PAGEPAGE8圓與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．圓C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圓C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切線有()A．1條 B．3條C．4條 D．以上均錯(cuò)[答案]B[分析]先判斷出兩圓的位置關(guān)系，然后根據(jù)位置關(guān)系確定公切線條數(shù)．[解析]∵C1(－2,2)，r1＝1，C2(2,5)，r2＝4，∴|C1C2|＝5＝r1＋r2，∴規(guī)律總結(jié)：如何判斷兩圓公切線的條數(shù)首先判斷兩圓的位置關(guān)系，然后判斷公切線的條數(shù)：(1)兩圓相離，有四條公切線；(2)兩圓外切，有三條公切線，其中一條是內(nèi)公切線，兩條是外公切線；(3)兩圓相交，有兩條外公切線，沒有內(nèi)公切線；(4)兩圓內(nèi)切，有一條公切線；(5)兩圓內(nèi)含，沒有公切線．2．已知圓C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圓C2與圓C1關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，則圓C2的方程是()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[答案]B[解析]設(shè)⊙C2上任一點(diǎn)P(x，y)，它關(guān)于(2,1)的對(duì)稱點(diǎn)(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.3．若圓(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始終平分圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周長(zhǎng)，則a、b應(yīng)滿足的關(guān)系式是()A．a(chǎn)2－2a－2b－3＝0 B．a(chǎn)2＋2a＋2C．a(chǎn)2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a[答案]B[解析]利用公共弦始終經(jīng)過圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圓心即可求得．兩圓的公共弦所在直線方程為：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它過圓心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋24．兩圓x2＋y2＝16與(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交點(diǎn)處的切線互相垂直，則r＝()A．5 B．4C．3 D．2eq\r(2)[答案]C[解析]設(shè)一個(gè)交點(diǎn)P(x0，y0)，則xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵兩切線互相垂直，∴eq\f(y0,x0)·eq\f(y0＋3,x0－4)＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.5．已知兩圓相交于兩點(diǎn)A(1,3)，B(m，－1)，兩圓圓心都在直線x－y＋c＝0上，則m＋c的值是()A．－1 B．2C．3 D．0[答案]C[解析]兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線x－y＋c＝0對(duì)稱，kAB＝eq\f(－4,m－1)＝－1.∴m＝5，線段AB的中點(diǎn)(3,1)在直線x－y＋c＝0上，∴c＝－2，∴m＋c＝3.6．半徑長(zhǎng)為6的圓與y軸相切，且與圓(x－3)2＋y2＝1內(nèi)切，則此圓的方程為()A．(x－6)2＋(y－4)2＝6 B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36 D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[答案]D[解析]半徑長(zhǎng)為6的圓與x軸相切，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，則a＝6，再由eq\r(b2＋32)＝5可以解得b＝±4，故所求圓的方程為(x－6)2＋(y±4)2＝36.二、填空題7．若點(diǎn)A(a，b)在圓x2＋y2＝4上，則圓(x－a)2＋y2＝1與圓x2＋(y－b)2＝1的位置關(guān)系是_________.[答案]外切[解析]∵點(diǎn)A(a，b)在圓x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圓x2＋(y－b)2＝1的圓心C1(0，b)，半徑r1＝1，圓(x－a)2＋y2＝1的圓心C2(a,0)，半徑r2＝1，則d＝|C1C2|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(4)＝2，∴d＝r1＋r2.∴兩圓外切．8．與直線x＋y－2＝0和圓x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_________.[答案](x－2)2＋(y－2)2＝2[解析]已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－6)2＝18，則過圓心(6,6)且與直線x＋y－2＝0垂直的方程為x－y＝0.方程x－y＝0分別與直線x＋y－2＝0和已知圓聯(lián)立得交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由題意知所求圓在已知直線和已知圓之間，故所求圓的圓心為(2,2)，半徑為eq\r(2)，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2.三、解答題9．求以圓C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圓C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦為直徑的圓C的方程．[解析]方法1：聯(lián)立兩圓方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－12x－2y－13＝0，,x2＋y2＋12x＋16y－25＝0，))相減得公共弦所在直線方程為4x＋3y－2＝0.再由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3y－2＝0，,x2＋y2－12x－2y－13＝0，))聯(lián)立得兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)(－1,2)，(5，－6)．∵所求圓以公共弦為直徑，∴圓心C是公共弦的中點(diǎn)(2，－2)，半徑為eq\f(1,2)eq\r(5＋12＋－6－22)＝5.∴圓C的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝25.方法2：由方法1可知公共弦所在直線方程為4x＋3y－2＝0.設(shè)所求圓的方程為x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ為參數(shù))．可求得圓心C(－eq\f(12λ－12,21＋λ)，－eq\f(16λ－2,21＋λ))．∵圓心C在公共弦所在直線上，∴4·eq\f(－12λ－12,21＋λ)＋3·eq\f(－16λ－2,21＋λ)－2＝0，解得λ＝eq\f(1,2).∴圓C的方程為x2＋y2－4x＋4y－17＝0.10．已知半徑為5的動(dòng)圓C的圓心在直線l：x－y＋10＝0上．(1)若動(dòng)圓C過點(diǎn)(－5,0)，求圓C的方程；(2)是否存在正實(shí)數(shù)r，使得動(dòng)圓C滿足與圓O：x2＋y2＝r2相外切的圓有且僅有一個(gè)？若存在，請(qǐng)求出r；若不存在，請(qǐng)說明理由．[解析](1)依題意可設(shè)動(dòng)圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝25，其中(a，b)滿足a－b＋10＝0.又因?yàn)閯?dòng)圓C過點(diǎn)(－5,0)，故(－5－a)2＋(0－b)2＝25.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＋10＝0，,－5－a2＋0－b2＝25，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－10，,b＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－5，,b＝5，))故所求圓C的方程為(x＋10)2＋y2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25.(2)圓O的圓心(0,0)到直線l的距離d＝eq\f(|10|,\r(1＋1))＝5eq\r(2).當(dāng)r滿足r＋5＜d時(shí)，動(dòng)圓C中不存在與圓O：x2＋y2＝r2相切的圓；當(dāng)r滿足r＋5＝d，即r＝5eq\r(2)－5時(shí)，動(dòng)圓C中有且僅有1個(gè)圓與圓O：x2＋y2＝r2相外切；當(dāng)r滿足r＋5＞d，即r＞5eq\r(2)－5時(shí)，與圓O：x2＋y2＝r2相外切的圓有兩個(gè)．綜上，當(dāng)r＝5eq\r(2)－5時(shí)，動(dòng)圓C中滿足與圓O：x2＋y2＝r2相外切的圓有且僅有一個(gè)．能力提升一、選擇題1．已知M是圓C：(x－1)2＋y2＝1上的點(diǎn)，N是圓C′：(x－4)2＋(y－4)2＝82上的點(diǎn)，則|MN|的最小值為()A．4 B．4eq\r(2)－1C．2eq\r(2)－2 D．2[答案]D[解析]∵|CC′|＝5＜R－r＝7，∴圓C內(nèi)含于圓C′，則|MN|的最小值為R－|CC′|－r＝2.2．過圓x2＋y2＝4外一點(diǎn)M(4，－1)引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線方程為()A．4x－y－4＝0 B．4x＋y－4＝0C．4x＋y＋4＝0 D．4x－y＋4＝0[答案]A[解析]以線段OM為直徑的圓的方程為x2＋y2－4x＋y＝0，經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線就是兩圓的公共弦所在的直線，將兩圓的方程相減得4x－y－4＝0，這就是經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線方程．3．若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16|，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}，且A∩B＝B，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)≥5C．1≤a≤5 D．a(chǎn)≤5[答案]D[解析]A∩B＝B等價(jià)于B?A．當(dāng)a>1時(shí)，集合A和B分別代表圓x2＋y2＝16和圓x2＋(y－2)2＝a－1上及內(nèi)部的點(diǎn)，容易得出當(dāng)B對(duì)應(yīng)的圓的半徑長(zhǎng)小于等于2時(shí)符合題意．由0<a－1≤4，得1<a≤5；當(dāng)a＝1時(shí)，集合B中只有一個(gè)元素(0,2)，滿足B?A；當(dāng)a<1時(shí)，集合B為空集，也滿足B?A．綜上可知，當(dāng)a≤5時(shí)符合題意．4．若圓(x－a)2＋(y－a)2＝4上，總存在不同的兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(3\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(3\r(2),2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))[答案]C[解析]圓(x－a)2＋(y－a)2＝4的圓心C(a，a)，半徑r＝2，到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)的集合構(gòu)成一個(gè)圓，這個(gè)圓的圓心是原點(diǎn)O，半徑R＝1，則這兩個(gè)圓相交，圓心距d＝eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)|a|，則|r－R|<d<r＋R，則1<eq\r(2)|a|<3，所以eq\f(\r(2),2)<|a|<eq\f(3\r(2),2)，所以－eq\f(3\r(2),2)<a<－eq\f(\r(2),2)或eq\f(\r(2),2)<a<eq\f(3\r(2),2).二、填空題5．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦長(zhǎng)為2eq\r(3)，則a＝_________.[答案]1[解析]兩個(gè)圓的方程作差，可以得到公共弦的直線方程為y＝eq\f(1,a)，圓心(0,0)到直線y＝eq\f(1,a)的距離d＝|eq\f(1,a)|，于是由(eq\f(2\r(3),2))2＋|eq\f(1,a)|2＝22，解得a＝1.6．已知兩點(diǎn)M(1,0)，N(－3,0)到直線的距離分別為1和3，則滿足條件的直線的條數(shù)是_________.[答案]3[解析]∵已知M(1,0)，N(－3,0)，∴|MN|＝4，分別以M，N為圓心，1,3為半徑作兩個(gè)圓，則兩圓外切，故有三條公切線．即符合條件的直線有3條．三、解答題7．已知圓A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圓B平分圓A的周長(zhǎng)，且圓B的圓心在直線l：y＝2x上，求滿足上述條件的半徑最小的圓B的方程．[解析]解法一：考慮到圓B的圓心在直線l上移動(dòng)，可先寫出動(dòng)圓B的方程，再設(shè)法建立圓B的半徑r的目標(biāo)函數(shù)．設(shè)圓B的半徑為r.∵圓B的圓心在直線l：y＝2x上，∴圓B的圓心可設(shè)為(t,2t)，則圓B的方程是(x－t)2＋(y－2t)2＝r2，即x2＋y2－2tx－4ty＋5t2－r2＝0. ①∵圓A的方程是x2＋y2＋2x＋2y－2＝0， ②∴②－①，得兩圓的公共弦方程為(2＋2t)x＋(2＋4t)y－5t2＋r2－2＝0. ③∵圓B平分圓A的周長(zhǎng)，∴圓A的圓心(－1，－1)必在公共弦上，于是，將x＝－1，y＝－1代入方程③并整理，得r2＝5t2＋6t＋6＝5(t＋eq\f(3,5))2＋eq\f(21,5)≥eq\f(21,5).∴當(dāng)t＝－eq\f(3,5)時(shí)，rmin＝eq\r(\f(21,5)).此時(shí)，圓B的方程是(x＋eq\f(3,5))2＋(y＋eq\f(6,5))2＝eq\f(21,5).解法二：也可以從圖形的幾何性質(zhì)來考慮，用綜合法來解．如圖，設(shè)圓A，圓B的圓心分別為A，B，則A(－1，－1)，B在直線l：y＝2x上，連接AB，過A作MN⊥AB，且MN交圓于M，N兩點(diǎn)．∴MN為圓A的直徑．∵圓B平分圓A，∴只需圓B經(jīng)過M，N兩點(diǎn)．∵圓A的半徑是2，設(shè)圓B的半徑為r，∴r＝|MB|＝eq\r(|AB|2＋|AM|2)＝eq\r(|AB|2＋4).欲求r的最小值，只需求|AB|的最小值．∵A是定點(diǎn)，B是l上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)AB⊥l，即MN∥l時(shí)，|AB|最小．于是，可求得直線AB方程為y＋1＝－eq\f(1,2)(x＋1)，即y＝－eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)，與直線l：y＝2x聯(lián)立可求得B(－eq\f(3,5)，－eq\f(6,5))，rmin＝eq\r(\f(21,5)).∴圓B的方程是(x＋eq\f(3,5))2＋(y＋eq\f(6,5))2＝eq\f(21,5).8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圓C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4(1)若直線l過點(diǎn)A(4,0)，且被圓C1截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(3)，求直線l的方程；(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．[解析](1)由于直線x＝4與圓C1不相交，所以直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)，圓C1的圓心C1(－3,1)到直線l的距離為d＝eq\f(|1－k－3－4|,\r(1＋k2))，因?yàn)橹本€l被圓C1截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(3)，∴4＝(eq\r(3))2＋d2，∴k(24k＋7)＝0，即k＝0或k＝－eq\f(7,24)，所以直線l的方程為y＝0或7x＋24y－28＝0(2)設(shè)點(diǎn)P(a，b)滿足條件，不妨設(shè)直線l1的方程為y－b＝k(x