山西省太原市新華中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知向量，若，則等于(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：C2.若則下列結(jié)論正確的是A.

B.

C.

D.參考答案：A3.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足(z－3i)(1+2i)=10，則為（

）A.2+i

B.

2－i

C.1+2i

D.1－2i參考答案：A由得，所以．4.已知雙曲線mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的離心率為2，則橢圓mx2+ny2=1的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】雙曲線、橢圓方程分別化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用雙曲線mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的離心率為2，可得m=3n，從而可求橢圓mx2+ny2=1的離心率．【解答】解：雙曲線mx2﹣ny2=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：∵雙曲線mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的離心率為2，∴∴m=3n橢圓mx2+ny2=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：∴橢圓mx2+ny2=1的離心率的平方為=∴橢圓mx2+ny2=1的離心率為故選C．5.某校新生分班，現(xiàn)有A，B，C三個(gè)不同的班，兩名關(guān)系不錯(cuò)的甲和乙同學(xué)會(huì)被分到這三個(gè)班，每個(gè)同學(xué)分到各班的可能性相同，則這兩名同學(xué)被分到同一個(gè)班的概率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】利用列舉法求出甲乙兩同學(xué)分班的所有情況和符合條件的各種情況，由此能求出這兩名同學(xué)被分到同一個(gè)班的概率．【解答】解：甲乙兩同學(xué)分班共有以下情況：（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），其中符合條件的有三種，所以這兩名同學(xué)被分到同一個(gè)班的概率為p=．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．6.若定義在R上的偶函數(shù)滿足且時(shí),則方程的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A.

2個(gè)

B.

3個(gè)

C.4個(gè)

D.多于4個(gè)參考答案：C略7.若復(fù)數(shù)z滿足，則等于（

）A． B．

C．

D．參考答案：A8.當(dāng)時(shí)，下列大小關(guān)系正確的是

(

)A.B.

C.

D.參考答案：B9.若集合，，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略10.多面體MN-ABCD的底面ABCD為矩形，其正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖，其中正（主）視圖為等腰梯形，側(cè)（左）視圖為等腰三角形，則AM的長(zhǎng)為

（

）A. B. C. D.參考答案：C試題分析：如圖，分別是和的中點(diǎn)，由正視圖可知．由側(cè)視圖可知多面體的高為2，．所以，所以．考點(diǎn)：空間幾何體的三視圖.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知A（1，3），B（a，1），C（﹣b，0），（a＞0，b＞0），若A，B，C三點(diǎn)共線，則+的最小值是

．參考答案：11+6

【考點(diǎn)】基本不等式；三點(diǎn)共線．【分析】由A（1，3），B（a，1），C（﹣b，0），（a＞0，b＞0），A，B，C三點(diǎn)共線，可得kAB=kAC，化為3a+2b=1．再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵A（1，3），B（a，1），C（﹣b，0），（a＞0，b＞0），A，B，C三點(diǎn)共線，∴kAB=kAC，=，化為3a+2b=1．則+=（3a+2b）=11+≥11+3×2×=11+6，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)．故答案為：11+6．12.已知向量，滿足，|，，則|

．參考答案：2，故答案為2.

13.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在非零?shí)數(shù)使得對(duì)于任意，有，且，則稱為上的高調(diào)函數(shù)．如果定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且為上的8高調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：略14.已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若與共線，則k=

．參考答案：1【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出的坐標(biāo)；利用向量共線的坐標(biāo)形式的充要條件列出方程，求出k的值．【解答】解：∵與共線，∴解得k=1．故答案為1．15.《九章算術(shù)》中有一個(gè)“兩鼠穿墻”問(wèn)題：“今有垣（墻，讀音）厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天減半）．問(wèn)何日相逢，各穿幾何？”在兩鼠“相逢”時(shí)，大鼠與小鼠“穿墻”的“進(jìn)度”之比是

：

．參考答案：59，26．【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】第一天的時(shí)候，大鼠打了1尺，小鼠1尺；第二天的時(shí)候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺；第三天設(shè)大鼠打了X尺，小鼠則打了（0.5﹣X）尺，則X÷4=（0.5﹣x）÷，由此能求出大鼠與小鼠“穿墻”的“進(jìn)度”之比．【解答】解：第一天的時(shí)候，大鼠打了1尺，小鼠1尺，一共2尺，還剩3尺；第二天的時(shí)候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺，這一天一共打了2.5尺，兩天一共打了4.5尺，還剩0.5尺．第三天按道理來(lái)說(shuō)大鼠打4尺，小鼠尺，可是現(xiàn)在只剩0.5尺沒(méi)有打通了，所以在第三天肯定可以打通．我們現(xiàn)在設(shè)大鼠打了X尺，小鼠則打了（0.5﹣X）尺則打洞時(shí)間相等：X÷4=（0.5﹣x）÷解方程得X=，所以大鼠在第三天打了8/17尺，小鼠打了0.5﹣=尺所以三天總的來(lái)說(shuō)：大鼠打了3+=尺，小鼠打了5﹣尺，∴大鼠與小鼠“穿墻”的“進(jìn)度”之比是59：26．故答案為：59，26．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列在生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．16.已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)g（x）=f（x）+k有三個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是．參考答案：（，0）考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：利用數(shù)形結(jié)合的思想，若函數(shù)g（x）=f（x）+k有三個(gè)零點(diǎn)，也就是f（x）=g（x）﹣k，即y=﹣k與f（x）有三個(gè)交點(diǎn)，只要求出f（x）的最小值即可．解答：解：如圖所示，∵f（x）=（x≥0）∴令f′（x）=0，則x=1，當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為f（1）=，∴﹣k=即k=，∴k的取值范圍是（，0）點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題．17.(極坐標(biāo)與參數(shù)方程)直線（）被曲線所截的弦長(zhǎng)為_(kāi)______.參考答案：．略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知（1）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）若，，求的值.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法．菁優(yōu)C3C7

【答案解析】（1）；2；1；（2）。解析：（1）∵，∴，∴函數(shù)的最小正周期為，∵，∴，∴，；（2）由（1）可知，則，，又∵，∴，∴，即.【思路點(diǎn)撥】（1）化簡(jiǎn)得，求出函數(shù)的最小正周期以及最大、最小值；（2）由（1）知，，求出的值，考慮x0的取值范圍，求出的值．19.已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ﹣sinθ）=a，曲線C2的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），且C1與C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．（1）寫出曲線C1的直角坐標(biāo)方程和曲線C2的普通方程；（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】QH：參數(shù)方程化成普通方程；Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）根據(jù)三種方程的轉(zhuǎn)化方法，寫出曲線C1的直角坐標(biāo)方程和曲線C2的普通方程；（2）聯(lián)立兩個(gè)曲線方程，可得，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ﹣sinθ）=a，直角坐標(biāo)方程為x﹣y﹣a=0；曲線C2的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），消去參數(shù)，普通方程為y=x2，x∈[-,]；（2）聯(lián)立兩個(gè)曲線方程，可得，∵x∈，C1與C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴a=x2﹣∈[-1/2,4]．20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓，如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過(guò)原點(diǎn)的直線l交橢圓C于兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為E，射線OE交橢圓C于點(diǎn)G，交直線x＝﹣3于點(diǎn)D（﹣3，m）．（1）求m2+k2的最小值；（2）若|OG|2＝|OD|?|OE|，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)．參考答案：（1）2；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)出直線方程為，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡(jiǎn)為一元二次方程的形式.根據(jù)直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)得出判別式大于零，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得直線的斜率和方程，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得的最小值.（2）將直線的方程代入橢圓方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)坐標(biāo)以及兩點(diǎn)間的距離公式，求得，代入列方程，解方程求得的關(guān)系，由此判斷出直線過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)直線l的方程為y＝kx+t（k＞0），由題意，t＞0，由方程組，得（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣3＝0，由題意△＞0，所以3k2+1＞t2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數(shù)的關(guān)系得，所以，由于E為線段AB的中點(diǎn)，因此，此時(shí)，所以O(shè)E所在直線的方程為，又由題意知D（﹣3，m），令x＝﹣3，得，即mk＝1，所以m2+k2≥2mk＝2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝k＝1時(shí)上式等號(hào)成立，此時(shí)由△＞0得0＜t＜2，因此當(dāng)m＝k＝1且0＜t＜2時(shí)，m2+k2取最小值2．（2）證明：由（1）知D所在直線的方程為，將其代入橢圓C的方程，并由k＞0，解得，又，由距離公式及t＞0得，，，由|OG|2＝|OD|?|OE|，得t＝k，因此直線l的方程為y＝k（x+1），所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)（﹣1，0）．【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查根于系數(shù)關(guān)系，考查直線和直線交點(diǎn)坐標(biāo)、直線和橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查兩點(diǎn)間的距離公式，考查直線過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.21.已知函數(shù)（）.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的圖象在處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且，求證：（其中是的導(dǎo)函數(shù)）．參考答案：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線的斜率，則切線方程為，即. 2分（Ⅱ），則，∵，故時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在處取得極大值. 4分又，，，則，∴在上的最小值是. 6分在上有兩個(gè)零點(diǎn)的條件是解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是. 8分

（Ⅲ）∵的圖象與軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，∴方程的兩個(gè)根為，則兩式相減得.又，，則.下證（*），即證明，，∵，∴，即證明在上恒