第四章

相似和量綱分析DimensionalAnalysisandSimilitude4-1相似原理4-2Π定理和量綱分析的應(yīng)用

第四章相似原理與量綱分析以相似原理為基礎(chǔ)

解決流體力學(xué)問題的方法數(shù)學(xué)分析

實(shí)驗(yàn)研究

模型實(shí)驗(yàn)在相似原理和準(zhǔn)則的指導(dǎo)下，進(jìn)行流體力學(xué)模型實(shí)驗(yàn)。應(yīng)用量綱分析理論尋找表示流動過程的關(guān)系式。主要解決兩個問題：4-1相似原理SIMILITUDE相似條件相似：如果兩個流動系統(tǒng)的相應(yīng)點(diǎn)上所有表征流動狀況的物理量都維持各自的固定比例關(guān)系，則這兩個流動系統(tǒng)就是相似。確定兩者之間存在相似關(guān)系的原理稱為相似原理。流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)方法之一就是進(jìn)行模型試驗(yàn)?zāi)Ｐ驮囼?yàn)葛洲壩船模試驗(yàn)?zāi)Ｐ停嗨评碚摚?-1相似原理SIMILITUDE一、力學(xué)相似1.幾何相似幾何相似是指原型和模型兩個流場的幾何形狀相似，兩個流動的對應(yīng)的線段長度成比例，對應(yīng)角相等。線性比例尺面積比例體積比例2.運(yùn)動相似運(yùn)動相似是兩個流場相應(yīng)點(diǎn)的速度方向相同，大小成比例，即

速度比例尺時間比例尺加速度比例尺3.動力相似動力相似是指模型和原型流動受同種外力作用，而對應(yīng)點(diǎn)上的對應(yīng)力成比例。密度比例尺質(zhì)量比例尺力的比例尺1、幾何相似、運(yùn)動相似、動力相似的涵義是什么？2、為什么說動力相似是運(yùn)動相似的保證？幾何相似是力學(xué)相似的前提？思考題一、力學(xué)相似基本比例尺是各自獨(dú)立的，它們確定后，一切物理量的比例尺都可以確定。幾何相似是前提，動力相似是決定運(yùn)動相似的主導(dǎo)因素，運(yùn)動相似是幾何相似和動力相似的表現(xiàn)。二、相似準(zhǔn)則

兩個流動要實(shí)現(xiàn)動力相似，作用在相應(yīng)質(zhì)點(diǎn)上的各種作用力的比尺要滿足一定的約束關(guān)系，這種約束關(guān)系稱為相似準(zhǔn)則。作用在流體質(zhì)點(diǎn)上的力可以分為兩類:①是企圖維持原有運(yùn)動狀態(tài)的力；②是企圖改變其運(yùn)動狀態(tài)的力。兩個流動對應(yīng)處作用在流體質(zhì)點(diǎn)上的慣性力與其它各種力的比值應(yīng)相等。在幾何相似的前提下，要保證流動相似，主要看動力相似。相似準(zhǔn)則數(shù)即由重力和慣性力的關(guān)系式中為一無量綱量，稱為佛勞德數(shù)

上式表明，兩個流動的慣性力和重力成比例，則它們的佛勞德數(shù)相等，這就是佛勞德準(zhǔn)則，或稱重力相似準(zhǔn)則。1.佛勞德數(shù)即式中為雷諾數(shù)。

上式表明，兩個流動的慣性力和粘滯力成比例，則它們的雷諾數(shù)相等，這就是雷諾準(zhǔn)則，或稱為粘滯力相似準(zhǔn)則。2.雷諾數(shù)由慣性力和粘性力的關(guān)系相似準(zhǔn)則數(shù)即式中

為一無量綱量，稱為歐拉數(shù)

上式表明，兩個流動的慣性力和流體動壓力成比例，則它們的歐拉數(shù)相等，這就是歐拉準(zhǔn)則，或稱為壓力相似準(zhǔn)則。3.歐拉數(shù)由總壓力和慣性力的關(guān)系相似準(zhǔn)則數(shù)近似模型法

在有自由面的流動現(xiàn)象中，重力起主導(dǎo)作用，粘性力不起顯著作用，重力相似準(zhǔn)則Fr數(shù)就是相似準(zhǔn)則。采用弗勞德相似準(zhǔn)則進(jìn)行模型設(shè)計。應(yīng)用在模擬船舶的運(yùn)動和水利工程上。1.佛勞德模型法2.雷諾模型法

實(shí)際流體在管內(nèi)流動，粘性力決定流體流動的阻力損失，形成壓降。此時重力等是次要因素，雷諾數(shù)是主要相似準(zhǔn)則。采用雷諾相似準(zhǔn)則進(jìn)行模型設(shè)計如果是可壓縮流動還要滿足馬赫準(zhǔn)則。應(yīng)用在管內(nèi)流動、液壓技術(shù)、流體機(jī)械的試驗(yàn)中。

當(dāng)Re數(shù)大于某一定值時流體的速度分布彼此相似與雷諾數(shù)不再有關(guān)，流體的流動進(jìn)入自?；瘏^(qū)內(nèi)，慣性力起主要作用，粘性力的影響減弱。此時盡管雷諾數(shù)不同，但粘性的效果卻是一樣的，雷諾數(shù)處在自動模型區(qū)，雷諾準(zhǔn)則失去判別相似的作用。3.歐拉模型法歐拉模型法用于自動模型區(qū)德管中流動、風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)及氣體繞流等情況。4-2∏定理和量綱分析的應(yīng)用量綱是各種類別物理量的標(biāo)志，量綱又稱為因次。量綱和單位單位是度量各種物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)。量綱力學(xué)中任何一個物理量n的量綱都可以用三個基本量綱的指數(shù)乘積形式表示，即基本量綱導(dǎo)出量綱無量綱量

某些物理量的量綱可以化簡為1，即量綱公式中各指數(shù)均可化簡為零，用公式表示即為稱n為無量綱量（數(shù)），也稱純數(shù)無量綱量的組成①由兩個具有相同量綱的物理量相比而得到。②由幾個有量綱的量通過乘除組合而成，組合的結(jié)果為各基本量綱的指數(shù)均為零。流體力學(xué)中無量綱量一般有三種①相似準(zhǔn)數(shù)；②系數(shù)；③比例數(shù)常用量的量綱[]3-MLrπ定理

(Buckinghamπ-Theorem)在量綱和諧原理基礎(chǔ)上發(fā)展起來的量綱分析方法有兩種。瑞利法（Rayleigh），適用于比較簡單的問題。π定理或稱為布金漢（Buckingham）定理，是一種具有普遍性的方法π定理

量綱和諧原理

是指凡正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項(xiàng)的量綱都必須是一致的例如：

有量綱

長度量綱無量綱用途：①確定方程式中系數(shù)的量綱，以及分析經(jīng)驗(yàn)公式的結(jié)構(gòu)是否合理；②確定方程式中物理量的指數(shù)，找到物理量之間的函數(shù)關(guān)系。

π定理

(Buckinghamπ-Theorem)①π定理的基本內(nèi)容是：若某一物理過程包含有n個物理量，可表示為如下函數(shù)關(guān)系其中有m個基本物理量，則該物理過程可由n個物理量所構(gòu)成的（n-m）個無量綱組合量所表達(dá)的關(guān)系式來描述，即式中個無量綱數(shù)，因?yàn)檫@些無量綱數(shù)用π表示，所以此定理就稱為π定理。π定理

(Buckinghamπ-Theorem)②π定理的解題步驟是:a.找出對物理過程有影響的n個物理量，寫成關(guān)系式b.從n個物理量中選取m個相互獨(dú)立的基本物理量。對于不可壓縮流體運(yùn)動，一般取m=3。設(shè)n1、n2、n3為所選的基本物理量。

π定理

c.基本物理量依次與其余量組合成（n-m）個無量綱π項(xiàng)式中xi、yi、zi為各π項(xiàng)的待定系數(shù)。d.根據(jù)量綱和諧原理，求出各π項(xiàng)指數(shù)xi、yi、z