第五章離散傅里葉變換

四類時域信號連續(xù)周期信號連續(xù)非周期信號離散非周期信號離散周期信號5．1信號的傅里葉分析四類時域信號的傅里葉分析連續(xù)非周期信號的傅里葉分析（FourierTransform，F(xiàn)T）連續(xù)周期信號的傅里葉分析（FourierSeries，F(xiàn)S）離散非周期信號的傅里葉分析DTFT離散周期信號的傅里葉分析（DiscreteFourierSeries，DFS）四類時域信號傅里時分析比較

5．2有限長序列的離散傅里葉變換（DFT）有限長序列的傅里葉變換數(shù)值分析有限長序列信號DTFT變換頻域抽樣數(shù)值化頻域采樣定理(頻域循環(huán)采樣)M=N時，重建序列是原有限長序列的周期延拓M>N時，重建序列是原有限長序列補M-N個零后的周期延拓M<N時，頻域采樣只能恢復(fù)的時域值，此時無法從重建序列完全恢復(fù)原有限長序列DFT變換DFT變換分析有限長序列頻譜時，頻域采樣長度M等于NDFT變換的實質(zhì)是將有限長序列隱含成周期離散序列

［例５-2-2］已知，用DFT變換計算、并繪出其幅頻特性。對補502個零后，再次繪出其幅頻特性

5．3DFT性質(zhì)DFT性質(zhì)

信號特性的傅里葉變換5．4用DFT算法分析連續(xù)非周期信號頻譜非周期信號的FT和DTFT分析FT分析DTFT分析數(shù)字角頻率和模擬角頻率的對應(yīng)關(guān)系

非周期信號采樣中的矛盾時域緊支集非周期信號頻域緊支集非周期信號據(jù)傅里分析，時域緊支集非周期信號頻域無限，采樣過程必然會導(dǎo)致頻譜混疊失真據(jù)傅里分析，頻域緊支集非周期信號時域無限，采樣過程必然需要產(chǎn)生截斷誤差非周期信號的頻譜分析必須在時域截斷或頻域混疊之間選擇。不可能用數(shù)值方法精確分析其頻譜結(jié)論非周期信號的DFT分析（選擇時域截斷）[例5-4-1]已知某模擬信號由1.5KHz，2.5KHz和3KHz三個頻率分量組成，采樣頻率，試求由DFT分析能夠區(qū)分三個頻率分量的最小采樣長度

y=fft(x,[N])[例5-4-1]原采樣序列統(tǒng)一補零至長度等于1024點后再次計算其DFT頻譜

頻譜泄漏和加窗算法

[例5-4-3]已知信號，采樣頻率，采樣長度N=128。試用DFT變換分析信號幅度譜

頻譜泄漏的原因

k1+1k1DFT變換中窗函數(shù)的要求旁瓣衰減大，高頻衰減快的窗函數(shù)有利于減小截斷過程中產(chǎn)生的頻譜泄漏問題。理想窗函數(shù)是單位沖激

幅度比例頻率間距窗函數(shù)必須具備的特性小大一般小小主瓣窄大大阻帶衰減大大小阻帶衰減大，采樣長度N大DFT變換中加窗長度[例5-4-4]已知模擬信號由三個幅值為1的正弦信號組成，頻率分別為1KHZ,2.5KHZ,3KHZ，采樣頻率10KHZ，試用DFT變換計算用矩形窗和漢明窗對信號截斷、采樣長度N=40時的信號頻譜。[例5-4-4]已知模擬信號由三個幅值為1的正弦信號組成，頻率分別為1KHZ,2.5KHZ,3KHZ，采樣頻率10KHZ，試用DFT變換計算用矩形窗和漢明窗對信號截斷、N=80時的信號頻譜。[例5-4-5]已知信號中50Hz的頻率分量幅值為311，46Hz頻率分量的幅值為1.57，采樣頻率8KHZ。要求46Hz信號的幅度分析精度不小于5%，試問：

選擇何種類型窗函數(shù)較合適？

采樣長度N應(yīng)為多少？允許最大泄漏

Blackman窗第3個旁瓣衰減：（-58-18*3）=-112dB5．5連續(xù)周期信號頻譜的DFT分析只要滿足特定的采樣條件，或者對DFT變換進(jìn)行適當(dāng)修正，完全可以用DFT變換精確分析其幅度譜，甚至相位譜

連續(xù)周期信號的采樣或截斷同步采樣：采樣持續(xù)時間與信號周期成整數(shù)倍非同步采樣：采樣持續(xù)時間與信號周期不成整數(shù)倍DFT變換隱含對被采樣信號周期延拓，同步采樣后應(yīng)用DFT變換等效于對信號無限采樣，可精確分析周期信號頻譜[例5-5-1]已知周期信號，采樣頻率8KHZ。試用DFT變換分別計算采樣持續(xù)時間時信號的頻譜

t=0.02st=0.02st=0.03st=0.03s硬件同步采樣技術(shù)整形鑒相器低通濾波壓控振蕩N倍分頻軟件同步技術(shù)第1步：非同步采樣第2步：估計信號周期第3步：二次采樣，得到同步數(shù)據(jù)第4步：應(yīng)用DFT算法分析同步數(shù)據(jù)的頻譜第2步：估計信號周期（過零比較）第3步：二次采樣，得到同步數(shù)據(jù)插值DFT變換頻域觀察連續(xù)周期信號的截斷

單頻率信號矩形截斷序列DTFT頻譜的頻域采樣：

k0+0k0+1k0k0+0.5k0+1k0(a)(同步采樣)(b)(非同步采樣)簡諧（單頻率）連續(xù)周期信號的插值DFT變換

k0+0k0+1k0k0+0.5k0+1k0(a)(同步采樣)(b)(非同步采樣)數(shù)字頻率肯定在k1和k1+1之間?？梢愿鶕?jù)窗函數(shù)的增益特性和

值精確估計出實際信號頻率

簡諧（單頻率）連續(xù)周期信號的插值DFT變換

多諧周期信號的插值DFT變換第1步：應(yīng)用加窗法消除各頻率分量之間的相互泄漏

第2步：尋找加窗頻譜中各個譜峰第3步：應(yīng)用單頻率信號的插值DFT算法估計該譜峰的精確頻率值，幅度和相位注意求解方法與矩形窗的插值DFT算法不同例，假定含間諧波的電網(wǎng)信號為：m1(間諧波)2(基波)3(間諧波)4(間諧波)5(諧波)6(諧波)7(諧波)頻率（HZ）25.050.0165.0270.0350.0400.0450.0幅值（伏）0.006*3103100.002*3100.003*3100.04*3100.005*3100.05*310初相（度）10.05.020.0120.0150.0210.0260.0第1步：應(yīng)用Hanning窗截斷消除各頻率分量之間的相互泄漏

圖5-5-6(a)加矩形窗后的信號頻譜圖5-5-6(a)加漢寧窗后的信號頻譜第2步：Hanning窗單頻率DFT插值計算公式第3步：幅度估計結(jié)果諧波（次）設(shè)定值普通FFT算法

插值FFT算法估計值估計偏差(%)

估計值估計偏差(%)1310.0272.4-12.15

309.8-0.071821.555.034225.3

1.5580.534239.309.3210.226

9.3140.150341.241.80545.54

1.239-0.0576515.512.75-17.72

15.510.031260.931.32041.97

0.9320.166576.206.4724.382

6.2280.452580.621.245100.9

0.620-0.003193.102.252-27.35

3.1060.1904第3步：相位估計結(jié)果

諧波（次）設(shè)定值普通FFT算法

插值FFT算法估計值估計偏差(%)

估計值估計偏差(%)15.0174.23384

4.919-1.6143210.0299.22892

9.476-5.2381320.088.52342.6

19.74-1.08194120.0100.5-16.27

119.6-0.29