3.1.4

空間向量的坐標表示.提問:

我們知道,在平面直角坐標系中,平面上任意一點的位置都有唯一的坐標來表示.

那空間中任意一點的位置怎樣用坐標來表示?.墻墻地面

下圖是一個房間的示意圖,我們來探討表示電燈位置的方法.z134x4y15O(4,5,3)一、空間直角坐標系.oxyz

從空間某一個定點０引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標系０－xyz．

點Ｏ叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸，這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面，分別稱為xoy平面、yoz平面、和Zox平面．.oxyz

在空間直角坐標系中,讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．說明:

☆我們一般建立的坐標系都是右手直角坐標系..空間直角坐標系的畫法:oxyz1.X軸與y軸、x軸與z軸均成1350,而z軸垂直于y軸．135013502.y軸和z軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸（或z軸）的單位長度的一半．.

有了空間直角坐標系，那空間中的任意一點Ａ怎樣來表示它的坐標呢？oxyzＡabc(a,b,c)經(jīng)過A點作三個平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸和z軸分別交于三點，三點在相應(yīng)的坐標軸上的坐標a,b,c組成的有序?qū)崝?shù)對（a,b,c)叫做點Ａ的坐標記為：Ａ（a,b,c).在空間直角坐標系中，作出點（５,４,６）.例１分析：oxyzＯ從原點出發(fā)沿x軸正方向移動５個單位Ｐ1Ｐ1沿與y軸平行的方向向右移動４個單位Ｐ2Ｐ2沿與z軸平行的方向向上移動６個單位ＰＰ（５,４,６）Ｐ１５Ｐ2４６.例２．如圖，已知長方體ABCD-A`B`C`D`的邊長為AB=12,AD=8,AA`=5.以這個長方體的頂點Ａ為坐標原點，射線AB,AD,AA`分別為x軸、y軸和z軸的正半軸,建立空間直角坐標系,求長方體各個頂點的坐標．xyzAOA`BB`CC`DD`.

在空間直角坐標系中,x軸上的點、xoy坐標平面內(nèi)的點的坐標各有什么特點？１．x軸上的點橫坐標就是與x軸交點的坐標，縱坐標和豎坐標都是０．２．xoy坐標平面內(nèi)的點的豎坐標為０，橫坐標與縱坐標分別是點向兩軸作垂線交點的坐標．.單位正交基底：

如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且大小都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用來表示.因此我們可以類似平面直角坐標系,建立空間直角坐標系.

在空間選定一點O和一個單位正交基底以點O為原點，分別以的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這樣就建立了一個空間直角坐標系O—xyz.x

軸、y

軸、z軸，都叫做叫做坐標軸,點O叫做原點，向量都叫做坐標向量.通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面.xyzOkij

對空間任一向量,由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使空間直角坐標系.

在空間直角坐標系O–x

y

z

中，對空間任一點A,對應(yīng)一個向量,于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使(如圖).

顯然,向量的坐標，就是點A在此空間直角坐標系中的坐標(x,y,z).xyzOA(x,y,z)ijk

也就是說,以O(shè)為起點的有向線段(向量)的坐標可以和點的坐標建立起一一對應(yīng)的關(guān)系,從而互相轉(zhuǎn)化.

我們說,點A的坐標為(x,y,z),記作A(x,y,z)，其中x叫做點A的橫坐標,y叫做點A的縱坐標,z叫做點A的豎坐標..空間向量運算的坐標規(guī)律:,則設(shè).練習(xí)1:已知

求解:.結(jié)論：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)

=(x2-x1,

y2-y1,

z2-z1)

空間一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.

如果知道有向線段的起點和終點的坐標,那么有向線段表示的向量坐標怎樣求?

空間向量坐標運算法則，關(guān)鍵是注意空間幾何關(guān)系與向量坐標關(guān)系的轉(zhuǎn)化，為此在利用向量的坐標運算判斷空間