機械振動和電磁振蕩第十章§10-1諧振動

§10-2阻尼振動

§10-3受迫振動共振

§10-4電磁振蕩

§10-5一維諧振動的合成*§10-6二維諧振動的合成*§10-7振動的分解頻譜*§10-8非線性振動與混沌第十章機械振動和電磁振蕩簡諧振動：物體運動時，離開平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)規(guī)律隨時間變化。一、簡諧振動的特征及其表達式§10-1諧振動忽略了質(zhì)量的彈簧+不發(fā)生形變的物體。彈簧振子：1.簡諧振動實例：回復力：3.動力學特征:

據(jù)牛頓第二定律，得動力學特征令2.力學特征：——作簡諧運動的質(zhì)點所受的合外力與位移成正比且反向。或4.簡諧振動的運動學特征:速度：加速度：位移：

——物體的加速度與位移成正比而方向相反，物體的位移按余弦規(guī)律變化。注：簡諧振動以上三特征具有等價性。

簡諧振動中質(zhì)點位移、速度、加速度與時間的關(guān)系:

1.振幅(A):

物體離開平衡位置的最大位移的絕對值。由初始條件確定

2.周期和頻率

周期：物體作一次完全振動所經(jīng)歷的時間。頻率：單位時間內(nèi)物體所作完全振動的次數(shù)。二、描述諧振動的特征量角頻率:

物體在秒內(nèi)所作的完全振動的次數(shù)。利用上述關(guān)系式，得諧振動表達式：對于彈簧振子，因有，得3.相位和初相相位：決定簡諧運動狀態(tài)的物理量。初相位：t

=0

時的相位。——相位概念可用于比較兩個諧振動之間在振動步調(diào)上的差異。設(shè)有兩個同頻率的諧振動，表達式分別為二者的相位差為

a.當

時,稱兩個振動為同相；討論：

b.當時,稱兩個振動為反相；

c.當

時,稱第二個振動超前第一個振動；

d.當時,稱第二個振動落后第一個振動

。注意：相位可以用來比較不同物理量變化的步調(diào)。如：簡諧振動的位移、速度和加速度速度的相位比位移的相位超前，加速度的相位比位移的相位超前。存在兩個值，可根據(jù)在到之間，通常進行取舍。4.常量和的確定根據(jù)初始條件：時，,，得旋轉(zhuǎn)矢量:一長度等于振幅A的矢量在紙平面——可直觀地描述表達式中各個物理量。三、諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法內(nèi)繞O點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，其角速度與諧振動的角頻率相等，這個矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。振動相位逆時針方向ω

M點在

x

軸上投影(P點)的坐標：

的長度旋轉(zhuǎn)的角速度旋轉(zhuǎn)的方向與參考方向x的夾角xOMPx振幅A振動圓頻率——諧振動位移

M點在

x

軸上投影(P點)的運動速度：

——諧振動速度兩個同頻率的簡諧運動：相位之差為采用旋轉(zhuǎn)矢量直觀表示為例題10-1

一物體沿x軸作簡諧振動，振幅A=0.12m,周期T=2s。當t=0時,物體的位移x=0.06m,且向x軸正向運動。求:(1)簡諧振動表達式;(2)t=T/4時物體的位置、速度和加速度;(3)物體從x=-0.06

m向x軸負方向運動，到第一次回到平衡位置所需時間。解:

(1)取平衡位置為坐標原點,諧振動方程寫為初始條件：t=0s,x0=0.06m,可得其中A=0.12m,T=2s,據(jù)初始條件

O若用旋轉(zhuǎn)矢量法求解，根據(jù)初始條件可畫出振幅的初始位置，如下圖所示。A得從而可得(2)由(1)求得的簡諧振動表達式得在t=T/4=0.5s時，從前面所列的表達式可得(3)當x=-0.06m時，該時刻設(shè)為t1,得因該時刻速度為負，應舍去，設(shè)物體在t2時刻第一次回到平衡位置，相位是因此從x=-0.06m處第一次回到平衡位置的時間：解法二：從t1時刻到t2時刻所對應的相差為1.單擺四、幾種常見的諧振動根據(jù)牛頓第二運動定律可得很小時（小于），可取其中動能：勢能：以水平彈簧振子為例討論簡諧振動系統(tǒng)的能量。系統(tǒng)總的機械能：五、簡諧振動的能量能量平均值——上述結(jié)果對任一諧振系統(tǒng)均成立?？紤]到，系統(tǒng)總能量為，注意:(1)豎直放置的彈簧振子其勢能中已經(jīng)包含重力勢能。(2)振幅計算體現(xiàn)了能量守恒?！偰芰渴睾?。諧振子的動能、勢能和總能量隨時間的變化曲線:

§10-0教學基本要求

§10-1諧振動

§10-2阻尼振動

§10-3受迫振動共振

§10-4電磁振蕩

§10-5一維諧振動的合成*§10-6二維諧振動的合成*§10-7振動的分解頻譜*§10-8非線性振動與混沌電路中電壓和電流的周期性變化稱為電磁振蕩。LC振蕩電路§10-4

電磁振蕩一、LC電路的振蕩(1)LC

回路與彈簧振子振動的類比LC電路電磁振蕩過程設(shè)某一時刻電容器極板上電量為q,電路中電流為i，得到:LC

回路自由振蕩角頻率

Q0是電荷振幅，是振蕩初相，均由初始條件確定。將電量表達式對時間求導，得到電流表達式：其中為電流振幅?！鲜龇治鼋Y(jié)果可知，電量和電流都作簡諧振動。而且電荷和電流的振蕩頻率相同，電流的相位比電荷的相位超前，如下圖所示：將電場和磁場能量相加，并利用，得——電能和磁能均隨時間變化，但總能量守恒。設(shè)t時刻電容器極板上電量為q，相應的電場能量為此刻電流為i，則線圈中的磁場能量為機械振動電磁振蕩(串聯(lián)電路)位移x速度

v質(zhì)量

m勁度系數(shù)

k阻力系數(shù)

g驅(qū)動力

F彈性勢能

kx2/2動能

mv2/2電荷

q電流

i電感

L電容的倒數(shù)

1/C電阻R電動勢

e電場能量

q2/2C磁場能量

Li2/2二、力電類比

§10-1諧振動

§10-2阻尼振動

§10-3受迫振動共振

§10-4電磁振蕩

§10-5一維諧振動的合成*§10-6二維諧振動的合成*§10-7振動的分解頻譜*§10-8非線性振動與混沌設(shè)一質(zhì)點同時參與沿同一方向(x

軸)的兩個獨立的同頻率的簡諧振動，兩個振動位移為合位移：合振動仍然是簡諧振動，其方向和頻率與原來相同。一、同一直線上兩個同頻率的諧振動的合成其中§10-5一維諧振動的合成旋轉(zhuǎn)矢量法矢量沿x

軸之投影表征了合運動的規(guī)律。1.當兩振動同相同相疊加，合振幅最大。討論：2.兩振動反相反相疊加，合振幅最小。當A1=A2

時，A=0。3.通常情況下，合振幅介于之間。和注：

對合振幅A有決定性影響兩個簡諧振動合成得

當兩個同方向簡諧振動的頻率不同時，在旋轉(zhuǎn)矢量法中兩個旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動角速度不相同，二者的相位差與時間有關(guān)，合矢量的長度和角速度都將隨時間變化。x=x1+

x2二、同一直線上兩個不同頻率的諧振動的合成拍兩個簡諧振動的頻率很接近，且和——合振動的振幅隨時間作緩慢的周期性的變化，振動出現(xiàn)時強時弱的拍現(xiàn)象。拍頻:單位時間內(nèi)振幅強弱變化的次數(shù)。因或有拍頻的形成§10-1諧振動

§10-2阻尼振動

§10-3受迫振動共振

§10-4電磁振蕩

§10-5一維諧振動的合成

§10-6二維諧振動的合成*§10-7振動的分解頻譜*§10-8非線性振動與混沌兩個同頻率的相互垂直的分運動位移表達式：消時間參數(shù)，得——合運動一般是在

(

x

向)、

(

y

向)范圍內(nèi)的一個橢圓?！?0-6二維諧振動的合成注：橢圓的性質(zhì)(方位、長短軸、左右旋)在

A1、A2確定之后,主要決定于。（1）

或（2）

討論：（3）

用旋轉(zhuǎn)矢量描繪振