第三節(jié)二項式定理1.二項式定理二項式定理(a+b)n=(n∈N+)二項式通項Tr+1=,它表示第____項二項式系數(shù)二項展開式中各項的系數(shù)為r+12.二項式系數(shù)的性質性質性質描述對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即和的性質(a+b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于__，即.2n判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”).(1)是二項展開式的第k項.()(2)通項

中的a與b不能互換.()(3)(a+b)n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a,b無關.()(4)(a+b)n某項的系數(shù)是該項中非字母因數(shù)部分，包括符號等，與該項的二項式系數(shù)不同.()【解析】(1)錯誤.由二項展開式通項的定義可知：應是二項展開式的第k+1項.(2)正確.通項

中的a與b如果互換，則它將成為(b+a)n的第k+1項.(3)正確.因為二項式(a+b)n的展開式中第k+1項的二項式系數(shù)為，顯然它與a,b無關.(4)正確.因為二項展開式中項的系數(shù)是由該項中非字母因數(shù)部分，包括符號構成的，一般情況下，不等于二項式系數(shù).答案:(1)×(2)√(3)√(4)√

1.(2＋x)9展開式的二項式系數(shù)之和為()(A)29(B)39

(C)1

(D)210【解析】選A.因為(a＋b)n展開式的二項式系數(shù)之和為2n，所以(2＋x)9展開式的二項式系數(shù)之和為29.2.(4x－2－x)6(x∈R)展開式中的常數(shù)項是()(A)-20(B)-15

(C)15

(D)20【解析】選C.Tk＋1＝，k＝4時，12-3k＝0，故第5項是常數(shù)項，T5＝(-1)4＝15.3.(x+1)8的展開式中x3

的系數(shù)是________(用數(shù)字作答).【解析】(x+1)8的展開式中x3的系數(shù)是

=56.答案:564.在(1+x)3+(1+)3+(1+)3的展開式中，x的系數(shù)為_____(用數(shù)字作答).【解析】由條件易知(1+x)3+(1+)3+(1+)3展開式中x的系數(shù)分別是，即所求系數(shù)是3+3+1=7.答案：7

5.在(x-y)10的展開式中，x7y3的系數(shù)與x3y7的系數(shù)之和等于_________.【解析】Tr＋1＝(-1)r，所以有答案：-240考向1求二項展開式中的項或項的系數(shù)【典例1】(1)(2012·天津高考)在()5的二項展開式中，x的系數(shù)為()(A)10(B)-10

(C)40

(D)-40(2)(2012·安徽高考)(x2+2)(-1)5的展開式的常數(shù)項是()(A)-3(B)-2

(C)2

(D)3【思路點撥】(1)可利用二項展開式的通項，求x的系數(shù).(2)先將(x2+2)(-1)5看作是兩個因式相乘的形式，根據(jù)展開式中的每一項是由每個因式各取一項相乘得到的進行分類討論.【規(guī)范解答】(1)選D.Tr+1=(-1)r·(2x2)5-r·x-r=(-1)r·25-rx10-3r，令10-3r=1,則r=3，∴T4=-·22x=-40x,∴x的系數(shù)為-40.(2)選D.第一個因式取x2，第二個因式取得：1×(-1)4=5；第一個因式取2，第二個因式取(-1)5得：2×(-1)5=-2，∴展開式的常數(shù)項是5+(-2)=3.【互動探究】在本例題(1)中，x的整式項有幾項？分別是第幾項？【解析】由本例題(1)的解析可知：Tr+1=(-1)r··(2x2)5-r·x-r=(-1)r·25-rx10-3r.又因為r=0,1,2,3,4,5，所以當r=0,1,2,3時，分別是x的整式項，共有4項.它們分別是第一項、第二項、第三項和第四項.【拓展提升】求二項展開式中的項或項的系數(shù)的方法(1)展開式中常數(shù)項、有理項的特征是通項式中未知數(shù)的指數(shù)分別為零和整數(shù).解決這類問題時，先要合并通項式中同一字母的指數(shù)，再根據(jù)上述特征進行分析.(2)有關求二項展開式中的項、系數(shù)、參數(shù)值或取值范圍等，一般要利用通項公式，運用方程思想進行求值，通過解不等式(組)求取值范圍.【提醒】二項展開式某一項的系數(shù)是指該項中字母前面的常數(shù)值(包括正負符號)，它與a,b的取值有關，而二項式系數(shù)與a,b的取值無關.【變式備選】(2013·西安模擬)(1+2x)n的展開式中x3的系數(shù)等于x2的系數(shù)的4倍，則n等于__________.【解析】∵Tr+1=(2x)r=2r

xr,∴x3的系數(shù)是23，x2的系數(shù)是22.∴即,解得n=8.答案：8考向2二項式系數(shù)和或各項系數(shù)和【典例2】(1)(2013·景德鎮(zhèn)模擬)若(x-)n的展開式中第3項的二項式系數(shù)為15，則展開式中所有項的系數(shù)之和為()(A)(B)(C)(D)(2)(1+ax+by)n展開式中不含x的項的系數(shù)的和為243，不含y的項的系數(shù)的和為32，則a,b,n的值可能為()(A)a=2,b=-1,n=5(B)a=-2,b=-1,n=6(C)a=-1,b=2,n=6

(D)a=1,b=2,n=5(3)已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8，則a1+a2+a3+…+a8=_________.【思路點撥】(1)根據(jù)題意，結合二項式定理可得=15,解可得n=6,將其代入二項式，并令x=1,計算(x-)6的值,可得答案.(2)采用賦值法，依據(jù)題意分別令x=0,y=1與x=1,y=0即可得出a,b,n的值.(3)采用賦值法，先求出a0+a1+a2+a3+…+a8的值,再求出a0的值即可求出所求.【規(guī)范解答】(1)選C.由二項式定理，(x-)n的展開式中第3項的二項式系數(shù)是,又由題意，其展開式中第3項的二項式系數(shù)是15，則

=15,解得n=6,在(x-)6中，令x=1,可得其展開式中所有項的系數(shù)之和為()6=，故選C.(2)選D.令x=0,y=1得(1+b)n=243=35；令x=1,y=0得(1+a)n=32=25，因此，a=1,b=2,n=5，故選D.(3)令x=1，則a0+a1+a2+a3+…+a8=2+22+…+28=510；令x=0，則a0=8，所以a1+a2+a3+…+a8=502.答案:502【拓展提升】賦值法的應用(1)形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x=1即可.(2)對形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x=y=1即可.(3)若f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0+a2+a4+…=偶數(shù)項系數(shù)之和為a1+a3+a5+…=【變式訓練】已知(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，則|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|等于()(A)29(B)49

(C)39

(D)1【解析】選B.x的奇數(shù)次方的系數(shù)都是負值，所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…-a9.所以已知條件中只需令x=-1即可，故選B.考向3二項式定理的綜合應用【典例3】(1)(2012·湖北高考)設a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，則a=()(A)0(B)1

(C)11

(D)12(2)1.025精確到0.01的近似值為________.(3)已知n∈N+,求證：1+2+22+23+…+25n-1能被31整除.【思路點撥】(1)把51分為52-1,再按二項式定理展開即可.(2)把1.025轉化為二項式，展開后，根據(jù)精確度的要求取必要的幾項即可.(3)先求和，再將和式化成含有31的二項式，展開即可證明.【規(guī)范解答】(1)選D.∵512012=(52-1)2012=∴能被52整除，即能被13整除.若512012+a能被13整除,則a+1能被13整除,又a∈Z，且0≤a≤13，則a=12.(2)1.025=(1+0.02)5=1+·0.02+·0.022+·0.023+·0.024+·0.025，∵×0.022=0.004,×0.023=8×10-5，∴當精確到0.01時，只要展開式的前三項和，1+0.10+0.004=1.104，近似值為1.10.答案：1.10(3)∵1+2+22+23+…+25n-1==25n-1=32n-1=(31+1)n-1==顯然括號內的數(shù)為正整數(shù)，故原式能被31整除.【互動探究】將本例題(2)中精確到0.01改為精確到0.001，如何求解?【解析】由本例(2)知，當精確到0.001時，只要取展開式的前四項的和,即1+0.10+0.004+0.00008=1.10408，所以近似值為1.104.【拓展提升】1.整除問題的解題思路利用二項式定理找出某兩個數(shù)(或式)之間的倍數(shù)關系，是解決有關整除性問題和余數(shù)問題的基本思路，關鍵是要合理地構造二項式，并將它展開進行分析判斷.2.求近似值的基本方法利用二項式定理進行近似計算：當n不很大，|x|比較小時，(1+x)n≈1+nx.【變式備選】若能被7整除，則x,n的值可能為()(A)x=4,n=3(B)x=4,n=4(C)x=5,n=4

(D)x=6,n=5【解析】選C.=(1+x)n-1，當x=5,n=4時，(1+x)n-1=64-1=35×37，能被7整除，故選C.【易錯誤區(qū)】某項的系數(shù)與某項的二項式系數(shù)不清致誤【典例】(2012·福建高考)(a+x)4的展開式中x3的系數(shù)等于8，則實數(shù)a=________.【誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)的錯誤主要有兩個方面(1)誤以為x3的二項式系數(shù)是x3的系數(shù).(2)通項中字母顛倒造成失誤.【規(guī)范解答】因為(a+x)4的展開式的通項為Tk+1=，由題意知，當k=3時，所以，a=2.答案:2【思考點評】1.某項的二項式系數(shù)與某項的系數(shù)二項展開式中的二項式系數(shù)為

(k=0,1,2,…,n)，與其他字母數(shù)值無關；而展開式中項的系數(shù)是由該項中非字母因數(shù)部分，包括符號構成的，一般情況下，不等于二項式系數(shù).2.二項展開式的通項(a+b)n展開式中的第k+1項為：Tk+1=其中字母a,b的順序不能改變，否則會出現(xiàn)錯誤.

1.(2012·四川高考)(1+x)7的展開式中x2的系數(shù)是()(A)42(B)35

(C)28

(D)21【解析】選D.由二項式定理得，所以x2的系數(shù)為21，故選D.2.(2012·廣東高考)(x2+)6的展開式中x3的系數(shù)為______(用數(shù)字作答).【解析】Tr+1=令12-3r=3，∴r=3,∴展開式中x3的系數(shù)為=20.答案:203.(2012·湖南高考)的二項展開式中的常數(shù)項為______(用數(shù)字作答).【解析】設常數(shù)項為第r+1項，則Tr+1==(-1)r·26-r由=0，解得r=3.∴常數(shù)項為第四項，T4=(-1)3·23·=-160.答案:-1604.(2012·浙江高考)若將函數(shù)f(x)=x5表示為f(x)=a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數(shù)，則a3=________.【解析】f(x)=x5=［(x+1)-1］5，則a3==10．答案:105.(2012·陜西高考)(a+x)5展開式中x2的系數(shù)為10，則實數(shù)a的值為_______.【解析】二項展開式的通項公式是Tr+1=，當r=2時，T3=所以10a3=10,所以a=1.答案：11.若(1+mx)6=a0+a1x+a2