8m9m11m10每個(gè)最小項(xiàng)有4個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰最左列的最小項(xiàng)與最右列的相應(yīng)最小項(xiàng)也是相鄰的最上面一行的最小項(xiàng)與最下面一行的相應(yīng)最小項(xiàng)也是相鄰的沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING三、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)(一)由邏輯函數(shù)畫出卡諾圖

1.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)與—或式畫卡諾圖方法：①將邏輯函數(shù)化成最小項(xiàng)之和形式；②在卡諾圖上，對(duì)應(yīng)于函數(shù)式中最小項(xiàng)的位置填1，其余位置填0。即任何一個(gè)邏輯函數(shù)都等于它的卡諾圖中填入1的那些最小項(xiàng)之和。邏輯函數(shù)最小項(xiàng)表達(dá)式中含有的最小項(xiàng)，在卡諾圖相應(yīng)小方格中填“1”，其余則填“0”。此時(shí)的卡諾圖就是對(duì)應(yīng)于該函數(shù)的卡諾圖。沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING例：畫Y=A+BC的卡諾圖。解：最小項(xiàng)之和形式為：卡諾圖為：11110100BCA000111100101324576沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING卡諾圖為：解：最小項(xiàng)之和形式為：ＡBＣD00000101111001001010111000101111m1m4m6m15m8m9m11m10沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING

2.由一般邏輯式直接畫卡諾圖例：畫Y=A'BC'＋C'D+BD的卡諾圖。

②先將函數(shù)變換為與或表達(dá)式（不必變換為最小項(xiàng)之和的形式），然后在卡諾圖上與每一個(gè)乘積項(xiàng)所包含的那些最小項(xiàng)（該乘積項(xiàng)就是這些最小項(xiàng)的公因子）相對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。解：①這是四變量邏輯函數(shù)，畫四變量卡諾圖。沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING卡諾圖為：（填0處可省略）BD項(xiàng)少A、C，則在B=1，D=1，A、C=0、1處都填1。A'BC'項(xiàng)少D，則在A=0，B=1，C=0，D=0、1處都填1；C'D項(xiàng)少A、B，則在C=0，D=1，A、B=0、1處都填1；CDAB0001111000011110③分項(xiàng)看：1111111111Y=A'BC'＋C'D+BD沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING變換為與或表達(dá)式公因子為Ａ'Ｄ'公因子為Ｂ'Ｃ

說明：如果求得了函數(shù)Ｙ的反函數(shù)Ｙ'，則對(duì)Ｙ'中所包含的各個(gè)最小項(xiàng)，在卡諾圖相應(yīng)方格內(nèi)填入0，其余方格內(nèi)填入1。沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING例：卡諾圖為：ABC000011110000111001則可寫出原函數(shù)表達(dá)式為：(由1組成的項(xiàng))反函數(shù)表達(dá)式為：(由0組成的項(xiàng))(二)由卡諾圖寫出邏輯函數(shù)沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING四、用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)１、化簡(jiǎn)的依據(jù)AＢ+AB'=A因?yàn)榭ㄖZ圖上下左右任意相鄰的兩格之間，只改變一個(gè)變量，因此，當(dāng)兩個(gè)相鄰項(xiàng)為“１”時(shí)，可合并為一項(xiàng)。其依據(jù)是基本公式：沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING２、化簡(jiǎn)的方法①圈相鄰2個(gè)“１”，可消去改變值的1個(gè)變量；②圈相鄰4個(gè)“１”，可消去改變值的2個(gè)變量；③圈相鄰8個(gè)“１”，可消去改變值的3個(gè)變量；④圈相鄰２n個(gè)“１”，可消去改變值的n個(gè)變量；沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING例：圈相鄰2個(gè)“１”,可以合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。BCA00011110１101１１CDAB0001111000011110１１CDAB0001111000011110沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING例：圈相鄰4個(gè)“１”。111１１１１CDAB00011110000111101⊙沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERINGB'ＤＢＤ'沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING例：圈相鄰8個(gè)“１”。１１１１１１１１CDAB0001111000011110１１１１１１１１CDAB0001111000011110１11１１11１CDAB0001111000011110１１１１１１１１沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING

小結(jié)：相鄰最小項(xiàng)的數(shù)目必須為偶數(shù)個(gè)，才能合并為一項(xiàng)，并消去變量。包含的最小項(xiàng)數(shù)目越多，即由這些最小項(xiàng)所形成的圈越大，消去的變量也就越多，從而所得到的邏輯表達(dá)式就越簡(jiǎn)單。這就是利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的基本原理。沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING①先圈大，后圈小，即先圈8格，后圈4格、2格——保證所得乘積項(xiàng)數(shù)目最少且每個(gè)乘積項(xiàng)包含的因子最少；②必須是相鄰方格的“1”，才能圈起來(lái)；③允許方格重疊被圈(A+A=A)，但每個(gè)圈內(nèi)必須有一個(gè)以上（含）的“1”未被其它圈圈過；④沒有相鄰項(xiàng)的“1”，要單獨(dú)圈出。⑤不能漏掉任何一個(gè)標(biāo)“1”的方格。畫圈的原則：沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING3、卡諾圖化簡(jiǎn)舉例步驟：根據(jù)邏輯函數(shù)式畫卡諾圖；合并最小項(xiàng)；化成最簡(jiǎn)與或表達(dá)式；沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING例1化簡(jiǎn)函數(shù)式１１１１１１１CDAB0001111000011110化簡(jiǎn)后得：沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING化簡(jiǎn)后得：４５７６

111

11CDAB0001111000011110０１３２

12１3

15

14８９11

10

111

11例2化簡(jiǎn)函數(shù)式沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING化簡(jiǎn)后得：例3化簡(jiǎn)函數(shù)式BCA0001111011011111或顯然化簡(jiǎn)結(jié)果不是唯一的，圈法不同，其結(jié)果也就不同。沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING１１１１１１１１１００１１００１CDAB0001111000011110得反函數(shù)為：則原函數(shù)為：沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING求原函數(shù)時(shí)圈的是“1”，求反函數(shù)時(shí)圈的是“0”。其消去變量個(gè)數(shù)和畫圈的規(guī)律都相同。

化簡(jiǎn)時(shí)，圈“1”還是圈“0”，根據(jù)需要，哪個(gè)簡(jiǎn)單，采用哪個(gè)。（當(dāng)0的數(shù)目遠(yuǎn)小于1的數(shù)目，或要將函數(shù)化為最簡(jiǎn)的與或非式，或要求Y'的化簡(jiǎn)結(jié)果）沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院電子信息工程學(xué)院SYIAEELECTRONICENGINEERING兩點(diǎn)說明：①在有些情況下，最小項(xiàng)的圈法不只一種，得到的各個(gè)乘積項(xiàng)組成的與或表達(dá)式各不相同，哪個(gè)是最簡(jiǎn)的，要經(jīng)過比較、檢查才能確定。Ａ'Ｃ'Ｄ'＋ＢＣ'Ｄ＋ＡＢ'Ｃ