流體力學暖通教研室二00二年十一月主講：周傳輝1第九章一元氣體動力學基礎§9－1理想氣體一元恒定流動的運動方程§9－2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)§9－3氣體一元恒定流動的連續(xù)性方程§9－4等溫管路中的流動§9－5絕熱管路中的流動2§9－1理想氣體一元恒定流動的運動方程從微元流束中沿軸線s任取ds一段，應用理想流體歐拉運動微分方程，單位質量力s方向分力以S表示，由牛頓第二定律得：對于恒定一元流動對氣體而言,它的容重一般都很小,因此當質量力僅為重力時,往往可以忽略質量力去掉角標，可以寫成：即：整理得：歐拉運動微分方程3§9－1理想氣體一元恒定流動的運動方程一、氣體一元定容流動在元流中任取兩個斷面，有：二、氣體一元等溫流動再把c＝RT代入，有4§9－1理想氣體一元恒定流動的運動方程三、氣體一元絕熱流動等熵流動就是理想氣體的絕熱流動滿足:k為絕熱指數(shù)因此：代入歐拉運動微分方程，得：對任意兩個斷面：5§9－1理想氣體一元恒定流動的運動方程把（a）式作一個變化單位質量氣體所具有的內能u。證明：從熱力學第一定律可知，對于理想氣體，有：又由：以及代入上式可得該式表明：在等熵流動中，沿流任意斷面上，單位質量氣體的內能、壓能、動能之和為一常數(shù)。6§9－1理想氣體一元恒定流動的運動方程在熱力學中，為焓，用焓表示的全能方程為：把焓與定壓比熱的關系代入，得：在熱力學中絕熱指數(shù)取決于氣體的分子結構，一般計算時可以用：空氣，k＝1.4，干飽和蒸氣，k＝1.135，過熱蒸氣，k＝1.33。對任意兩個斷面：n為多變指數(shù)，包含:等溫（n＝1）、絕熱（n＝k）和定容（n＝±∞）的過程。(h=u+pv)對于多變過程：7§9－1理想氣體一元恒定流動的運動方程多變過程等熵流動定容流動等溫流動8§9－2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)一、音速（SpeedofSound）音速：微小擾動在流體中的傳播速度。也就是聲音在流體中的傳播速度。流體中的某個地方受到外力的作用使其壓力發(fā)生變化，我們稱為壓力擾動，壓力擾動會產(chǎn)生壓力波，向四周傳播，這個壓力波的傳播速度，對不同的流體是不同的，即流體的性質不同，密度、壓縮性等不同，傳播速度也就不同。比如：在15℃，1atm下的音速氫氣：1294m/s空氣：340m/sCO2：266m/s水：1490m/s鋼：5060m/s冰：3200m/s推導音速的計算式：取一段帶有活塞的等截面直圓管，里面充滿靜止的可壓縮氣體，活塞在外力的作用下，產(chǎn)生一個微小的速度dv向右移動，這樣就產(chǎn)生一個微小擾動的平面壓縮波向介質內部傳播。聲速動畫9§9－2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)在波峰的前面是沒有被擾動的流體（即靜止狀態(tài)），波峰后面是被擾動的流體，它的壓強、密度都要發(fā)生變化，由于被壓縮,因此變?yōu)椋簆＋dp，ρ＋dρ。把坐標系固定在波峰上，取一個包含波峰的控制體，并且這個控制體的兩個側面無限接近，使控制體的體積趨于0。氣體的壓縮波的厚度，在大氣壓下約為10-6m的量級，所以這樣取控制體是合理的。設管道截面積為A，對控制體寫出連續(xù)性方程，展開略去二階小量。得；對控制體列動量方程，由于控制體的體積趨近于0，質量力為0，且可忽略切應力的作用，考慮質量流量守恒，有：10§9－2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)同連續(xù)性方程聯(lián)立，消掉dv，得音速方程為：這就是微小擾動的平面波－音速計算公式，同樣適用于球面波。也適用于液體。彈性模量和壓縮系數(shù)的關系：代入上式，得：由于聲音的傳播速度很快，在傳播過程中來不及與外界進行熱量交換，而且切應力的作用可以忽略，即無能量損失，所以可以認為這個傳播過程是等熵絕熱過程代入音速的微分式，得：11§9－2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)二、滯止參數(shù)（StagnationProperties）滯止即為停止，因此，滯止參數(shù)是在氣流的某截面處，設想其速度無摩擦絕熱地降為0時，這個截面上的各種參數(shù)我們稱為滯止參數(shù)，一般用下標0表示。常用的有：滯止壓強、密度、溫度、焓、音速。稱為滯止音速。在實際工程上，為了分析和計算流動問題方便起見，常使用滯止參數(shù)這個概念，而且由于它比較容易測量，所以滯止參數(shù)得到廣泛的應用。用溫度計測氣流的溫度，有沒有誤差，如果有是偏大還是偏??？12在滯止狀態(tài)下氣流的動能全部轉變?yōu)闊崮埽梢杂脺轨时硎局?，它表示單位質量的氣流所具有的總能量，稱為總焓。有：上式表明，滯止溫度要比氣流的溫度T高出，對于Cp=1005J/（kg·K）的空氣，則高出例如速度為100m/s的空氣流，滯止溫度超過氣流的溫度約5K，也即約5℃?？梢?，將一個帶小玻璃球的普通水銀溫度計或熱電偶溫度計放在氣流中來測量氣流的溫度，讀出的溫度比氣流的溫度T要高。但小玻璃球上駐點處的溫度雖達到滯止溫度，但其上的其他各點的溫度升高要小一些，所以普通水銀溫度計上讀出的平均溫度比滯止溫度稍低一些。因此用任何靜止溫度計都不能直接測得氣流的真實溫度了，只有用與氣流同樣速度運動的溫度計才能直接測得。13§9－2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)結論：在有摩擦的絕熱氣流中，各斷面的滯止溫度、滯止焓、滯止音速值不變，表示總能量不變，但因為摩阻消耗掉的一部分能量轉化為熱能，使滯止壓強P0沿程降低。在有摩擦的等溫氣流中，由于氣流與外界不斷交換熱量，使滯止溫度T0沿程變化。a.等熵流動中，各斷面滯止參數(shù)不變，其中T0、i0、c0反映了包括熱能在內的氣流全部能量。b.等熵流動中，若流速沿程增大，則氣流溫度、焓、音速沿程降低。c.同一氣流中當?shù)匾羲賑永遠小于滯止音速。氣流中最大音速是滯止音速。14§9－2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)三、馬赫數(shù)（Machnumber）氣流截面上的當?shù)厮俣扰c當?shù)匾羲僦仁邱R赫數(shù)。馬赫數(shù)反映的是氣體流動過程中的壓縮性能，馬赫數(shù)越大、壓縮性越大。馬赫數(shù)是氣體動力學中一個很重要得無因次性能參數(shù)，它反映的是慣性力與彈性力的相對比值，是確定氣體流動狀態(tài)的準數(shù)。M>1,v>c，超音速M=1,v=c，音速（跨音速）M<1,v<c，亞音速由作一變形可得：利用絕熱過程方程式以及氣體狀態(tài)方程可以得到：15微弱擾動波在超聲速氣流中的傳播是有界的，界限就是馬赫錐（超音速飛機、子彈等）16§9－2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)四、氣流按不可壓縮處理的極限可壓和不可壓兩種情況下的滯止壓強，當相對誤差小于1%時，M等于多少？可壓縮：不可壓縮：把第一式按二項式定理展開，取前三項，有又因為代入上式，得：二項式展開:17§9－2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)如果令為絕對誤差，則稱為相對誤差，則當相對誤差小于1％時，有：即：當M<0.2時，可以保證相對誤差小于1％，工程上一般認為M≤0.2時可以忽略氣體的壓縮性。作業(yè)：9-12；9-1718§9－3氣體一元恒定流動的連續(xù)性方程一、連續(xù)性微分方程(EquationofContinuity)可壓縮流的連續(xù)性方程：ρvA＝常數(shù)對管流任意兩斷面：如果我們對連續(xù)性方程取微分：得：同聯(lián)立，消去ρ，再用整理，得：19§9－3氣體一元恒定流動的連續(xù)性方程二、氣流速度與斷面的關系（1）亞音速時：dv與dA成反比，速度隨斷面的增大而減??；隨斷面的減小而增大。同不可壓縮流動的一樣。（2）超音速時：dv與dA成正比，速度隨斷面的增大而增大；隨斷面的減小而減小。同不可壓縮流動的不一樣。為什么超音速流動的運動規(guī)律同亞音速的不同呢？從可壓縮流體在兩種流動中的膨脹程度與速度變化之間的關系來說明由代入可得：表明速度增加，密度減小。20§9－3氣體一元恒定流動的連續(xù)性方程當M<1時，M2遠遠小于1，即密度的變化遠遠小于速度的變化，速度增加的快，密度減小的慢，氣體的膨脹程度不顯著。因此ρv的乘積隨v的增大而增加。若速度增加，則ρv增加，由連續(xù)性方程可知ρ1v1A1＝ρ2v2A2，A1>A2.當M>1時，M2遠遠大于1，即密度的變化遠遠大于速度的變化，速度增加的較慢，密度減小的很快，氣體的膨脹程度非常顯著。說明密度的相對變化的特征，在亞音速與超音速流動中的存在根本差別。因此ρv的乘積隨v的增大而減小。若速度增加，則ρv減小，由連續(xù)性方程可知ρ1v1A1＝ρ2v2A2，A1<A2，即超音速氣流中速度隨斷面的增大而增大。當M＝1時，氣流的速度等于當?shù)匾羲?，這時的氣體處于臨界狀態(tài)。氣體達到臨界狀態(tài)的斷面，稱為臨界斷面。臨界斷面的參數(shù)稱為臨界參數(shù)，用下腳標“k”表示包括：vk,ck,pk,Tk,ρk.臨界斷面的M＝1，密度的相對變化與速度的相對變化相等，斷面不需要變化。21§9－3氣體一元恒定流動的運動方程流向面積(A)流速(v)壓力(p)密度(ρ)單位面積質量流量(ρv)亞音速流M<1增大減小增大增大減小減小增大減小減小增大超音速流M>1增大增大減小減小減小減小減小增大增大增大22§9－4等溫管路中的流動(IsothermalFlow)一、氣體管路運動微分方程微元段dl上單位質量氣體的摩擦損失為：把這個式子代入到理想流體一元流動的微分方程中，即加上損失項，得：λ為沿程阻力系數(shù)，與Re與管子的相對粗糙度Δ/D有關。對于等溫管流：(1)D是常數(shù)，管材一定，則相對粗糙度也一定；(2)μ是溫度的函數(shù)，等溫管流，溫度不變，μ也不變；(3)等截面管道，A為常數(shù)，由連續(xù)性方程可知，ρv＝常數(shù)。由此可得，為常數(shù)，即管道上任意斷面的Re數(shù)都相等?？傻忙艘惭爻滩蛔?。23§9－4等溫管路中的流動二、管中等溫流動由連續(xù)性方程以及截面相等的條件可得：對于等溫流動的氣體，我們可以認為是理想氣體由此可得：得：代入，對管長積分，得：24§9－4等溫管路中的流動有：由等溫時：得：這就是等溫管路的基本公式把連續(xù)性方程和質量流量的計算公式代入該式，可得：質量流量：大壓差公式25§9－4等溫管路中的流動三、等溫管路的特征氣體管路運動微分方程：通除P/ρ，得：理想氣體狀態(tài)方程的微分式：連續(xù)性方程的微分式，dA＝0，比較二式，可得：26§9－4等溫管路中的流動由音速公式得：壓強的變化關系式為：27結論

kM2<1v增加，p減小。kM2>1v減小，p增加。變化率隨摩阻的增大而增大。(2)kM2<1時，摩阻沿程增加，使流速不斷增加，但是1－kM2不可能等于0，而使流速變?yōu)闊o窮大，所以管路出口斷面上的馬赫數(shù)不能超過，只能是(3)在M＝的l處求得的管長就是等溫管流的最大管長，如果實際管長

超過最大管長，將使得進口斷面流速受到阻滯?！?－4等溫管路中的流動28§9－5絕熱管路中的流動(IsentropicFlow)一、絕熱管路運動方程由于絕熱流動溫度會沿程升高，因此λ沿程是變化的。作為比較準確的計算，可以取平均值，即沿程平均：用等熵絕熱過程的方程式來進行近似計算再把質量流量的計算式代入上式，并用v2通除之。得：29§9－5絕熱管路中的流動同樣忽略對數(shù)項，得：這就是有摩擦阻力的絕熱管流的基本方程。將此時對L管長的兩個斷面進行積分，可得：30§9－5絕熱管路中的流動二、絕熱管路的特性等熵過程方程式：等溫過程特性：31§9－5絕熱管路中的流動結論：(1)當L增加，摩阻增加時，有：M<1v增加，p減小。M>1v減小，p增加。變化率隨摩阻的增大而增大。(2)M<1時，摩阻沿程增加，使流速不斷增加，但是在管流中間絕不會出現(xiàn)臨界斷面，只有出口斷面可能會出現(xiàn)臨界斷面，所以管路出口斷面上的馬赫數(shù)M2≤1?？梢杂茫?－5－6）來證明。(3)在M=1的l處求得的管長就是等溫管流的最大管長，如果實際管長超過最大管長，將使得進口斷面流速受到阻滯。32實際管流常常是非等熵流，典型例子是具有摩擦但不計熱交換的范諾（Fanno）流動，和具有熱交換但不計摩擦的瑞利（Reyleight）流動。

(1)

有摩擦的絕熱流與等熵流不同，無論是亞音速還是超聲速流，由于摩擦的作用流動沿程熵值增加；(2)

摩擦使亞聲速流（Ma<1）加速，但最多達到聲速，且溫度、壓強、密度均降低，總壓也降低；(3)

摩擦使超聲速流（Ma>1）減速，但最小也只能達到聲速，且溫度、壓強、密度增大，總壓仍降低。對亞聲速流（Ma<1），加熱（dq>0）將引起流動加速（dV>0），但最多加速到Ma=1；對超聲速流（Ma>1），冷卻(dq<0)將引起流動進一步加速（dV>0）

瑞利（Reyleight）流動范諾（Fanno）流動加熱造成壅塞現(xiàn)象對于無摩擦截面管流，加熱促使氣流趨向臨界狀態(tài)，過多的加熱將造成壅塞現(xiàn)象。這是因為在臨界狀態(tài)時，氣流已達最大流量，繼續(xù)加熱使總壓進一步下降，原來的流量就通不過了造成壅塞。對亞聲速流，壅塞造成的影響與絕熱摩擦管流動相似，壓強擾動逆向傳至進口截面，造成溢流，使進口流量減?。粚Τ曀倭?，壅塞在管中產(chǎn)生激波，使總壓損失更大，激波向上游推移，這個過程直至進口截面前才停止。超聲速氣流先通過激波，變成亞聲速流，然后再造成溢流，減小流量，才能通過管道。

摩擦造成壅塞現(xiàn)象對絕熱摩擦等截面管流存在一個最大長度Lmax，使氣流在該處達到聲速，當實際管長

L>Lmax時將發(fā)生壅塞現(xiàn)象。這是因為在Lmax處氣流已達聲速，流量達最大值，L－Lmax管段的摩擦作用使氣流總壓進一步下降，原來的流量此時不能再通過，因此壅塞。對亞聲速流，壅塞造成的壓強擾動可向上游傳播至入口，使入口處發(fā)生溢流，流量減小，直至出口截面正