2022屆浙江省杭州市示范名校高三第一次調(diào)研測試數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知、分別是雙曲線的左、右焦點,過作雙曲線的一條漸近線的垂線,分別交兩條漸近線于點、,過點作軸的垂線,垂足恰為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2.斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點,則的最大值為A.2 B. C. D.3.已知橢圓的中心為原點,為的左焦點,為上一點,滿足且,則橢圓的方程為()A. B. C. D.4.在正方體中,E是棱的中點,F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動點,且與平面的垂線垂直,如圖所示,下列說法不正確的是()A.點F的軌跡是一條線段 B.與BE是異面直線C.與不可能平行 D.三棱錐的體積為定值5.若x,y滿足約束條件的取值范圍是A.[0,6] B.[0,4] C.[6, D.[4,6.已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,,,,則,,滿足()A. B. C. D.7.已知函數(shù),.若存在,使得成立,則的最大值為()A. B.C. D.8.已知函數(shù)的零點為m,若存在實數(shù)n使且,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.9.下列函數(shù)中,值域為的偶函數(shù)是()A. B. C. D.10.過圓外一點引圓的兩條切線,則經(jīng)過兩切點的直線方程是().A. B. C. D.11.已知集合,,則A. B.C. D.12.設是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,則下列命題正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,,則 D.若,,,則二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,滿足,,,則的取值范圍為_________.14.如圖所示,在正三棱柱中,是的中點,,則異面直線與所成的角為____.15.設實數(shù),滿足,則的最大值是______.16.某學習小組有名男生和名女生.若從中隨機選出名同學代表該小組參加知識競賽,則選出的名同學中恰好名男生名女生的概率為___________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)若,,,求證:.18.(12分)在平面直角坐標系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓的方程為,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求和的極坐標方程;(2)過且傾斜角為的直線與交于點,與交于另一點,若,求的取值范圍.19.(12分)在平面直角坐標系xoy中,曲線C的方程為.以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為.(1)寫出曲線C的極坐標方程,并求出直線l與曲線C的交點M,N的極坐標;(2)設P是橢圓上的動點,求面積的最大值.20.(12分)已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為求a,b的值;證明:.21.(12分)唐詩是中國文學的瑰寶.為了研究計算機上唐詩分類工作中檢索關(guān)鍵字的選取,某研究人員將唐詩分成7大類別,并從《全唐詩》48900多篇唐詩中隨機抽取了500篇,統(tǒng)計了每個類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數(shù),得到下表:愛情婚姻詠史懷古邊塞戰(zhàn)爭山水田園交游送別羈旅思鄉(xiāng)其他總計篇數(shù)100645599917318500含“山”字的篇數(shù)5148216948304271含“簾”字的篇數(shù)2120073538含“花”字的篇數(shù)606141732283160(1)根據(jù)上表判斷,若從《全唐詩》含“山”字的唐詩中隨機抽取一篇,則它屬于哪個類別的可能性最大,屬于哪個類別的可能性最小,并分別估計該唐詩屬于這兩個類別的概率;(2)已知檢索關(guān)鍵字的選取規(guī)則為:①若有超過95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關(guān)系,則“某字”為“某類別”的關(guān)鍵字;②若“某字”被選為“某類別”關(guān)鍵字,則由其對應列聯(lián)表得到的的觀測值越大,排名就越靠前;設“山”“簾”“花”和“愛情婚姻”對應的觀測值分別為,,.已知,,請完成下面列聯(lián)表,并從上述三個字中選出“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字并排名.屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類總計含“花”字的篇數(shù)不含“花”的篇數(shù)總計附:,其中.0.050.0250.0103.8415.0246.63522.(10分)2019年是中華人民共和國成立70周年.為了讓人民了解建國70周年的風雨歷程,某地的民調(diào)機構(gòu)隨機選取了該地的100名市民進行調(diào)查,將他們的年齡分成6段:,,…,,并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)現(xiàn)從年齡在,,內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人,再從這8人中隨機選取3人進行座談,用表示年齡在)內(nèi)的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望;(2)若用樣本的頻率代替概率,用隨機抽樣的方法從該地抽取20名市民進行調(diào)查,其中有名市民的年齡在的概率為.當最大時,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】

設點位于第二象限,可求得點的坐標,再由直線與直線垂直,轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為可得出的值,進而可求得雙曲線的離心率.【詳解】設點位于第二象限,由于軸,則點的橫坐標為,縱坐標為,即點,由題意可知,直線與直線垂直,,,因此,雙曲線的離心率為.故選:B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的計算,解答的關(guān)鍵就是得出、、的等量關(guān)系,考查計算能力,屬于中等題.2.C【解析】

設出直線的方程,代入橢圓方程中消去y,根據(jù)判別式大于0求得t的范圍,進而利用弦長公式求得|AB|的表達式,利用t的范圍求得|AB|的最大值.【詳解】解:設直線l的方程為y=x+t,代入y2=1,消去y得x2+2tx+t2﹣1=0,由題意得△=(2t)2﹣1(t2﹣1)>0,即t2<1.弦長|AB|=4.故選:C.【點睛】本題主要考查了橢圓的應用,直線與橢圓的關(guān)系.常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理,判別式找到解決問題的突破口.3.B【解析】由題意可得c=,設右焦點為F′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知,∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=,由橢圓定義,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,從而a=6,得a2=36,于是b2=a2﹣c2=36﹣=16,所以橢圓的方程為.故選B.點睛:橢圓的定義:到兩定點距離之和為常數(shù)的點的軌跡,當和大于兩定點間的距離時,軌跡是橢圓,當和等于兩定點間的距離時,軌跡是線段(兩定點間的連線段),當和小于兩定點間的距離時,軌跡不存在.4.C【解析】

分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義,體積公式分別進行判斷.【詳解】對于,設平面與直線交于點,連接、,則為的中點分別取、的中點、,連接、、,,平面,平面,平面.同理可得平面,、是平面內(nèi)的相交直線平面平面,由此結(jié)合平面,可得直線平面,即點是線段上上的動點.正確.對于,平面平面,和平面相交,與是異面直線,正確.對于,由知,平面平面,與不可能平行,錯誤.對于,因為,則到平面的距離是定值,三棱錐的體積為定值,所以正確;故選:.【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.5.D【解析】解:x、y滿足約束條件,表示的可行域如圖:目標函數(shù)z=x+2y經(jīng)過C點時,函數(shù)取得最小值,由解得C(2,1),目標函數(shù)的最小值為:4目標函數(shù)的范圍是[4,+∞).故選D.6.D【解析】

首先由函數(shù)為偶函數(shù),可得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,再由,即可判定大小【詳解】因為偶函數(shù)在減,所以在上增,,,,∴.故選:D【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,不同類型的數(shù)比較大小,應找一個中間數(shù),通過它實現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞,屬于中檔題.7.C【解析】

由題意可知,,由可得出,,利用導數(shù)可得出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,進而可得出,由此可得出,可得出,構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可得解.【詳解】,,由于,則,同理可知,,函數(shù)的定義域為,對恒成立,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,同理可知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,則,,則,構(gòu)造函數(shù),其中,則.當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增;當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以,.故選:C.【點睛】本題考查代數(shù)式最值的計算,涉及指對同構(gòu)思想的應用,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應用,有一定的難度.8.D【解析】

易知單調(diào)遞增,由可得唯一零點,通過已知可求得,則問題轉(zhuǎn)化為使方程在區(qū)間上有解,化簡可得,借助對號函數(shù)即可解得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】易知函數(shù)單調(diào)遞增且有惟一的零點為,所以,∴,問題轉(zhuǎn)化為:使方程在區(qū)間上有解,即在區(qū)間上有解,而根據(jù)“對勾函數(shù)”可知函數(shù)在區(qū)間的值域為,∴.故選D.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題,考查了方程有解問題,分離參數(shù)法及構(gòu)造函數(shù)法的應用,考查了利用“對勾函數(shù)”求參數(shù)取值范圍問題,難度較難.9.C【解析】試題分析:A中,函數(shù)為偶函數(shù),但,不滿足條件;B中,函數(shù)為奇函數(shù),不滿足條件;C中,函數(shù)為偶函數(shù)且,滿足條件;D中,函數(shù)為偶函數(shù),但,不滿足條件,故選C.考點:1、函數(shù)的奇偶性;2、函數(shù)的值域.10.A【解析】過圓外一點,引圓的兩條切線,則經(jīng)過兩切點的直線方程為,故選.11.D【解析】

因為,,所以,,故選D.12.C【解析】

根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)定理依次判斷各個選項可得結(jié)果.【詳解】對于,當為內(nèi)與垂直的直線時,不滿足,錯誤;對于,設,則當為內(nèi)與平行的直線時,,但,錯誤;對于,由,知:,又,,正確;對于,設,則當為內(nèi)與平行的直線時,,錯誤.故選:.【點睛】本題考查立體幾何中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的辨析,考查學生對于平行與垂直相關(guān)定理的掌握情況,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

設,,,,由,,,根據(jù)平面向量模的幾何意義,可得A點軌跡為以O為圓心、1為半徑的圓,C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓,為的距離,利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】設,,,,如圖所示:因為,,,所以A點軌跡為以O為圓心、1為半徑的圓,C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓,則即的距離,由圖可知,.故答案為:【點睛】本題主要考查平面向量的模及運算的幾何意義,還考查了數(shù)形結(jié)合的方法,屬于中檔題.14.【解析】

要求兩條異面直線所成的角,需要通過見中點找中點的方法,找出邊的中點,連接出中位線,得到平行,從而得到兩條異面直線所成的角,得到角以后,再在三角形中求出角.【詳解】取的中點E,連AE,,易證,∴為異面直線與所成角,設等邊三角形邊長為,易算得∴在∴故答案為【點睛】本題考查異面直線所成的角,本題是一個典型的異面直線所成的角的問題,解答時也是應用典型的見中點找中點的方法,注意求角的三個環(huán)節(jié),一畫,二證,三求.15.1【解析】

根據(jù)目標函數(shù)的解析式形式,分析目標函數(shù)的幾何意義,然后判斷求出目標函數(shù)取得最優(yōu)解的點的坐標,即可求解.【詳解】作出實數(shù),滿足表示的平面區(qū)域,如圖所示:由可得,則表示直線在軸上的截距,截距越小,越大.由可得,此時最大為1,故答案為:1.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃知識的運用,考查學生的計算能力,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.16.【解析】

從7人中選出2人則總數(shù)有,符合條件數(shù)有,后者除以前者即得結(jié)果【詳解】從7人中隨機選出2人的總數(shù)有,則記選出的名同學中恰好名男生名女生的概率為事件,∴故答案為:【點睛】組合數(shù)與概率的基本運用,熟悉組合數(shù)公式三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)證明見解析.【解析】

(1)分、、三種情況解不等式,即可得出該不等式的解集;(2)利用分析法可知,要證,即證,只需證明即可,因式分解后,判斷差值符號即可,由此證明出所證不等式成立.【詳解】(1).當時,由,解得,此時;當時,不成立;當時,由,解得,此時.綜上所述,不等式的解集為;(2)要證,即證,因為,,所以,,,.所以,.故所證不等式成立.【點睛】本題考查絕對值不等式的求解,同時也考查了利用分析法和作差法證明不等式,考查分類討論思想以及推理能力,屬于中等題.18.(1);(2)【解析】

(1)直接利用轉(zhuǎn)換公式,把參數(shù)方程,直角坐標方程與極坐標方程進行轉(zhuǎn)化;(2)利用極坐標方程將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解即可.【詳解】(1)因為,所以的普通方程為,又,,,的極坐標方程為,的方程即為,對應極坐標方程為.(2)由己知設,,則,,所以,又,,當,即時,取得最小值;當,即時,取得最大值.所以,的取值范圍為.【點睛】本題主要考查了直角坐標方程,參數(shù)方程與極坐標方程的互化,三角函數(shù)的值域求解等知識,考查了學生的運算求解能力.19.(1),,;(2).【解析】

(1)利用公式即可求得曲線的極坐標方程;聯(lián)立直線和曲線的極坐標方程,即可求得交點坐標;(2)設出點坐標的參數(shù)形式,將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值的問題即可求得.【詳解】(1)曲線的極坐標方程:聯(lián)立,得,又因為都滿足兩方程,故兩曲線的交點為,.(2)易知,直線.設點,則點到直線的距離(其中).面積的最大值為.【點睛】本題考查極坐標方程和直角坐標方程之間的相互轉(zhuǎn)化,涉及利用橢圓的參數(shù)方程求面積的最值問題,屬綜合中檔題.20.(1);(2)見解析【解析】分析:第一問結(jié)合導數(shù)的幾何意義以及切點在切線上也在函數(shù)圖像上,從而建立關(guān)于的等量關(guān)系式,從而求得結(jié)果;第二問可以有兩種方法,一是將不等式轉(zhuǎn)化,構(gòu)造新函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的最值,從而求得結(jié)果,二是利用中間量來完成,這樣利用不等式的傳遞性來完成,再者這種方法可以簡化運算.詳解:(1)解:,由題意有,解得(2)證明:(方法一)由(1)知,.設則只需證明,設則,在上單調(diào)遞增,,使得且當時,,當時,當時,,單調(diào)遞減當時,,單調(diào)遞增,由,得,,設,,當時,,在單調(diào)遞減,,因此(方法二)先證當時,,即證設,則,且,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞增,則當時,(也可直接分析顯然成立)再證設,則,令,得且當時,,單調(diào)遞減;當時,,單調(diào)遞增.,即又,點睛:該題考查的是有關(guān)利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題,在求解的過程中,涉及到的知識點有導數(shù)的幾何意義,有關(guān)切線的問題,還有就是應用導數(shù)證明不等式,可以構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為最值問題來解決,也可以借用不等式的傳遞性,借助中間量來完成.21.(1)該唐詩屬于“山水田園”類別的可能性最大,屬于“其他”類別的可能性最??;屬于“山水田園”類別的概率約為;屬于“其他”類別的概率約為(2)填表見解析;選擇“花”,“簾”作為“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字,且排序為“花”,“簾”【解析】

(1)根據(jù)統(tǒng)計圖表算出頻率,比較大小即可判斷;(2)根據(jù)統(tǒng)計圖表完成列聯(lián)表,算出觀測值,查表判斷.【詳解】(1)由上表可知,該唐詩屬于“山

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