學(xué)業(yè)分層測評(六)弦切角定理(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A、B，則()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：96990026】A.∠MCB＝∠B B.∠PAC＝∠PC.∠PCA＝∠B D.∠PAC＝∠BCA【解析】如圖所示，由弦切角定理知∠PCA＝∠B.【答案】C2.如圖1-2-64，△ABC內(nèi)接于⊙O，EC切⊙O于點(diǎn)C.若∠BOC＝76°，則∠BCE等于()圖1-2-64° °° °【解析】∵EC為⊙O的切線，∴∠BCE＝∠BAC＝eq\f(1,2)∠BOC＝38°.【答案】B3.如圖1-2-65，在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C點(diǎn)，那么圖中與∠DCF相等的角的個(gè)數(shù)是()圖1-2-65 【解析】∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE，∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.【答案】B4.如圖1-2-66所示，CD是⊙O的直徑，AE切⊙O于點(diǎn)B，DC的延長線交AB于點(diǎn)A，∠A＝20°，則∠DBE＝()圖1-2-66° °° °【解析】連結(jié)OB，則OB⊥AB，∴∠AOB＝90°－∠A＝70°.∠BOD＝180°－∠AOB＝110°.又OB＝OD，∴∠OBD＝eq\f(1,2)(180°－∠BOD)＝35°，∴∠DBE＝90°－∠OBD＝55°.【答案】A5.在圓O的直徑CB的延長線上取一點(diǎn)A，AP與圓O切于點(diǎn)P，且∠APB＝30°，AP＝eq\r(3)，則CP＝()\r(3) \r(3)\r(3)－1 \r(3)＋1【解析】如圖，連接OP，則OP⊥PA，又∠APB＝30°，∴∠POB＝60°，∴在Rt△OPA中，AP＝eq\r(3)，易知，PB＝OP＝1，在Rt△PCB中，由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝eq\r(3).【答案】A二、填空題6.如圖1-2-67，已知PA是圓O(O為圓心)的切線，切點(diǎn)為A，PO交圓O于B，C兩點(diǎn)，AC＝eq\r(3)，∠PAB＝30°，則線段PB的長為________.圖1-2-67【解析】如圖，連接OA，又PA為⊙O切線，∴∠OAP＝90°，∠C＝∠PAB＝30°，∴∠OBA＝∠OAB＝60°，∴∠P＝∠PAB＝30°，∴PB＝AB.又AC＝eq\r(3)，BC為⊙O直徑，∴∠CAB＝90°，∴AB＝1，∴PB＝1.【答案】17.如圖1-2-68，已知：△ABC內(nèi)接于圓O，點(diǎn)D在OC的延長線上.AD是⊙O的切線，若∠B＝30°，AC＝2，則OD的長為__________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：96990027】圖1-2-68【解析】連接OA，則∠COA＝2∠CBA＝60°，且由OC＝OA知△COA為正三角形，所以O(shè)A＝2.又因?yàn)锳D是⊙O的切線，即OA⊥AD，所以O(shè)D＝2OA＝4.【答案】48.如圖1-2-69，AB為⊙O直徑，CD切⊙O于D，AB延長線交CD于點(diǎn)C，若∠CAD＝25°，則∠C等于__________.圖1-2-69【解析】連接BD，∵AB為直徑，∴∠BDA＝90°.又∵CD為⊙O切線，切點(diǎn)為D，由弦切角定理知∠BDC＝∠CAD＝25°.∴∠CDA＝90°＋25°＝115°.在△ACD中，∠C＝180°－∠A－∠CDA＝180°－25°－115°＝40°.【答案】40°三、解答題9.如圖1-2-70，一圓過直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C，且與斜邊AB相切于D點(diǎn)，AD＝DB，G為eq\o(\s\up10(︵),CD)中點(diǎn)，F(xiàn)為eq\o(\s\up10(︵),CE)上任一點(diǎn)，求證：∠CFG＝∠EFD.圖1-2-70【證明】連接CD，∵AB切圓于D點(diǎn).∴∠CDB＝∠DFC.∵G為eq\o(\s\up10(︵),CD)的中點(diǎn)，∴∠CDB＝∠DFC＝2∠CFG.∵D為直角三角形ACB的斜邊中點(diǎn)，∴CD＝AD，∴∠CDB＝2∠DCE.∵∠DCE＝∠EFD，∴∠CFG＝∠EFD.10.如圖1-2-71所示，已知圓上的弧eq\o(\s\up10(︵),AC)＝eq\o(\s\up10(︵),BD)，過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長線交于E點(diǎn)，證明：圖1-2-71(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.【證明】(1)因?yàn)閑q\o(\s\up10(︵),AC)＝eq\o(\s\up10(︵),BD)，所以∠BCD＝∠ABC.又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因?yàn)椤螮CB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故eq\f(BC,BE)＝eq\f(CD,BC)，即BC2＝BE×CD.能力提升]1.如圖1-2-72，AB是⊙O的直徑，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，則AC的長為()圖1-2-72 \r(3) 【解析】連接BC，則∠ACB＝90°，又AD⊥EF，∴∠ADC＝90°，即∠ADC＝∠ACB，又∵∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴AC2＝AD·AB＝12，即AC＝2eq\r(3).【答案】C2.如圖1-2-73，AB是⊙O直徑，P在AB的延長線上，PD切⊙O于C，連接AC，若AC＝PC，PB＝1，則⊙O的半徑為()圖1-2-73 【解析】連接BC.∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P.∴BC＝BP＝1.由△BCP∽△CAP得PC2＝PB·PA，即AC2＝PB·PA.而AC2＝AB2－BC2，設(shè)⊙O半徑r，則4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.【答案】A3.如圖1-2-74，點(diǎn)P在圓O直徑AB的延長線上，且PB＝OB＝2，PC切圓O于C點(diǎn)，CD⊥AB于D點(diǎn)，則CD＝__________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：96990028】圖1-2-74【解析】如圖，連接OC，∵PC切⊙O于C點(diǎn)，∴OC⊥PC.∵PB＝OB＝2，OC＝2.∴PC＝2eq\r(3).∵OC·PC＝OP·CD，∴CD＝eq\f(2×2\r(3),4)＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)4.如圖1-2-75，已知AB為⊙O直徑，P為AB延長線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線，設(shè)切點(diǎn)為C.圖1-2-75(1)請你連接AC，作∠APC的平分線，交AC于點(diǎn)D，測量∠CDP的度數(shù)；(2)∠CDP的度數(shù)是否隨點(diǎn)P在AB延長線上的位置的變化而變化？請你猜想并證明.【解】(1)連接AC，作∠APC的平分線，交AC于點(diǎn)D，測量結(jié)果：∠CDP＝45°.(2)猜想∠CDP＝45°不變.連接BC.eq