2021-2022學年陜西省西安市師范大學錦園中學高三數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知不等式組表示平面區(qū)域，若直線經過平面區(qū)域，則的取值范圍是（）A．

B．

C．

D．參考答案：C2.祖暅是南北朝時代的偉大科學家，5世紀末提出體積計算原理，即祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任何一個平面所截，如果截面面積都相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等．現有以下四個幾何體：圖①是從圓柱中挖出一個圓錐所得的幾何體；圖②、圖③、圖④分別是圓錐、圓臺和半球，則滿足祖暅原理的兩個幾何體為（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④參考答案：C試題分析：設截面與底面的距離為，則①中截面內圓半徑為，則截面圓環(huán)的面積為；②中截面圓的半徑為，則截面圓的面積為；③中截面圓的半徑為，則截面圓的面積為；②中截面圓的半徑為，則截面圓的面積為，所以①④中截面的面積相等，故選C．考點：1、數學文化；2、空間幾何體的體積．【舉一反三】處理球的截面問題，主要利用截面圓的半徑，球的半徑，球心到截面距離為三者之間的勾股關系，即．3.定義域為[a，b]的函數y＝f(x)圖象的兩個端點為A、B，M(x，y)是f(x)圖象上任意一點，其中x＝λa＋(1－λ)b，λ∈[0,1]．已知向量，若不等式|恒成立，則稱函數f(x)在[a，b]上“k階線性近似”．若函數在[1,2]上“k階線性近似”，則實數k的取值范圍為(

)A．[0，＋∞)

B．[，＋∞)C．[，＋∞)

D．[，＋∞)

參考答案：C略4.為虛數單位，復數的虛部是A．

B．

C．

D.參考答案：5.函數有零點的區(qū)間是()A．

B．

C．

D．參考答案：D6.若命題甲為：成等比數列，命題乙為：成等差數列，則甲是乙的A．充分非必要條件

B．必要非充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C7.設函數f（x）=x?ex，g（x）=x2+2x，，若對任意的x∈R，都有h（x）﹣f（x）≤k[g（x）+2]成立，則實數k的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】2H：全稱命題．【分析】由題設h（x）﹣f（x）≤k[g（x）+2]恒成立等價于f（x）+kg（x）≥h（x）﹣2k；構造函數H（x）=f（x）+kg（x），利用導數H'（x）判斷H（x）的單調性，求出H（x）的最值，判斷不等式是否恒成立，從而求出k的取值范圍．【解答】解：由題設h（x）﹣f（x）≤k[g（x）+2]恒成立，等價于f（x）+kg（x）≥h（x）﹣2k①；設函數H（x）=f（x）+kg（x），則H'（x）=（x+1）（ex+2k）；（1）設k=0，此時H'（x）=ex（x+1），當x＜﹣1時H'（x）＜0，當x＞﹣1時H'（x）＞0，故x＜﹣1時H（x）單調遞減，x＞﹣1時H（x）單調遞增，故H（x）≥H（﹣1）=﹣e﹣1；而當x=﹣1時h（x）取得最大值2，并且﹣e﹣1＜2，故①式不恒成立；（2）設k＜0，注意到，，故①式不恒成立；（3）設k＞0，H'（x）=（x+1）（ex+2k），此時當x＜﹣1時H'（x）＜0，當x＞﹣1時H'（x）＞0，故x＜﹣1時H（x）單調遞減，x＞﹣1時H（x）單調遞增，故；而當x=﹣1時h（x）max=2，故若使①式恒成立，則，解得．【點評】本題考查了函數與不等式的應用問題，也考查了構造函數思想與等價轉化問題，是綜合題．8.如圖給出的是計算的值的一個程序框圖，則圖中判斷框內（1）處和執(zhí)行框中的（2）處應填的語句是（

）

(A)

(B)

(C)

(D)

參考答案：C略9.某疾病研究所想知道吸煙與患肺病是否有關，于是隨機抽取1000名成年人調查是否吸煙是否患有肺病，得到2×2列聯表，經計算的K2=5.231．已知在假設吸煙與患肺病無關的前提條件下，P（K2≥3.841）=0.05，P（K2≥6.635）=0.01，則該研究所可以（）A．有95%以上的把握認為“吸煙與患肺病有關”B．有95%以上的把握認為“吸煙與患肺病無關”C．有99%以上的把握認為“吸煙與患肺病有關”D．有99%以上的把握認為“吸煙與患肺病無關”參考答案：A【考點】獨立性檢驗的應用．【分析】根據條件中所給的計算出的觀測值，把觀測值同臨界值進行比較，看出有1﹣0.05=95%的把握說患肺病與吸煙有關，得到結論．【解答】解：∵計算得K2=5.231，經查對臨界值表知P（K2≥3.841）≈0.05，∴有1﹣0.05=95%的把握說患肺病與吸煙有關故選：A．10.復數的模為（

）A.1 B.2 C. D.參考答案：A【分析】根據復數的除法運算化簡再求模長即可.【詳解】.模長為1.故選：A【點睛】本題主要考查了復數的除法與模長的計算.屬于基礎題型.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，點M為扇形的弧的四等分點即，動點分別在線段上，且若，，則的最小是

．參考答案：連結OM，設OC=a，則OD=1-a由余弦定理可得：12.正方形鐵片的邊長為8cm，以它的一個頂點為圓心，一邊長為半徑畫弧剪下一個頂角為的扇形，用這塊扇形鐵片圍成一個圓錐形容器，則這個圓錐形容器的容積等于________cm3.參考答案：由題意知，弧長為×8＝2π，即圍成圓錐形容器底面周長為2π，所以圓錐底面半徑為r＝，可得圓錐高h＝，所以容積V＝πr2×h＝π×;13.已知正方形邊長為2，是的中點，則

.參考答案：214.設均為大于的自然數，函數若存在實數，使得則的值為

.參考答案：4略15.已知橢圓的上下兩個焦點分別為，點為該橢圓上一點，若，為方程的兩根，則=____________.

．參考答案：-3，16.函數的反函數的圖像與軸的交點坐標是

.參考答案：17.已知向量不共線，，，如果，則k=_________．參考答案：【分析】根據向量平行坐標表示列式求解.【詳解】向量不共線，故答案為：【點睛】本題考查根據向量平行求參數，考查基本分析求解能力，屬基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某小區(qū)停車場的收費標準為：每車每次停車時間不超過2小時免費，超過2小時的部分每小時收費1元（不足1小時的部分按1小時計算）．現有甲乙兩人獨立來停車場停車（各停車一次），且兩人停車時間均不超過5小時．設甲、乙兩人停車時間（小時）與取車概率如表所示．

停車時間取車概率停車人員（0，2]（2，3]（3，4]（4，5]甲xxx乙y0（1）求甲、乙兩人所付車費相同的概率；（2）設甲、乙兩人所付停車費之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列和數學期望Eξ．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）首先求出x、y，個人停車所付費用相同即停車時間相同：都不超過兩小時、都在兩小時以上且不超過三小時和都超過三小時且不超過四小時三類求解即可．（2）隨機變量ξ的所有取值為0，1、2，3，4，5，由獨立事件的概率分別求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．【解答】解：（1）由題意得．．記甲乙兩人所付車費相同的事件為A，P（A）=，甲、乙兩人所付車費相同的概率為．（2）設甲、乙兩人所付停車費之和為隨機變量ξ，ξ的所有取值為0，1、2，3，4，5．P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=P（ξ=4）=，P（ξ=5）=．所以ξ的分布列為：ξ012345P∴ξ的數學期望Eξ=0×+1×+2×+3×【點評】本題考查獨立事件、互斥事件的概率、離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查利用所學知識解決問題的能力，屬于中檔題．19.已知數列{an}的首項為a（a≠0），前n項和為Sn，且有Sn+1=tSn+a（t≠0），bn=Sn+1．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）當t=1，a=2時，若對任意n∈N*，都有k（++…+）≤bn，求k的取值范圍；（Ⅲ）當t≠1時，若cn=2+b1+b2+…+bn，求能夠使數列{cn}為等比數列的所有數對（a，t）．參考答案：【考點】等比數列的性質．【專題】等差數列與等比數列．【分析】（Ⅰ）根據條件和“n=1時a1=S1、當n≥2時an=Sn﹣Sn﹣1”，化簡Sn+1=tSn+a（t≠0），再由等比數列的定義判斷出數列{an}是等比數列，利用等比數列的通項公式求出an；（Ⅱ）由條件和（I）求出bn，代入化簡利用裂項相消法求出，代入已知的不等式化簡后，利用函數的單調性求出對應函數的最小值，從而求出k的取值范圍；（Ⅲ）利用條件和等比數列的前n項和公式求出Sn，代入bn化簡后，利用分組求和法和等比數列的前n項和公式求出cn，化簡后利用等比數列的通項公式特點列出方程組，求出方程組的解即可求出結論．【解答】解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）由題意知，首項為a，且Sn+1=tSn+a（t≠0），當n=1時，則S2=tS1+a，解得a2=at，當n≥2時，Sn=tSn﹣1+a，∴（Sn+1﹣Sn）=t（Sn﹣Sn﹣1），則an+1=tan，又a1=a≠0，綜上有，即{an}是首項為a，公比為t的等比數列，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=2，則Sn=2n，∴bn=Sn+1=2n+1，則==，∴=[（）+（）+]=（）=，代入不等式k（++…+）≤bn，化簡得，k≤=3（4n+），∵函數y=在（，+∞）上單調遞增，且n取正整數，∴當n=1時，函數y=取到最小值是15，∴k≤45；（Ⅲ）∵t≠1，∴Sn=，則bn=Sn+1=1+=1+﹣，∴cn=2+b1+b2+…+bn=2+（1+）n﹣（t+t2+…+tn）=2+（1+）n﹣×=++，由題設知{cn}為等比數列，所以有，解得，即滿足條件的數對是（1，2）．【點評】本題考查了等比數列的定義、通項公式、前n項和公式，數列的求和方法：裂項相消法、分組求和法，以及“n=1時a1=S1、當n≥2時an=Sn﹣Sn﹣1”關系式的應用，綜合性強．屬于難題．20.(本小題滿分12分)直三棱柱中，，，分別是、的中點，，為棱上的點.（1）證明：;（2）是否存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為?若存在，說明點D的位置，若不存在，說明理由.參考答案：（1）證明：，∥

又

面

又面

………2分

以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系

則,,,,設，

且,即：

………5分

………6分（2）假設存在,設面的法向量為

，

則

即：

令

.

………8分

由題可知面的法向量

………9分

平面與平面所成銳二面的余弦值為

即：

或（舍）

………11分

當點為中點時，滿足要求.

………12分21.已知函數f（x）=x2+x+alnx（a∈R）．（1）對a討論f（x）的單調性；（2）若x=x0是f（x）的極值點，求證：f（x0）≤．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值．【專題】導數的綜合應用．【分析】（1）對函數求導，利用導函數與函數單調性的關系即可求解．（2）利用條件x0是函數f（x）的極值點，確定a的數值，然后證明f（x0）≤．【解答】解：（1）∵f（x）=x2+x+alnx，∴x＞0，f′（x）=x+1+=．∴當a≥時，f'（x）≥0在定義域恒成立，∴f（x）在（0，+∞）單調遞增；當a＜時，f'（x）=0時，x=，≤0?a≥0，∴0≤a＜時，f（x）在（0，+∞）單調遞增；＞0?a＜0，∴a＜0時，f（x）在（0，）單調遞減，在（，+∞）單調遞增．綜上所述：當a≥0時，f（x）在（0，+∞）單調遞增；當a＜0時，f（x）在（0，）單調遞減，在（，+∞）單調遞增．（2）由（1）可知當a＜0時，f（x）在（0，）單調遞減，在（，+∞）單調遞增．∴當x=時，函數f（x）有極小值，∴x0=＞0，∴?a=﹣﹣x0，∴f（x0）=+x0+alnx0=+x0﹣（+x0）lnx0，記g（x）=x2+x﹣（x2+x）lnx，則g′（x）=﹣（2x+1）lnx，列表分析如下：

x

（0，1）

1（1，+∞）

g′（x）+

0﹣

g（