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學(xué)業(yè)分層測評(十三)平均變化率(建議用時:45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1.在函數(shù)變化率的定義中,關(guān)于自變量的增量Δx的說法:①Δx<0;②Δx>0;③Δx=0;④Δx≠0.其中正確的是________(填序號).【導(dǎo)學(xué)號:24830064】【解析】由平均變化定義知Δx≠0.【答案】④2.函數(shù)f(x)=eq\f(1,x)在x=1到x=2之間的平均變化率為________.【解析】eq\f(f2-f1,2-1)=eq\f(\f(1,2)-1,1)=-eq\f(1,2).【答案】-eq\f(1,2)3.(2023·徐州高二檢測)函數(shù)y=-3x2+6在區(qū)間1,1+Δx]內(nèi)的平均變化率是________.【解析】函數(shù)在1,1+Δx]內(nèi)的平均變化率是eq\f([-31+Δx2+6]--3×12+6,Δx)=eq\f(-6Δx-3Δx2,Δx)=-6-3Δx.【答案】-6-3Δx4.某人服藥后,人吸收藥物的情況可以用血液中藥物的濃度c(單位:mg/mL)來表示,它是時間t(單位:min)的函數(shù),表示為c=c(t),下表給出了c(t)的一些函數(shù)值.t/min0102030405060708090c(t)/(mg/mL)服藥后30~70min這段時間內(nèi),藥物濃度的平均變化率為________.【解析】eq\f(c70-c30,70-30)=eq\f-,40)=-.【答案】-5.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律s=t2+3,則在時間(3,3+Δt)中,相應(yīng)的平均速度等于________.【解析】由平均速度表示式,函數(shù)平均變化率:eq\x\to(v)=eq\f(3+Δt2-32,Δt)=6+Δt.【答案】6+Δt6.函數(shù)f(x)=x3在區(qū)間(-1,3)上的平均變化率為______.【解析】函數(shù)f(x)在(-1,3)上的平均變化率為eq\f(f3-f-1,3--1)=eq\f(27--1,4)=7.【答案】77.一棵樹2015年1月1日高度為4.5m,2016年1月1日高度為4.98m,則這棵樹2023年高度的月平均變化率為________.【解析】eq\f-,12)=.【答案】8.設(shè)自變量x的增量為Δx,則函數(shù)y=log2x的增量為________.【解析】函數(shù)y=log2x的增量為log2(x+Δx)-log2x=log2eq\f(x+Δx,x)=log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(Δx,x))).【答案】log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(Δx,x)))二、解答題9.過曲線y=f(x)=x3上兩點(diǎn)P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲線的割線,求出當(dāng)Δx=時割線的斜率.【解】∴割線PQ的斜率k=eq\f(f1+Δx-f1,Δx)=eq\f(Δx3+3Δx2+3Δx,Δx)=(Δx)2+3Δx+3.設(shè)當(dāng)Δx=的割線的斜率為k1,則k1=2+3×+3=.10.求函數(shù)y=x2在x=1,2,3附近的平均變化率,取Δx的值為eq\f(1,3),哪一點(diǎn)附近平均變化率最大?【解】在x=1附近的平均變化率為k1=eq\f(f1+Δx-f1,Δx)=eq\f(1+Δx2-1,Δx)=2+Δx;在x=2時附近的平均變化率為k2=eq\f(f2+Δx-f2,Δx)=eq\f(2+Δx2-22,Δx)=4+Δx;在x=3時附近的平均變化率為k3=eq\f(f3+Δx-f3,Δx)=eq\f(3+Δx2-32,Δx)=6+Δx;若Δx=eq\f(1,3),則k1=2+eq\f(1,3)=eq\f(7,3),,k2=4+eq\f(1,3)=eq\f(13,3),k3=6+eq\f(1,3)=eq\f(19,3).由于k1<k2<k3;∴在x=3附近的平均變化率最大.能力提升]1.已知A,B兩車在十字路口相遇后,又沿不同方向繼續(xù)前進(jìn),已知A車向北行駛,速度為30km/h,B車向東行駛,速度為40km/h,那么A,B兩車間直線距離增加的速度為________.【導(dǎo)學(xué)號:24830065】【解析】設(shè)經(jīng)過th兩車間的距離為skm,則s=eq\r(30t2+40t2)=50t(km),增加的速度為eq\f(50t+Δt-50t,Δt)=50(km/h).【答案】50km/h 2.函數(shù)y=x2在x0到x0+Δx(Δx>0)之間的平均變化率為k1,在x0-Δx到x0之間的平均變化率為k2,則k1與k2的大小關(guān)系是________.【解析】∵k1=eq\f(x0+Δx2-x\o\al(2,0),Δx)=eq\f(2x0Δx+Δx2,Δx)=2x0+Δx,k2=eq\f(x\o\al(2,0)-x0-Δx2,Δx)=eq\f(2x0Δx-Δx2,Δx)=2x0-Δx,又∵Δx>0,∴k1>k2.【答案】k1>k23.在高臺跳水運(yùn)動中,運(yùn)動員相對于水面高度與起跳時間t的函數(shù)關(guān)系為h(t)=c+bt-at2(a>0,b>0),下列說法:①eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a)))-h(huán)0,\f(b,2a)-0)<eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))-h(huán)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a))),\f(b,a)-\f(b,2a));②eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a)))-h(huán)0,\f(b,2a)-0)=eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))-h(huán)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a))),\f(b,a)-\f(b,2a));③eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))-h(huán)0,\f(b,a)-0)=0;④運(yùn)動員在0≤t≤eq\f(b,a)這段時間內(nèi)處于靜止?fàn)顟B(tài).其中正確的是________.【解析】利用變化率的幾何意義解決h(t)=c+bt-at2(a>0,b>0)的對稱軸為t=eq\f(b,2a),故heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))=h(0),則eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))-h(huán)0,\f(b,a)-0)=0.【答案】③4.試比較正弦函數(shù)y=sinx在x=0和x=eq\f(π,2)附近的平均變化率哪一個大?【解】當(dāng)自變量從0到Δx時,函數(shù)的平均變化率為k1=eq\f(sinΔx-sin0,Δx)=eq\f(sinΔx,Δx);當(dāng)自變量從eq\f(π,2)變到Δx+eq\f(π,2)時,函數(shù)的平均變化率為k2=eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+Δx))-sin\f(π,2),Δx)=eq\f(cosΔx-1,Δx).由于是在x=0和x=eq\f(π,2)的附近的平均變化率,可知Δx較小,但Δx既可以為正,又可以為負(fù).當(dāng)Δx>0時,k1>0,k2<0,此時有k1>k2;當(dāng)Δx<0時,k1-k2=eq\f(sinΔx,Δx)-eq\f(cosΔx-1,Δx)=eq\f(sinΔx-cosΔx+1,Δx)=eq\f(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Δx-\f(π,4)))+1,Δx),∵Δx<0,∴Δx-eq\f(π,4)<-eq\f(π,4),∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Δx-\f(π,4)))<-eq\f(\r(2),2),從而有eq\r(
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