實(shí)用文案清華大學(xué)測(cè)量彈性模量試驗(yàn)物理實(shí)驗(yàn)完整報(bào)告班級(jí)姓名學(xué)號(hào)結(jié)稿日期：標(biāo)準(zhǔn)文檔測(cè)量彈性模量實(shí)驗(yàn) 物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告彈性模量的測(cè)量實(shí)驗(yàn)報(bào)告一、拉伸法測(cè)彈性模量1.實(shí)驗(yàn)?zāi)康?）.學(xué)習(xí)用拉伸法測(cè)量彈性模量的方法；2）.掌握螺旋測(cè)微計(jì)和讀數(shù)顯微鏡的使用。2.實(shí)驗(yàn)原理（1）彈性模量及其測(cè)量方法對(duì)于長(zhǎng)度為L(zhǎng)、截面積為S的均勻的金屬絲，將外力F作用于它的長(zhǎng)度方向，設(shè)金屬絲伸長(zhǎng)量為δL。定義單位橫截面上的垂直于橫截面的作用力 F/S為正應(yīng)力，而金屬絲的相對(duì)伸長(zhǎng)量δL/L為線應(yīng)變。根據(jù)胡克定律，在彈性形變范圍內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比，表達(dá)式為：=EδLS L1）式中比例系數(shù)E=F/S稱作材料的彈性模量，與材料本身的性質(zhì)有關(guān)。在本實(shí)驗(yàn)δL/L中，設(shè)鋼絲的直徑為 D，則鋼絲的彈性模量可進(jìn)一步表示為：E=

4FLπD2δL2）公式（2）即為本實(shí)驗(yàn)的計(jì)算公式。在實(shí)驗(yàn)中，我們將鋼絲懸掛于支架上，固定一端，在另一端加砝碼，鋼絲所受到的沿長(zhǎng)度方向的力 F由砝碼的重力 F=mg 表示。用讀數(shù)顯微鏡可以測(cè)出鋼-2-測(cè)量彈性模量實(shí)驗(yàn) 物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告絲相應(yīng)地伸長(zhǎng)量δL（微小量）。此外，鋼絲長(zhǎng)度 L用鋼尺測(cè)量（本實(shí)驗(yàn)中鋼絲長(zhǎng)度數(shù)據(jù)已給出），鋼絲直徑用螺旋測(cè)微計(jì)測(cè)量。3.實(shí)驗(yàn)儀器豎直金屬支架，讀數(shù)顯微鏡，支架底座，螺旋測(cè)微計(jì)。實(shí)驗(yàn)步驟調(diào)整鋼絲豎直。鋼絲下端應(yīng)先掛砝碼鉤，用以拉直鋼絲。調(diào)節(jié)底座螺釘，使得底座水平，保持鋼絲以及下端夾具不與周圍碰蹭。調(diào)節(jié)讀數(shù)顯微鏡。首先粗調(diào)顯微鏡高度，使得顯微鏡與標(biāo)記線（細(xì)銅絲）同高。然后進(jìn)行細(xì)調(diào)，先調(diào)節(jié)目鏡看到叉絲清晰的像，再前后移動(dòng)鏡筒看清標(biāo)記線，使標(biāo)記線的像與叉絲無(wú)視差。測(cè)量：測(cè)量鋼絲長(zhǎng)度L及其伸長(zhǎng)量δL。先讀出無(wú)砝碼，僅有砝碼鉤（質(zhì)量為0.200kg）時(shí)標(biāo)記線的位置（反映在鼓輪上），然后在砝碼鉤上每加一個(gè)砝碼 （質(zhì)量均為0.200kg），讀下一個(gè)位置 yi。先從無(wú)砝碼逐步增加到九個(gè)砝碼，增加完畢后，消除空程影響后，再依次遞減到無(wú)砝碼，又得一組數(shù)據(jù)。用螺旋測(cè)微計(jì)在鋼絲的不同地方測(cè)量直徑 D共6次，測(cè)量前后記錄下螺旋測(cè)微計(jì)的零點(diǎn) d各3次。5.數(shù)據(jù)記錄（1）測(cè)量鋼絲的長(zhǎng)度 L及其伸長(zhǎng)量δL儀器編號(hào)：8 鋼絲長(zhǎng)度L=100.0cm-3-測(cè)量彈性模量實(shí)驗(yàn) 物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告序Fimg(N)yi(mm)號(hào)增砝碼時(shí)yi1(mm)減砝碼時(shí)yi2(mm)yiyi212(mm)10.200×1×9.800.5290.5400.53420.200×2×9.800.8210.8700.84630.200×3×9.801.0751.1131.09440.200×4×9.801.2851.3821.33450.200×5×9.801.5251.5901.55860.200×6×9.801.7671.8821.82470.200×7×9.802.1022.1522.12780.200×8×9.802.3442.3892.36690.200×9×9.802.6202.6492.634100.200×10×9.802.8402.9252.882另外，也可以采用逐差法分析數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)整理如下：12345增yi(mm)0.5290.8211.0751.2851.525砝yi5（mm）1.7672.1022.3442.6202.840碼liyi5yi1.2381.2811.2691.3351.315時(shí)-4-測(cè)量彈性模量實(shí)驗(yàn) 物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告減yi(mm)0.5400.8701.1131.3821.590砝yi5（mm）1.8822.1522.3892.6492.925碼liyi5yi1.3421.2821.2761.2671.335時(shí)i12345lili1.2901.2821.2731.3011.325limm2（2）銅絲直徑D測(cè)定螺旋測(cè)微計(jì)的零點(diǎn) d（單位：mm）測(cè)量前-0.005-0.007平均值測(cè)量后-0.009-0.008d0.007mm在不同位置六次測(cè)量鋼絲直徑序號(hào)123456Dimm0.2100.2090.2100.2110.2110.209數(shù)據(jù)處理（1）鋼絲的直徑6Di由表中數(shù)據(jù)，Di10.210，對(duì)已定系差進(jìn)行修正，得鋼絲直徑測(cè)量值6-5-測(cè)量彈性模量實(shí)驗(yàn) 物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告n262DiDDiD4DDd0.217.標(biāo)準(zhǔn)偏差sDii1i18.94410mm。n15已知螺旋測(cè)微計(jì)的示值誤差儀0.0040mm，故tpv220.0041086007094.0103mmDsDi儀n所以鋼絲直徑的測(cè)量值為D(0.21700.0040)mm。（2）a.最小二乘法作圖處理鋼絲長(zhǎng)度數(shù)據(jù)由本實(shí)驗(yàn)的計(jì)算公式E=4FL，可令kl，則計(jì)算公式化為E4LπD2δLFD2k以Fi為自變量，yi為因變量，用Matlab繪制圖像如下：32.5）mm 2（il數(shù)讀1.5輪鼓1實(shí)驗(yàn)結(jié)果最小二乘擬合0.50 5 10 15 20砝碼重力Fi（N）Figure1鋼絲長(zhǎng)度（通過標(biāo)記線位置反應(yīng)）與砝碼重力的關(guān)系圖選取經(jīng)驗(yàn)公式y(tǒng) a bx對(duì)Fi和yi做最小二乘法分析，由表中數(shù)據(jù)計(jì)算出：a 0.2978，b 0.1319，而直線擬合的相關(guān)系數(shù)-6-測(cè)量彈性模量實(shí)驗(yàn) 物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告rFiyi0.9996，可見Fi和yi線性關(guān)系良好。根據(jù)擬合曲線的2yi2Fi性質(zhì)有kldl，所以k的不確定度可用b的不確定度表示。FbdFsr211.256936764103，故由公式bn，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得sbb2tpvtp89.1817488431040.910-3，故bsbsbn10b(131.90.9)103(mm/N)b.逐差法處理鋼絲長(zhǎng)度數(shù)據(jù)對(duì)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，由公式：n5lilili1i1n 5（3）n252lillilslii1i1n14（4）代入數(shù)據(jù)得l1.294，sli0.02019，則tpvsli0.02503560.025An考慮儀器的誤差，本實(shí)驗(yàn)讀數(shù)顯微鏡測(cè)位置yi的儀器誤差為0.004mm,用它測(cè)liyi5yi，則By儀2y儀2=20.0040mm，故i5ilA2B20.02531797780.025，又因?yàn)閘5l，所以l1l0.2588且15ll0.005，故測(cè)量得出的l0.2590.005mm。5-7-測(cè)量彈性模量實(shí)驗(yàn) 物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告（3）鋼絲彈性模量a.最小二乘法計(jì)算彈性模量由推導(dǎo)得出的計(jì)算公式E4L2，代入數(shù)據(jù)得DbE4L41.000205GPa2326Db0.21710131.9105）又因?yàn)長(zhǎng)3mm，故222EL2DbELDb2220.9234（6）1000217131.90.03761231950.040所以EEE0.040205GPa8GPa，E最終結(jié)果E(2058)GPab.逐差法計(jì)算彈性模量對(duì)鋼絲施加的力 F=mg=0.200 ×9.80=1.96(N)由實(shí)驗(yàn)計(jì)算公式，得4FL41.961.000E2l1032102GPaD0.2170.518103（7）實(shí)驗(yàn)室給出F0.5％,3mm,故而FL-8-測(cè)量彈性模量實(shí)驗(yàn) 物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告22222EFLDlEFLDl22222340.0100.0052170.51810000.042021568620.040（8）故EEE0.040102GPa4.1GPaE最終結(jié)果E(102.04.1)GPa7.誤差分析為了研究實(shí)驗(yàn)精度如何提高， 下面討論計(jì)算公式中各個(gè)物理量的誤差對(duì)于最終誤差的貢獻(xiàn)。a.最小二乘法擬合直線：4L222EEL2Db，各部分相對(duì)不確定度計(jì)算如下：D2b得ELDb由L2DbLDb0.003000.036870.00068b.逐差法處理：4FL2222由E得EFL2Dl，各部分的相對(duì)不確定D2lEFLDl度計(jì)算如下：FL2DlFLDl-9-測(cè)量彈性模量實(shí)驗(yàn) 物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告0.005 0.003 0.036 0.019故直徑測(cè)量對(duì)于彈性模量最終的準(zhǔn)確度影響較大。因而測(cè)量鋼絲直徑時(shí)，必須正確使用螺旋測(cè)微計(jì)的棘輪， 并且要選定多個(gè)測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量， 并且避免弄彎鋼絲帶來(lái)誤差的加大。另外在逐差法中， l的測(cè)量對(duì)于最終的測(cè)量精確度也有不小影響，因此，在每次轉(zhuǎn)動(dòng)鼓輪時(shí)，一方面要注意避免空程帶來(lái)誤差，一方面要使得每次叉絲對(duì)準(zhǔn)標(biāo)記線中央，盡量避免讀數(shù)誤差。8.關(guān)于本實(shí)驗(yàn)其他方面的思考和問題討論螺旋測(cè)微計(jì)使用注意事項(xiàng)是什么？棘輪如何使用？測(cè)微計(jì)用畢后應(yīng)作何處置？答：使用前后都應(yīng)檢查零點(diǎn)；測(cè)量時(shí)手握在螺旋測(cè)微計(jì)的絕熱板部分，盡量少接觸被測(cè)工件，以免熱脹冷縮影響測(cè)量精度；測(cè)量時(shí)必須使用棘輪，當(dāng)測(cè)微螺桿端面將要接觸到被測(cè)物之前，應(yīng)旋轉(zhuǎn)棘輪，直至接觸上被測(cè)物時(shí)，棘輪自動(dòng)打滑，聽到三聲“嗒”的聲音后應(yīng)停止旋轉(zhuǎn)棘輪讀數(shù)；螺旋測(cè)微計(jì)用畢將螺桿回轉(zhuǎn)幾圈，留出空隙，防止因?yàn)闊崦?，螺桿變形。（2）在本實(shí)驗(yàn)中讀數(shù)顯微鏡作測(cè)量時(shí)哪些情況下會(huì)產(chǎn)生空程誤差？應(yīng)如何消除它？答:當(dāng)手輪改變轉(zhuǎn)動(dòng)方向時(shí)產(chǎn)生空程，在連續(xù)測(cè)量的過程中如果反方向轉(zhuǎn)手輪，便會(huì)產(chǎn)生空程誤差。消除的辦法是：在增（減）砝碼的測(cè)量過程中始終按一個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)手輪，從增砝碼變?yōu)闇p砝碼的時(shí)候，在開始讀取減砝碼數(shù)據(jù)之前應(yīng)保證手-10-測(cè)量彈性模量實(shí)驗(yàn) 物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告輪已經(jīng)在減砝碼方向轉(zhuǎn)過幾圈。3）本實(shí)驗(yàn)如果改用光杠桿法測(cè)量微小伸長(zhǎng)量，實(shí)驗(yàn)裝置應(yīng)作何考慮？答:光杠桿的平面鏡兩個(gè)前尖足放在支架平臺(tái)上，后尖足應(yīng)放在待測(cè)鋼絲的下夾具平臺(tái)上，這樣便可通過望遠(yuǎn)鏡和標(biāo)尺觀察平面鏡的微小變化以測(cè)量鋼絲的微小伸長(zhǎng)量了。具體的實(shí)驗(yàn)裝置和原理圖見下：Figure2光杠桿法測(cè)量彈性模量原理圖9.實(shí)驗(yàn)心得與體會(huì)1）.通過本實(shí)驗(yàn)，我掌握了螺旋測(cè)微計(jì)和讀數(shù)顯微鏡的使用，初步了解了拉伸法測(cè)量彈性模量的方法，提高了動(dòng)手能力和對(duì)理論知識(shí)的理解。2）.在本次實(shí)驗(yàn)中，砝碼應(yīng)該輕拿輕放，螺旋測(cè)微計(jì)的讀數(shù)也要注意規(guī)則，不然會(huì)帶來(lái)較大的誤差。3）.通過對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)據(jù)處理和分析，讓我加深了對(duì)于最小二乘法和逐差法的理解，運(yùn)用更加熟練。二、動(dòng)力學(xué)法測(cè)彈性模量1.實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?）.學(xué)習(xí)用動(dòng)力學(xué)法測(cè)量彈性模量；-11-測(cè)量彈性模量實(shí)驗(yàn) 物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告（2）.學(xué)習(xí)用實(shí)驗(yàn)方法研究與修正系統(tǒng)誤差 .2.實(shí)驗(yàn)原理考察一根細(xì)長(zhǎng)棒（長(zhǎng)度 l遠(yuǎn)大于比橫向半徑 d）的橫振動(dòng)。沿 x方向建立一維坐標(biāo)系，使得棒的軸線與坐標(biāo)軸重合， 棒的一端與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，將棒上距離左端x處截面的z方向位移設(shè)為，E為該棒的彈性模量，ρ為材料密度，S為棒的橫截面面積，I=z2dS為某一橫截面的慣性矩。根據(jù)動(dòng)力學(xué)規(guī)律可以列出方s程：2EI42+40tSx（9）假設(shè)棒中每點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可得方程（9）的通解為x,tB1coshKxB2sinhKxB3cosKxB4sinKxAcost（10）K4EI12式中為頻率公式，ω對(duì)任意形狀截面的試樣，不同的邊界條件均成S立。常數(shù)K由邊界條件確定。已知根據(jù)本實(shí)驗(yàn)的邊界條件，有cosKlcoshKl1（11）用數(shù)值解法可以得上述方程的一系列根，它們分別為Knl=0，4.730，7.853，10.996，14.137，...其中K0l0對(duì)應(yīng)靜止?fàn)顟B(tài)。將K1l4.730記做第一個(gè)根，對(duì)應(yīng)的振動(dòng)頻率稱為基振頻率。于是試樣在做基頻振動(dòng)時(shí)，存在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別位于距離端面-12-測(cè)量彈性模量實(shí)驗(yàn) 物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告0.224l和0.776l處。4.730我們將K1代入頻率公式，得到基頻振動(dòng)的固有頻率為l14.730EI 2l4S，解出棒的彈性模量為：E1.9978103l4S27.8870102l3mf2II（12）其中mlS為棒的質(zhì)量，f為棒的基振頻率。I=2d4zdS64對(duì)于直徑為d的圓棒，慣量矩表達(dá)式為s，代入上式得：E1.6067l3mf2d4(13)但是，由于在實(shí)際實(shí)驗(yàn)測(cè)量時(shí)，常常不能滿足d=l“的細(xì)長(zhǎng)棒”假設(shè)條件，故應(yīng)在上式乘上修正系數(shù)T1T1可以根據(jù)d/l的不同數(shù)值和材料的泊松比查表知），（即得：E1.6067l3m2d4fT1(14)式（14）將作為本實(shí)驗(yàn)的計(jì)算公式。3.實(shí)驗(yàn)儀器如下圖，本實(shí)驗(yàn)中，用兩根細(xì)線將被測(cè)試樣懸掛在換能器 1、2下面。兩個(gè)換能器分別為激振器和拾振器。 信號(hào)發(fā)生器輸出的信號(hào)加在激振器上， 激發(fā)試樣振動(dòng)，拾振器將振動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)殡娦盘?hào)。拾振器和信號(hào)發(fā)生器輸出的信號(hào)分別加在示波器兩個(gè)通道上，通過示波器波形和峰值示數(shù)判斷樣品發(fā)生基頻共振的頻率， 并-13-測(cè)量彈性模量實(shí)驗(yàn) 物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告記錄這一頻率，進(jìn)而計(jì)算彈性模量。實(shí)驗(yàn)中還需要使用的儀器有：游標(biāo)卡尺（測(cè)量棒的長(zhǎng)度）和螺旋測(cè)微計(jì)（測(cè)量棒的直徑） 。Figure3實(shí)驗(yàn)裝置圖4.實(shí)驗(yàn)步驟1）.連接線路，把信號(hào)發(fā)生器和示波器調(diào)節(jié)至工作狀態(tài)；2）.用游標(biāo)卡尺測(cè)量樣品的長(zhǎng)度，螺旋測(cè)微計(jì)測(cè)量樣品的直徑（在不同部位測(cè)6次），并在讀數(shù)前后記錄螺旋測(cè)微儀的零點(diǎn)以修正已定系差。用電子天平測(cè)量樣品的質(zhì)量；3）.理論上，樣品作基頻共振時(shí)，懸點(diǎn)應(yīng)置于節(jié)點(diǎn)處，即距棒的兩端面分別為0.224l和0.776l的地方。但這種情況下，棒的振動(dòng)無(wú)法被激發(fā)，即傳送給示波器的信號(hào)很弱。所以，若欲激發(fā)棒的振動(dòng)，懸點(diǎn)必須離開距棒的兩端面分別為0.224l和0.776l處。這樣與理論條件不一致從而導(dǎo)致系統(tǒng)誤差。在實(shí)驗(yàn)中采用外推的思想，在兩個(gè)基頻節(jié)點(diǎn)處左右 30mm 范圍內(nèi)同時(shí)對(duì)稱地改變兩懸線的位置，每隔 5~10mm 測(cè)量一次共振頻率。畫出共振頻率 f與懸線位置x的關(guān)系曲線。由該圖可準(zhǔn)確求出懸點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)位置的基頻共振頻率。（4）.注意事項(xiàng)-14-測(cè)量彈性模量實(shí)驗(yàn) 物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告輕放輕動(dòng)，防止損壞懸線；信號(hào)發(fā)生器與示波器要共地；激振器上加的正弦信號(hào)幅度限制在5V~6V（峰峰值）；尋找共振點(diǎn)時(shí)，調(diào)節(jié)信號(hào)發(fā)生器頻率要極其緩慢。注意判斷假共振信號(hào)。5.數(shù)據(jù)記錄1）被測(cè)棒的長(zhǎng)度L=209.72mm;2）被測(cè)棒的質(zhì)量m=35.75g;3）被測(cè)棒的直徑測(cè)定螺旋測(cè)微計(jì)的零點(diǎn) d（單位：mm）測(cè)量前-0.016-0.015平均值測(cè)量后-0.012-0.014d0.014mm在不同位置六次測(cè)量棒的直徑序號(hào)123456di測(cè)mm4.9324.9294.9324.9294.9284.930didi測(cè)d4.9464.9434.9464.9434.9424.944被測(cè)棒的共振頻率（試驗(yàn)臺(tái)號(hào)：12）以棒的左端點(diǎn)為原點(diǎn)建立一維坐標(biāo)系，計(jì)算得節(jié)點(diǎn)位置x1 46.98mm,x2 162.74mm，在節(jié)點(diǎn)兩側(cè)對(duì)稱位置測(cè)量共振頻率序號(hào)12345選線位置xmm16.9826.9836.9841.9843.98-15-測(cè)量彈性模量實(shí)驗(yàn) 物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告共振頻率fHz377.08374.80372.34371.29371.71序號(hào)678910選線位置xmm49.9851.9856.9866.9876.98共振頻率fHz370.71371.47372.20373.20375.196.數(shù)據(jù)處理（1）被測(cè)樣品基頻共振頻率通過MATLAB的科學(xué)計(jì)算，作出“f-x”曲線（f是銅棒的基頻共振頻率，x是左懸線的位置），378實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)377多項(xiàng)式擬合376375zH（率374頻振373共3723713702030405060708010懸線位置（mm）Figure4 銅棒的基頻共振頻率與懸線的位置關(guān)系圖通過計(jì)算機(jī)編程，得到多項(xiàng)式 f 3.4106x4 0.00063x3 0.036x2 0.55x 380。由Figure3可知，“f-x”曲線最低點(diǎn)坐標(biāo)是 48.20，371.30確定銅棒的本征基-16-測(cè)量彈性模量實(shí)驗(yàn) 物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告頻f0371.30Hz，在棒上位于距兩端x048.2mm處取得。（2）棒的直徑6di由表中數(shù)據(jù)，di14.944mm，得銅棒直徑測(cè)量值ddi4.944.i6mmn262didididi標(biāo)準(zhǔn)偏差sdii1i10.001673mm。n15已知螺旋測(cè)微計(jì)的示值誤差儀0.004mm，故tpv224.3681927261030.004mmdsdi儀n所以銅棒直徑的測(cè)量值為 d (4.944 0.004)mm。（3）查表得T1本實(shí)驗(yàn)中用的樣品為標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格為 d 5mm,l 210mm的紫銅圓桿，查表知T1 1.0031（4）計(jì)算樣品彈性模量 El3m2E1.60674fT1d209.72103335.75103371.3021.0031（15）1.60674.9441034122.633936GPa122.6GPa進(jìn)一步計(jì)算E的不確定度。在本實(shí)驗(yàn)中，f0.10Hz,m0.05g,mm由L0.02,以上計(jì)算得，d0.004mm，故-17-測(cè)量彈性模量實(shí)驗(yàn) 物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告224d22E3Lm2fELmdf320.0520.004220.02420.10）209.7235.754.944（16371.33.5778996910-3進(jìn)而求的E=EE0.4387719215GPa0.4GPaE最終結(jié)果E122.60.4GPa7.誤差分析（1）物理量誤差分析由