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文檔簡介
學業(yè)分層測評(二)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.下列各點中與(2,eq\f(π,6))不表示極坐標系中同一個點的是()A.(2,-eq\f(11,6)π) B.(2,eq\f(13,6)π)C.(2,eq\f(11,6)π) D.(2,eq\f(-23,6)π)【解析】與極坐標(2,eq\f(π,6))相同的點可以表示為(2,eq\f(π,6)+2kπ)(k∈Z),只有(2,eq\f(11,6)π)不適合.【答案】C2.在極坐標系中與點A(3,-eq\f(π,3))關于極軸所在的直線對稱的點的極坐標是()A.(3,eq\f(2,3)π) B.(3,eq\f(π,3))C.(3,eq\f(4,3)π) D.(3,eq\f(5,6)π)【解析】與點A(3,-eq\f(π,3))關于極軸所在的直線對稱的點的極坐標可以表示為(3,2kπ+eq\f(π,3))(k∈Z).【答案】B3.將點P的直角坐標(-1,eq\r(3))化為極坐標是()A.(2,-eq\f(π,3)) B.(2,eq\f(2π,3))C.(-2,-eq\f(π,3)) D.(-2,eq\f(4π,3))【解析】在直角坐標系中(-1,eq\r(3))對應的極徑ρ=eq\r(-12+\r(3)2)=2,極角θ滿足tanθ=eq\f(\r(3),-1)=-eq\r(3),∴由于點(-1,eq\r(3))在第二象限,所以θ=eq\f(2π,3).【答案】B4.在極坐標系中,點A(2,eq\f(π,6))與B(2,-eq\f(π,6))之間的距離為() 【解析】點A(2,eq\f(π,6))與B(2,-eq\f(π,6))的直角坐標分別為(eq\r(3),1)與(eq\r(3),-1).于是|AB|=eq\r(\r(3)-\r(3)2+1+12)=2.【答案】B二、填空題(每小題5分,共10分)5.關于極坐標系的下列敘述正確的是________.①極軸是一條射線;②極點的極坐標是(0,0);③點(0,0)表示極點;④點M(4,eq\f(π,4))與點N(4,eq\f(5π,4))表示同一個點.【解析】①③正確;②④錯誤.【答案】①③6.將點的直角坐標(-eq\f(π,2),eq\f(π,2))化為極坐標(ρ>0,θ∈[0,2π))為________.【解析】ρ=eq\r(x2+y2)=eq\r(-\f(π,2)2+\f(π,2)2)=eq\f(\r(2),2)π.又tanθ=eq\f(y,x)=-1,θ∈[0,2π),且點(-eq\f(π,2),eq\f(π,2))在第二象限.∴θ=eq\f(3,4)π.因此所求的極坐標為(eq\f(\r(2),2)π,eq\f(3,4)π).【答案】(eq\f(\r(2),2)π,eq\f(3,4)π)三、解答題(每小題10分,共30分)7.已知點P的直角坐標按伸縮變換eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′=2x,y′=\r(3)y))變換為點P′(6,-3),限定ρ>0,0≤θ<2π時,求點P的極坐標.【解】設點P的直角坐標為(x,y),由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6=2x,-3=\r(3)y)),解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=3,y=-\r(3))),∴點P的直角坐標為(3,-eq\r(3)).ρ=eq\r(32+-\r(3)2)=2eq\r(3),tanθ=eq\f(-\r(3),3).∵0≤θ<2π.點P在第四象限.∴θ=eq\f(11π,6).∴點P的極坐標為(2eq\r(3),eq\f(11π,6)).8.將下列各點由極坐標化為直角坐標,由直角坐標化為極坐標.(1)P(2,eq\f(5,4)π);(2)Q(2,-eq\f(π,6));(3)C(0,-2);(4)D(3,0).【解】(1)x=2coseq\f(5,4)π=2×(-eq\f(\r(2),2))=-eq\r(2),y=2sineq\f(5,4)π=2×(-eq\f(\r(2),2))=-eq\r(2).所以P點的直角坐標為(-eq\r(2),-eq\r(2)).(2)x=2cos(-eq\f(π,6))=2×eq\f(\r(3),2)=eq\r(3),y=2sin(-eq\f(π,6))=2×(-eq\f(1,2))=-1.所以Q點的直角坐標為(eq\r(3),-1).(3)ρ=eq\r(02+-22)=2,θ為eq\f(3,2)π,θ在y軸負半軸上,所以C點的極坐標為(2,eq\f(3,2)π).(4)ρ=eq\r(32+02)=3,tanθ=eq\f(0,3)=0,故θ=0.所以D點的極坐標為(3,0).9.在極坐標系中,點A和點B的極坐標分別為(2,eq\f(π,3))和(3,0),O為極點,【導學號:62790004】求(1)A,B兩點間的距離;(2)△AOB的面積.【解】將A,B兩點代入到兩點間的距離公式有|AB|=eq\r(ρ\o\al(2,1)+ρ\o\al(2,2)-2ρ1ρ2cosθ1-θ2)=eq\r(22+32-2×2×3cos\f(π
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